שיטת קרמר היא אחת השיטות המדויקות.פתרונות של מערכות משוואות אלגבריות לינאריות (SLAE). הדיוק שלה נובע משימוש בקובעי המטריצה של המערכת, כמו גם במספר מגבלות שהוטלו במהלך ההוכחה של המשפט.
מערכת של משוואות אלגבריות ליניאריות עם מקדמים השייכים, לדוגמה, למערכת של R - מספרים ממשיים, מ- unknowns x1, x2, ... xn נקראת קבוצה של ביטויים של הטופס
ai2 x1 + ai2 x2 + ... ain xn = bi with i = 1, 2, ..., m, (1)
שבו aij, bi הם מספרים אמיתיים. כל אחת מהביטויים האלה נקראת משוואה ליניארית, מקדמי aij - לא ידועים, מקדמי משוואות דו - משמעיות.
הפתרון של המערכת (1) הוא וקטור n ממדי x = (x1 °, x2 °, ..., xn °), אם אתה מחליף אותו לתוך המערכת במקום x1, x2 x, ... xn, כל אחד מהשורות במערכת הופך את השוויון האמיתי .
מערכת נקראת משותפת אם יש לה לפחות פתרון אחד, ובלתי תואם אם הפתרון שלה עולה בקנה אחד עם סט ריק.
צריך לזכור שכדי למצואלפתרון מערכות של משוואות אלגבריות לינאריות בשיטת קרמר, המטריצות של המערכות חייבות להיות מרובעות, מה שאומר בעצם אותו מספר של לא ידועים ומשוואות במערכת.
אז, כדי להשתמש בשיטת קרמר,אתה חייב לפחות לדעת מה מטריצה של מערכות של משוואות אלגברי ליניארי הוא וכיצד הוא נכתב החוצה. ושנית, להבין מה שמכונה דטרמיננט של המטריצה יש את הכישורים כדי לחשב את זה.
Предположим, что этими знаниями вы владеете.נפלא! אז אתה רק צריך לזכור את הנוסחאות המגדירות את שיטת קרמר. כדי לפשט את השנון, אנו משתמשים בסימון הבא:
Det הוא הקובע העיקרי של מטריצת המערכת;
deti הוא הקובע של המטריצה המתקבלת מהמטריצה העיקרית של המערכת, אם נחליף את העמודה ה- I של המטריצה בווקטור עמוד, שרכיביו הם הצד הימני של מערכות של משוואות אלגבריות לינאריות;
n הוא מספר האלמונים והמשוואות במערכת.
ואז ניתן לכתוב את הכלל של קריימר לחישוב הרכיב i-xi (i = 1, .. n) של וקטור n- ממדי n כ
xi = deti / Det, (2).
במקרה זה, Det אינו אפס.
הייחודיות של הפתרון למערכת תחתיהתאימות מספקת את התנאי שהקבע העיקרי של המערכת אינו שווה לאפס. אחרת, אם הסכום (xi) בריבוע הוא חיובי לחלוטין, אז ה- SLAE עם מטריצה מרובעת לא יהיה עקבי. זה יכול לקרות, במיוחד כאשר לפחות אחד מהדיטים אינו אפס.
דוגמה 1... לפתור את מערכת ה- LAU התלת-ממדית באמצעות הנוסחאות של קריימר.
x1 + 2 x2 + 4 x3 = 31,
5 x1 + x2 + 2 x3 = 29,
3 x1 - x2 + x3 = 10.
הַחְלָטָה. בואו נרשום את המטריצה של המערכת שורה אחר שורה, כאשר Ai היא השורה ה- I של המטריצה.
A1 = (1 2 4), A2 = (5 1 2), A3 = (3 -1 1).
טור הסיכויים בחינם b = (31 29 10).
הגורם הקובע העיקרי של המערכת הוא
Det = a11 a22 a33 + a12 a23 a31 + a31 a21 a32 - a13 a22 a31 - a11 a32 a23 - a33 a21 a12 = 1 - 20 + 12 - 12 + 2 - 10 = –27.
כדי לחשב det1, אנו משתמשים בתחליף a11 = b1, a21 = b2, a31 = b3. לאחר מכן
det1 = b1 a22 a33 + a12 a23 b3 + a31 b2 a32 - a13 a22 b3 - b1 a32 a23 - a33 b2 a12 = ... = –81.
באופן דומה, כדי לחשב det2, אנו משתמשים בתחליף a12 = b1, a22 = b2, a32 = b3 ובהתאם לכך, לחישוב det3 - a13 = b1, a23 = b2, a33 = b3.
אז אתה יכול לבדוק ש- det2 = –108 ו- det3 = - 135.
על פי הנוסחאות של קריימר, אנו מוצאים x1 = -81 / (- 27) = 3, x2 = -108 / (- 27) = 4, x3 = -135 / (- 27) = 5.
תשובה: x ° = (3,4,5).
בהתבסס על תנאי תחולתו של כלל זה,ניתן להשתמש בעקיפין בשיטת Cramer לפתרון מערכות של משוואות ליניאריות, למשל, על מנת לחקור את המערכת לגבי מספר הפתרונות האפשרי בהתאם לערך של פרמטר מסוים k.
דוגמא 2 קבע עבור אילו ערכים של הפרמטר k לחוסר השוויון | kx - y - 4 | + | x + ky + 4 | <= 0 יש פיתרון אחד בדיוק.
ההחלטה.
חוסר שוויון זה, בשל הגדרת המודולניתן לבצע את הפונקציה רק אם שני הביטויים שווים לאפס בו זמנית. לכן, בעיה זו מצטמצמת למציאת פיתרון למערכת הליניארית של משוואות אלגבריות
kx - y = 4,
x + ky = –4.
הפתרון למערכת זו הוא ייחודי אם הוא הקובע העיקרי שלה
Det = k ^ {2} + 1 אינו אפס. ברור שתנאי זה מתקיים לכל הערכים האמיתיים של הפרמטר k.
תשובה: לכל הערכים האמיתיים של הפרמטר k.
ניתן לצמצם גם בעיות מעשיות רבות מתחום המתמטיקה, הפיזיקה או הכימיה לבעיות מסוג זה.
