Verden er ordnet på en slik måte at løsningen av et stort antallproblemer er redusert til å finne røttene til en kvadratisk ligning. Røttene til ligningene er viktige for å beskrive ulike mønstre. Dette var kjent for landmålerne i det gamle Babylon. Astronomer og ingeniører ble også tvunget til å løse slike problemer. Tilbake i det 6. århundre e.Kr. utviklet den indiske forskeren Aryabhata grunnlaget for å finne røttene til en kvadratisk ligning. Formlene fikk et ferdig utseende på 1800-tallet.
Generelle konsepter
Vi foreslår at du gjør deg kjent med de grunnleggende lovene om kvadratiske likheter. Generelt sett kan likhet skrives som følger:
øks2 + bx + c = 0,
Antall røtter til en kvadratisk ligning kan være en eller to. En rask analyse kan gjøres med begrepet diskriminanter:
D = b2 - 4ac
Avhengig av den beregnede verdien får vi:
- For D> 0 er det to forskjellige røtter. Den generelle formelen for å bestemme røttene til en kvadratisk ligning ser ut som (-b ± √D) / (2a).
- D = 0, i dette tilfellet er roten en og tilsvarer verdien x = -b / (2a)
- D <0, det er ingen løsning på ligningen for en negativ verdi av diskriminanten.
Merk: hvis diskriminanten er negativ, har ligningen ingen røtter bare i området for reelle tall. Hvis algebra utvides til begrepet komplekse røtter, har ligningen en løsning.
Her er en handlekjede som bekrefter formelen for å finne røttene.
Fra den generelle formen av ligningen følger det:
øks2 + bx = -c
Multipliser høyre og venstre side med 4a og legg til b2, vi får
4a2med2 + 4abx + b2 = -4ac + b2
Transformer venstre side som et kvadratisk polynom (2ax + b)2... Ta kvadratroten på begge sider av ligningen 2ax + b = -b ± √ (-4ac + b2), overfører vi koeffisienten b til høyre side, vi får:
2ax = -b ± √ (-4ac + b2)
Dette medfører:
x = (-b ± √ (b2 - 4ac))
Hva som skulle vises.
Et spesielt tilfelle
I noen tilfeller kan det forenkles å løse problemet. Så for en jevn koeffisient b får vi en enklere formel.
Vi betegner k = 1 / 2b, da har formelen til den generelle formen til røttene til den kvadratiske ligningen formen:
x = (-k ± √ (k2 - ac)) / a
For D = 0 får vi x = -k / a
Et annet spesielt tilfelle vil være løsningen på ligningen for a = 1.
For visningen x2 + bx + c = 0 vil røttene være x = -k ± √ (k2 - c) når diskriminanten er større enn 0. For tilfellet når D = 0, vil roten bli bestemt av en enkel formel: x = -k.
Bruke diagrammer
Enhver person, uten å vite det, står stadig overfor fysiske, kjemiske, biologiske og til og med sosiale fenomener som er godt beskrevet av en kvadratisk funksjon.
Merk: En kurve basert på en kvadratisk funksjon kalles en parabel.
Her er noen eksempler.
- Når man beregner banen til et prosjektil, brukes egenskapen til bevegelse langs en parabel av en kropp avfyrt i en vinkel mot horisonten.
- Eiendommen til en parabel for å fordele lasten jevnt, er mye brukt i arkitektur.
Forstå viktigheten av en parabolsk funksjon, la oss finne ut hvordan vi kan bruke en graf for å utforske dens egenskaper ved å bruke begrepene "diskriminerende" og "røttene til en kvadratisk ligning".
Avhengig av verdien på koeffisientene a og b, er det bare seks alternativer for kurvens posisjon:
- Diskriminanten er positiv, a og b har forskjellige tegn. Grenene på parabolen peker oppover, den kvadratiske ligningen har to løsninger.
- Diskriminanten og koeffisienten b er lik null, koeffisienten a er større enn null. Grafen er i den positive sonen, ligningen har 1 rot.
- Diskriminerende og alle koeffisienter er positive. Den kvadratiske ligningen har ingen løsning.
- Diskriminanten og koeffisienten a er negativ, b er større enn null. Grenene i grafen er rettet nedover, ligningen har to røtter.
- Diskriminanten og koeffisienten b er lik null, koeffisienten a er negativ. Parabolen ser ned, ligningen har en rot.
- Diskriminerende og alle koeffisienter er negative. Det er ingen løsninger, funksjonsverdiene er helt i den negative sonen.
Merk: alternativet a = 0 blir ikke vurdert, siden parabolen i dette tilfellet degenererer til en rett linje.
Alt ovenfor er godt illustrert av figuren nedenfor.
Eksempler på problemløsning
Betingelse: Bruk generelle egenskaper, lag en kvadratisk ligning, hvis røtter er like hverandre.
løsning:
av tilstanden til problemet x1 = x2, eller -b + √ (b2 - 4ac) / (2a) = -b + √ (b2 - 4ac) / (2a). Forenkle oppføringen:
-b + √ (b2 - 4ac) / (2a) - (-b - √ (b2 - 4ac) / (2a)) = 0, åpne parentesene og gi lignende vilkår. Ligningen har formen 2√ (b2 - 4ac) = 0. Denne påstanden gjelder når b2 - 4ac = 0, derav b2 = 4ac, deretter erstattes verdien b = 2√ (ac) i ligningen
øks2 + 2√ (ac) x + c = 0, i redusert form får vi x2 + 2√ (c / a) x + c = 0.
Svar:
for a ikke lik 0 og noe c, er det bare en løsning hvis b = 2√ (c / a).
Kvadratiske ligninger for all sin enkelheter av stor betydning i tekniske beregninger. Nesten enhver fysisk prosess kan beskrives med en viss tilnærming ved bruk av maktlovsfunksjoner av orden n. Den kvadratiske ligningen vil være den første tilnærmingen.
