Idag föreslår vi att utforska med oss ochplot funktion. När du noggrant har studerat den här artikeln behöver du inte svettas länge för att slutföra den här typen av uppgifter. Att undersöka och plotta en funktion är inte lätt, omfattande arbete som kräver maximal uppmärksamhet och noggrannhet vid beräkningar. För att underlätta uppfattningen av materialet kommer vi gradvis att studera samma funktion, förklara alla våra handlingar och beräkningar. Välkommen till matematikens fantastiska och fascinerande värld! Låt oss gå!
bestämmande region
Для того чтобы исследовать и построить график funktioner, måste du känna till några definitioner. Funktion är ett av de grundläggande (grundläggande) begreppen i matematik. Det återspeglar förhållandet mellan flera variabler (två, tre eller fler) under förändringar. Funktionen visar också beroende av uppsättningar.
Tänk att vi har två variabler,som har en viss variation. Så y är en funktion av x, förutsatt att varje värde för den andra variabeln motsvarar ett värde av den andra. I detta fall är variabeln y beroende och kallas en funktion. Det är vanligt att säga att variablerna x och y är i funktionsberoende. För större klarhet i detta beroende byggs ett funktionsdiagram. Vad är ett funktionsdiagram? Detta är en uppsättning punkter på koordinatplanet, där varje värde på x motsvarar ett värde på y. Grafer kan vara olika - rak linje, hyperbola, parabel, sinusformad och så vidare.
Det är omöjligt att plotta ett funktionsdiagram utanforskning. Idag lär vi oss hur man bedriver forskning och plottar ett funktionsdiagram. Det är mycket viktigt att markera koordinatplanet under studien. Detta kommer att göra uppgiften mycket enklare. Den mest praktiska forskningsplanen:
- Domän.
- Kontinuitet.
- Jämn eller udda paritet.
- Periodicitet.
- Asymptoter.
- Nollor.
- Konstans av tecken.
- Ökar och minskar.
- Extremer.
- Konvexitet och konkavitet.
Låt oss börja med den första punkten.Låt oss hitta definitionens område, det vill säga med vilka intervall vår funktion existerar: y = 1/3 (x ^ 3-14x ^ 2 + 49x-36). I vårt fall finns funktionen för alla värden på x, det vill säga domänen är lika med R. Det kan skrivas enligt följande xÎR.
Kontinuitet
Nu ska vi utforska funktionen påha sönder. I matematik dök termen "kontinuitet" upp som ett resultat av studiet av rörelselagarna. Vad är oändligt? Utrymme, tid, vissa beroenden (ett exempel är beroende av variablerna S och t i rörelseproblem), temperaturen på det uppvärmda objektet (vatten, stekpanna, termometer, etc.), en kontinuerlig linje (det vill säga en som kan tecknas utan att riva av den med penna).
Kontinuerlig är en graf som inte är detgår sönder någon gång. Ett av de tydligaste exemplen på en sådan graf är sinusvågen, som du kan se på bilden i detta avsnitt. Funktionen är kontinuerlig någon gång x0 om ett antal villkor är uppfyllda:
- en funktion definieras vid denna punkt;
- gränserna för höger och vänster vid punkten är lika;
- gränsen är lika med värdet för funktionen vid punkten x0.
Om minst ett villkor inte är uppfyllt säger deatt funktionen bryts. Och de punkter där funktionen bryts brukar kallas brytpunkter. Ett exempel på en funktion som "bryts" när den visas grafiskt är: y = (x + 4) / (x-3). Dessutom existerar inte y vid punkten x = 3 (eftersom det är omöjligt att dela med noll).
I den funktion som vi undersöker (y = 1/3 (x ^ 3-14x ^ 2 + 49x-36)) visade sig allt vara enkelt, eftersom grafen kommer att vara kontinuerlig.
