В одном можно быть уверенным на все сто procenti, ka jautājums par to, kas ir vienāds ar hipotenūza kvadrātu, jebkurš pieaugušais cilvēks droši atbildēs: "Kāju kvadrātu summa". Šī teorēma ir stingri iesakņojusies katras izglītota cilvēka prātos, bet jums vienkārši ir jālūdz kāds to pierādīt, un tad var rasties grūtības. Tāpēc atcerēsimies un apsverim dažādus veidus, kā pierādīt Pjēgoras teorēmu.
Biogrāfijas pārskats
Pythagorean teorēma ir pazīstama gandrīz ikvienam, betkāda iemesla dēļ tā radītā cilvēka biogrāfija nav tik populāra. Tas ir iespējams novērst. Tāpēc, pirms izpētīt dažādas pihagoras teorēmas pierādīšanas metodes, ir nepieciešams īsi iepazīties ar viņa personību.
Pitagors - filozofs, matemātiķis, domātājs, kas sveicis noSenā Grieķija. Mūsdienās ir ļoti grūti atšķirt viņa biogrāfiju no leģendām, kas izveidojušās šī lielā cilvēka atmiņā. Bet, kā izriet no viņa sekotāju darbiem, Samosas salā dzimis Samosas Pitagors. Viņa tēvs bija parasts akmens cirtējs, bet māte nāca no dižciltīgas ģimenes.
Судя по легенде, появление на свет Пифагора prognozēja sievieti ar nosaukumu Pythia, kuras godā un nosauca zēnu. Saskaņā ar viņas prognozēm dzimis zēnam ir jādod daudz labumu un labu cilvēcei. Ko patiesībā viņš darīja.
Teorēmas dzimšana
Jaunībā Pitagors pārcēlās no Samosas uzĒģipte, lai tur satiktos ar slavenajiem Ēģiptes gudrajiem. Pēc tikšanās ar viņiem viņam tika atļauts studēt, kur viņš zināja visus lielos Ēģiptes filozofijas, matemātikas un medicīnas sasniegumus.
Droši vien Ēģiptē iedvesmojās Pitagorspiramīdu varenību un skaistumu un radīja viņa lielisko teoriju. Tas var šokēt lasītājus, taču mūsdienu vēsturnieki uzskata, ka Pitagors nav pierādījis savu teoriju. Viņš savas zināšanas nodeva tikai saviem sekotājiem, kuri vēlāk veica visus nepieciešamos matemātiskos aprēķinus.
Lai arī kā būtu, šodien nav zināms nevienspaņēmiens šīs teorēmas pierādīšanai, bet vairākas uzreiz. Mūsdienās var tikai uzminēt, cik precīzi senie grieķi veica savus aprēķinus, tāpēc šeit mēs apsvērsim dažādus Pitagora teorēmas pierādīšanas veidus.
Pitagora teorēma
Pirms jebkādu aprēķinu veikšanas jums jāizdomā, kāda teorija jāpierāda. Pitagora teorēma skan šādi: “Trijstūrī, kurā viens no leņķiem ir 90o"Kāju kvadrātu summa ir vienāda ar hipotenūzes kvadrātu."
Ir 15 dažādi veidi, kā pierādīt Pitagora teorēmu. Tas ir diezgan liels skaits, tāpēc mēs pievērsīsim uzmanību populārākajiem no tiem.
Pirmā metode
Vispirms mēs apzīmējam to, kas mums tiek dots. Šie dati attieksies arī uz citām Pitagora teorēmas pierādīšanas metodēm, tāpēc ir vērts nekavējoties atcerēties visu pieejamo apzīmējumu.
Pieņemsim, ka tiek dots taisnleņķa trīsstūris, kura kājas a, b un hipotenūza ir vienādas ar c. Pirmā pierādīšanas metode ir balstīta uz faktu, ka jums ir jāvelk kvadrāts no taisnleņķa trīsstūra.
Lai to izdarītu, jums ir nepieciešams kājas garums aievelciet segmentu, kas vienāds ar kāju, un otrādi. Tātad tam vajadzētu izrādīties divās vienādās laukuma pusēs. Atliek tikai novilkt divas paralēlas līnijas, un kvadrāts ir gatavs.
Iegūtās figūras iekšpusē joprojām jāzīmēviens kvadrāts ar malu, kas vienāda ar sākotnējā trīsstūra hipotenūzi. Lai to izdarītu, no virsotnēm ac un cv uzzīmējiet divus paralēlus segmentus, kas vienādi ar c. Tādējādi mēs iegūstam trīs kvadrāta malas, no kurām viena ir sākotnējo taisnstūra trīsstūru hipotenūza. Atliek tikai uzzīmēt ceturto segmentu.
Pamatojoties uz iegūto skaitli, mēs varam secināt, ka ārējā kvadrāta laukums ir (a + b)2... Ieskatoties figūras iekšpusē, var redzēt, ka papildus iekšējam kvadrātam tajā ir arī četri taisnleņķa trīsstūri. Katra laukums ir vienāds ar 0,5 av.
