שיטה פשוטה איטרציה, המכונה גם שיטהקירוב עוקב, הוא אלגוריתם מתמטי למציאת הערך של כמות לא ידועה על ידי חידוד הדרגתי שלה. המהות של שיטה זו היא, כפי שהשם מרמז, בהדרגה להביע הבאים הבאים מן הקירוב הראשוני, הם מקבלים תוצאות מעודנות יותר ויותר. שיטה זו משמשת כדי למצוא את הערך של משתנה בפונקציה מסוימת, כמו גם בעת פתרון מערכות של משוואות, הן לינאריות ולא לינאריות.
שקול כיצד שיטה זו מיושמת בעת פתרון SLAE. לשיטת האיטרציה הפשוטה יש את האלגוריתם הבא:
1.בדיקת מצב ההתכנסות במטריצה המקורית. משפט ההתכנסות: אם למטריצה הראשונית של המערכת יש דומיננטיות אלכסונית (כלומר, בכל שורה האלמנטים של האלכסון הראשי חייבים להיות גדולים יותר מוחלטים מסכום האלמנטים של האלכסון המשני בערכים מוחלטים), אז השיטה של איטרציות פשוטות מתכנסת.
2למטריצה של המערכת המקורית לא תמיד יש דומיננטיות אלכסונית. במקרים כאלה, ניתן להמיר את המערכת. משוואות המספקות את מצב ההתכנסות נותרות ללא שינוי, ועם שילובים לינאריים לא מספקים, למשל. להכפיל, לחסר, להוסיף משוואות ביניהן כדי להשיג את התוצאה הרצויה.
אם במערכת וכתוצאה מכך על האלכסון הראשי הם מקדמים לא נוח, ואז לשני הצדדים של משוואה זו להוסיף את התנאיםועםוכן, שעל סימניה להתמזג עם סימני האלמנטים האלכסוניים.
3. המר את המערכת שהתקבלה לתצוגה רגילה:
עם-49 β-+ α * x-
זה יכול להיעשות בדרכים רבות, למשל, כך: מהמשוואה הראשונה, הבע את x1 דרך אלמונים אחרים, מהשני - x2, מהשלישי - x3 וכו ' במקרה זה, אנו משתמשים בנוסחאות:
αij= - (אij / אii)
ו= בו/ אii
יש לוודא שוב שהמערכת המתקבלת בצורה נורמלית עומדת בתנאי ההתכנסות:
∑ (j = 1) | αij| ≤ 1, בעוד i = 1,2, ... n
4. אנו מתחילים ליישם, למעשה, את עצם השיטה של קירובים עוקבים.
עם(0)הוא הקירוב הראשוני, אנו מבטאים באמצעותו x(1), ואז דרך x(1) להביע x(2)... הנוסחה הכללית בצורת מטריצה נראית כך:
עם(נ)= β-+ α * x(n-1)
אנו מחשבים עד שנגיע לדיוק הנדרש:
מקסימום | xו(יא) -xו(k + 1) ≤ ε
אז בואו נוציא את שיטת האיטרציה הפשוטה לפועל. דוגמא:
לפתור SLAE:
4.5x1-1.7x2 + 3.5x3 = 2
3.1x1 + 2.3x2-1.1x3 = 1
1.8x1 + 2.5x2 + 4.7x3 = 4 עם דיוק ε = 10-3
בואו נראה אם האלמנטים האלכסוניים מנצחים במודולוס.
אנו רואים שרק המשוואה השלישית עומדת בתנאי ההתכנסות. נהפוך את הראשון והשני, נוסיף את השני למשוואה הראשונה:
7.6x1 + 0.6x2 + 2.4x3 = 3
הורידו את הראשון מהשלישי:
-2.7x1 + 4.2x2 + 1.2x3 = 2
המרנו את המערכת המקורית למערכת מקבילה:
7.6x1 + 0.6x2 + 2.4x3 = 3
-2.7x1 + 4.2x2 + 1.2x3 = 2
1.8x1 + 2.5x2 + 4.7x3 = 4
עכשיו בואו נחזיר את המערכת לשגרה:
x1 = 0.3947-0.0789x2-0.3158x3
x2 = 0.4762 + 0.6429x1-0.2857x3
x3 = 0.8511-0.383x1-0.5319x2
בדיקת התכנסות התהליך האיטרטיבי:
0.0789 + 0.3158 = 0.3947 ≤ 1
0.6429 + 0.2857 = 0.9286 ≤ 1
0.383+ 0.5319 = 0.9149 ≤ 1, כלומר. התנאי מתקיים.
0,3947
קירוב ראשוני x(0) = 0.4762
0,8511
החלפת ערכים אלו במשוואת הצורה הרגילה, נקבל את הערכים הבאים:
0,08835
עם(1)= 0.486793
0,446639
בהחלפת ערכים חדשים, נקבל:
0,215243
עם(2)= 0.405396
0,558336
אנו ממשיכים בחישובים עד שאנו מתקרבים לערכים העומדים בתנאי הנתון.
0,18813
עם(7)= 0.441091
0,544319
0,188002
עם(שמונה) = 0.44164
0,544428
בואו נבדוק את נכונות התוצאות שהתקבלו:
4.5 * 0.1880 -1.7 * 0.441 + 3.5 * 0.544 = 2.0003
3.1 * 0.1880 + 2.3 * 0.441-1.1x * 0.544 = 0.9987
1.8 * 0.1880 + 2.5 * 0.441 + 4.7 * 0.544 = 3.9977
התוצאות שהושגו על ידי החלפת הערכים שנמצאו במשוואות המקוריות עומדות במלואן בתנאי המשוואה.
כפי שאנו יכולים לראות, שיטת האיטרציה הפשוטה נותנת תוצאות מדויקות למדי, אך היינו צריכים להשקיע זמן רב וחישובים מסורבלים כדי לפתור את המשוואה הזו.