Till och med udda
Undersök nu funktionen för paritet.Först en liten teori. En jämn funktion är en som uppfyller villkoret f (-x) = f (x) för valfritt värde för variabeln x (från intervallet av värden). Exempel inkluderar:
- modul x (grafen ser ut som en daw, halveringslinjen för det första och andra kvartalet i grafen);
- x kvadrat (parabel);
- cosinus x (cosinus).
Observera att alla dessa tomter är symmetriska när de ses i förhållande till ordinatorn (dvs. y).
Vad kallas då en udda funktion? Dessa är de funktioner som uppfyller villkoret: f (-x) = - f (x) för valfritt värde för variabeln x. Exempel:
- hyperbel;
- kubisk parabel;
- sinusformad;
- tangentoid och så vidare.
Observera att dessa funktioner harsymmetri om punkten (0: 0), det vill säga ursprunget. Baserat på vad som har sagts i detta avsnitt av artikeln måste en jämn och en udda funktion ha egenskapen: x tillhör uppsättningen definitioner och –x också.
Låt oss undersöka funktionen för paritet. Vi kan se att det inte passar någon av beskrivningarna. Därför är vår funktion varken jämn eller udda.
Asymptoter
Låt oss börja med en definition. En asymptot är en kurva som är så nära grafen som möjligt, det vill säga avståndet från en punkt tenderar till noll. Totalt finns det tre typer av asymptoter:
- vertikal, det vill säga parallellt med y-axeln;
- horisontell, det vill säga parallellt med x -axeln;
- lutande.
När det gäller den första typen bör data raka linjer letas efter på några punkter:
- glipa;
- änden av definitionsdomänen.
I vårt fall är funktionen kontinuerlig och domänen är lika med R. Därför finns det inga vertikala asymptoter.
Funktionsdiagrammet har en horisontell asymptot,som uppfyller följande krav: om x tenderar till oändlighet eller minus oändlighet, och gränsen är lika med något tal (till exempel a). I detta fall är y = a - detta är den horisontella asymptoten. Det finns inga horisontella asymptoter i funktionen vi undersöker.
Den sneda asymptoten existerar bara om två villkor är uppfyllda:
- lim (f (x)) / x = k;
- lim f (x) -kx = b.
Sedan kan det hittas med formeln: y = kx + b. Återigen, i vårt fall finns det inga sneda asymptoter.
Funktionsnollor
Nästa steg är att undersökafunktionsdiagram till nollor. Det är också mycket viktigt att notera att den uppgift som är förknippad med att hitta nollorna för en funktion förekommer inte bara i studien och plottningen av ett funktionsdiagram, utan också som en oberoende uppgift och som ett sätt att lösa ojämlikheter. Du kan behöva hitta nollorna för en funktion på ett diagram eller använda matematisk notation.
Att hitta dessa värden hjälper dig mergrafi funktionen exakt. Enkelt uttryckt är nollan för en funktion värdet på variabeln x, vid vilken y = 0. Om du letar efter nollorna för en funktion på en graf, bör du vara uppmärksam på de punkter där grafen korsar abscissaxeln.
För att hitta nollorna i en funktion måste du lösa följande ekvation: y = 1/3 (x ^ 3-14x ^ 2 + 49x-36) = 0. Efter att ha utfört de nödvändiga beräkningarna får vi följande svar:
- x = 1;
- 4;
- 9.
Det rekommenderas att omedelbart markera de punkter som finns på diagrammet.
Beständighet
Nästa steg i forskning och konstruktion av en funktion(grafik) är att hitta intervall av konstantitet. Det betyder att vi måste bestämma med vilka intervall funktionen tar ett positivt värde och vid vilket - negativt. Funktionsnollorna i föregående avsnitt hjälper oss att göra detta. Så vi måste bygga en rak linje (separat från grafen) och fördela funktionens nollor från minsta till största längs den i rätt ordning. Nu måste du bestämma vilket av de resulterande intervallerna som har ett "+" tecken och vilket "-".
