Enkel iterasjonsmetode, også kalt metodesuksessiv tilnærming er en matematisk algoritme for å finne verdien av en ukjent størrelse ved gradvis foredling. Essensen av denne metoden er at, som navnet tilsier, gradvis uttrykke de påfølgende fra den første tilnærmingen, oppnås flere og mer raffinerte resultater. Denne metoden brukes til å finne verdien av en variabel i en gitt funksjon, samt ved løsning av ligningssystemer, både lineære og ikke-lineære.
La oss vurdere hvordan denne metoden implementeres når du løser en SLAE. Den enkle iterasjonsmetoden har følgende algoritme:
1.Kontrollere oppfyllelsen av konvergensbetingelsen i den opprinnelige matrisen. Konvergensteorem: hvis den innledende matrisen til systemet har en diagonal dominans (dvs. i hver rad må elementene i hoveddiagonalen være større i modul enn summen av elementene i sekundærdiagonalene modulo), så metoden for enkel iterasjoner er konvergent.
2.Matrisen til det opprinnelige systemet har ikke alltid en diagonal dominans. I slike tilfeller kan systemet konverteres. Ligninger som tilfredsstiller konvergensbetingelsen blir stående intakte, og med de som ikke tilfredsstiller danner de lineære kombinasjoner, dvs. multipliser, trekk fra, legg sammen ligningene til ønsket resultat er oppnådd.
Hvis det i det resulterende systemet på hoveddiagonalen er upraktiske koeffisienter, vil formenes vilkår medog* xJeg, hvis tegn må falle sammen med tegnene til de diagonale elementene.
3. Konvertering av det resulterende systemet til normal form:
med-= β-+ α * x-
Dette kan gjøres på mange måter, for eksempel slik: fra den første ligningen, uttrykk x1 gjennom andre ukjente, fra den andre - x2, fra den tredje - x3 etc. I dette tilfellet bruker vi formlene:
αij= - (aij / aii)
og= bog/ogii
Det bør verifiseres igjen at det resulterende systemet med normal form oppfyller konvergensbetingelsen:
∑ (j = 1) | αij| ≤ 1, mens i = 1,2, ... n
4. Vi begynner å bruke, faktisk, selve metoden for suksessive tilnærminger.
med(0)er den første tilnærmingen, uttrykker vi gjennom den x(1), deretter gjennom x(1) uttrykke x(2)... Den generelle formelen i matriseform ser slik ut:
med(n)= β-+ α * x(n-1)
Vi beregner til vi når den nødvendige nøyaktigheten:
maks | xog(k) -xog(k + 1) ≤ ε
Så la oss bruke den enkle iterasjonsmetoden i praksis. Eksempel:
Løs SLAE:
4,5x1-1,7x2 + 3,5x3 = 2
3,1x1 + 2,3x2-1,1x3 = 1
1,8x1 + 2,5x2 + 4,7x3 = 4 med presisjon ε = 10-3
La oss se om de diagonale elementene råder i modul.
Vi ser at bare den tredje ligningen tilfredsstiller konvergensbetingelsen. Vi transformerer den første og andre, legger den andre til den første ligningen:
7,6x1 + 0,6x2 + 2,4x3 = 3
Trekk den første fra den tredje:
-2,7x1 + 4,2x2 + 1,2x3 = 2
Vi har konvertert det originale systemet til et tilsvarende:
7,6x1 + 0,6x2 + 2,4x3 = 3
-2,7x1 + 4,2x2 + 1,2x3 = 2
1,8x1 + 2,5x2 + 4,7x3 = 4
La oss nå bringe systemet tilbake til det normale:
x1 = 0,3947-0,0789x2-0,3158x3
x2 = 0,4762 + 0,6429x1-0,2857x3
x3 = 0,8511-0,383x1-0,5319x2
Sjekke konvergensen til den iterative prosessen:
0,0789 + 0,3158 = 0,3947 ≤ 1
0,6429 + 0,2857 = 0,9286 ≤ 1
0,383+ 0,5319 = 0,9149 ≤ 1, dvs. vilkåret er oppfylt.
0,3947
Opprinnelig tilnærming x(0) = 0,4762
0,8511
Ved å erstatte disse verdiene i normalformligningen får vi følgende verdier:
0,08835
med(1)= 0,486793
0,446639
Ved å erstatte nye verdier får vi:
0,215243
med(2)= 0,405396
0,558336
Vi fortsetter beregningene til vi kommer nær verdiene som tilfredsstiller den gitte betingelsen.
0,18813
med(7)= 0,441091
0,544319
0,188002
med(åtte) = 0,44164
0,544428
La oss sjekke riktigheten av de oppnådde resultatene:
4,5 * 0,1880 -1,7 * 0,441 + 3,5 * 0,544 = 2,0003
3,1 * 0,1880 + 2,3 * 0,441-1,1x * 0,544 = 0,9987
1,8 * 0,1880 + 2,5 * 0,441 + 4,7 * 0,544 = 3,9977
Resultatene oppnådd ved å erstatte de funnet verdiene i de opprinnelige ligningene, tilfredsstiller fullt ut betingelsene for ligningen.
Som vi kan se, gir den enkle iterasjonsmetoden ganske nøyaktige resultater, men for å løse denne ligningen måtte vi bruke mye tid og gjøre tungvinte beregninger.