I vårt fall tar funktionen ett positivt värde i intervallerna:
- från 1 till 4;
- från 9 till oändlighet.
Negativ betydelse:
- från minus oändlighet till 1;
- 4 till 9.
Detta är lätt att definiera. Ersätt valfritt tal från intervallet till funktionen och se vilket tecken svaret är (minus eller plus).
Ökande och minskande funktioner
För att utforska och bygga en funktion måste vi ta reda på var grafen kommer att öka (gå upp längs koordinatlinjen Oy) och var den kommer att falla (krypa ner längs ordinatan).
Funktionen ökar bara omett större värde av variabeln x motsvarar ett större värde på y. Det vill säga x2 är större än x1 och f (x2) är större än f (x1). Och vi observerar ett helt motsatt fenomen i en minskande funktion (ju fler x, desto mindre y). För att bestämma intervallen mellan ökning och minskning måste du hitta följande:
- omfattning (vi har det redan);
- derivat (i vårt fall: 1/3 (3x ^ 2-28x + 49);
- Lös ekvationen 1/3 (3x ^ 2-28x + 49) = 0.
Efter beräkningarna får vi resultatet:
- 7/3;
- 7.
Vi får: funktionen ökar i intervallerna från minus oändlighet till 7/3 och från 7 till oändlighet, och minskar i intervallet från 7/3 till 7.
Extremer
Den undersökta funktionen y = 1/3 (x ^ 3-14x ^ 2 + 49x-36)är kontinuerlig och finns för alla värden av variabeln x. Extrempunkten visar max och minimum för denna funktion. I vårt fall finns det inga, vilket förenklar konstruktionsuppgiften avsevärt. Annars finns extremumpunkterna också med hjälp av funktionens derivat. Efter att ha hittat, glöm inte att markera dem på diagrammet.
Konvexitet och konkavitet
Vi fortsätter att undersöka funktionen y (x) ytterligare.Nu måste vi kontrollera det för konvexitet och konkavitet. Definitionerna av dessa begrepp är ganska svåra att uppfatta, det är bättre att analysera allt med exempel. För testet: en funktion är konvex om den är en obestämd integral av en icke-minskande funktion. Håller med, det här är obegripligt!
Vi måste hitta derivatan av funktionen för den andraordning. Vi får: y = 1/3 (6x-28). Låt oss nu sätta höger sida till noll och lösa ekvationen. Svar: x = 14/3. Vi hittade böjningspunkten, det vill säga platsen där grafen ändras från konvexitet till konkavitet, eller vice versa. I intervallet från minus oändlighet till 14/3 är funktionen konvex, och från 14/3 till plus oändlighet är den konkav. Det är också mycket viktigt att notera att böjningspunkten på grafen ska vara slät och mjuk, inga vassa hörn ska finnas.
Definition av ytterligare punkter
Vår uppgift är att forska och plottafunktioner. Vi har avslutat forskningen, det blir inte svårt att plotta funktionen nu. För mer exakt och detaljerad återgivning av en kurva eller rak linje på koordinatplanet kan du hitta flera hjälppunkter. Det är ganska enkelt att beräkna dem. Till exempel tar vi x = 3, löser den resulterande ekvationen och hittar y = 4. Eller x = 5 och y = -5 och så vidare. Du kan ta så många ytterligare poäng som du behöver för att bygga. Minst 3-5 hittas.
Plotta en graf
Vi behövde undersöka funktionen(x ^ 3-14x ^ 2 + 49x-36) * 1/3 = y. Alla nödvändiga anteckningar under beräkningarna gjordes på koordinatplanet. Allt som återstår att göra är att bygga en graf, det vill säga att ansluta alla punkter till varandra. Att ansluta prickarna ska vara smidigt och snyggt, det är en fråga om skicklighet - lite övning och ditt schema blir perfekt.