Tāpēc platība ir: 4 * 0,5av + s2= 2av + s2
Tādējādi (a + b)2= 2av + s2
Un tāpēc ar2= a2+ iekš2
Teorēma ir pierādīta.
Otrā metode: līdzīgi trijstūri
Šī Pitagora teorēmas pierādīšanas formulatika iegūts, pamatojoties uz paziņojumu no ģeometrijas sadaļas par līdzīgiem trijstūriem. Tajā teikts, ka taisnleņķa trijstūra kāja ir tās hipotenūzes un hipotenūzes segmenta, kas nāk no 90. leņķa virsotnes, proporcionālais vidējais lielumso.
Sākotnējie dati paliek nemainīgi, tāpēc sāksim uzreiz ar pierādījumu. Uzzīmēsim SD segmentu perpendikulāri malai AB. Pamatojoties uz iepriekš minēto apgalvojumu, trijstūru kājas ir:
AC = √AB * HELL, SV = √AB * DV.
Lai atbildētu uz jautājumu par to, kā pierādīt Pitagora teorēmu, pierādījums jāpabeidz, izkārtojot abas nevienlīdzības.
AC2= AB * HELL un SV2= AB * DV
Tagad jums jāapkopo radušās nevienlīdzības.
AC2+ SV2= AB * (HELL * DV), kur HELL + DV = AB
Izrādās, ka:
AC2+ SV2= AB * AB
Un tāpēc:
AC2+ SV2= AB2
Pitagora teorēmas pierādījums un dažādi veidi, kā to atrisināt, prasa daudzpusīgu pieeju šai problēmai. Tomēr šī opcija ir viena no vienkāršākajām.
Vēl viena aprēķina tehnika
Dažādu teorēmas pierādīšanas veidu aprakstsPitagors var neko neteikt, kamēr nesākat praktizēt pats. Daudzas metodes nodrošina ne tikai matemātiskus aprēķinus, bet arī jaunu figūru konstruēšanu no sākotnējā trijstūra.
Šajā gadījumā ir nepieciešams pabeigt vēl vienu VSD taisnleņķa trīsstūri no BC kājas. Tādējādi tagad ir divi trīsstūri ar kopīgu kāju pirms mūsu ēras.
Zinot, ka šādu skaitļu laukumiem ir attiecība pret to līdzīgo lineāro izmēru kvadrātiem, tad:
Cabc * ar2- Savd* in2 = Savd* bet2- Svsd* bet2
Cabc* (no2- iekšā2) = a2* (Savd-Svsd)
ar2- iekšā2= a2
ar2= a2+ iekš2
Tā kā šī iespēja diez vai ir piemērota no dažādiem Pitagora teorēmas 8. pakāpes pierādīšanas veidiem, varat izmantot šādu paņēmienu.
Vieglākais veids, kā pierādīt Pitagora teorēmu. Atsauksmes
Kā uzskata vēsturnieki, šī metode bija pirmo reiziizmanto, lai pierādītu teorēmu senajā Grieķijā. Tas ir vienkāršākais, jo tam nav nepieciešami absolūti nekādi aprēķini. Ja zīmējums ir pareizi uzzīmēts, tad apliecinājums apgalvojumam, ka a2+ iekš2= ar2 , būs skaidri redzams.
Šīs metodes nosacījumi nedaudz atšķirsies no iepriekšējā. Lai pierādītu teorēmu, pieņemsim, ka taisnleņķa trīsstūris ABC ir vienādsānu izmērs.
Hipotenūza AC tiek ņemta par kvadrāta malu unMēs pakārtojam trīs tās puses. Turklāt iegūtajā kvadrātā ir nepieciešams uzzīmēt divas diagonālas līnijas. Tā, lai tās iekšpusē būtu četri vienādsānu trijstūri.
Jums arī jāvelk kvadrāts kājām AB un CB un katrā no tām jāvelk viena diagonāla līnija. Pirmā līnija tiek novilkta no A virsotnes, otra - no C.
Tagad jums rūpīgi jāaplūko iegūtais zīmējums. Tā kā uz maiņstrāvas hipotenūzas ir četri trīsstūri, kas vienādi ar sākotnējo, un divi uz kājām, tas norāda uz šīs teorēmas patiesumu.
Starp citu, pateicoties šai Pitagora teorēmas pierādīšanas metodei, dzima slavenā frāze: "Pitagoras bikses ir vienādas visos virzienos".
J. Garfīlda pierādījums
Džeimss Garfīlds ir Amerikas Savienoto Valstu 20. prezidents. Papildus tam, ka viņš atstāja savu pēdu vēsturē kā ASV valdnieks, viņš bija arī apdāvināts pašmācītājs.
Karjeras sākumā viņš bija parastsskolotājs tautas skolā, bet drīz kļuva par vienas no augstskolām direktoru. Vēlme pēc pašattīstības ļāva viņam ierosināt jaunu teoriju Pitagora teorēmas pierādīšanai. Teorēma un tās risinājuma piemērs ir šāds.
Vispirms jums jāizvelk divitaisnleņķa trīsstūri tā, lai viena no tām kāja būtu otrā turpinājums. Šo trijstūru virsotnes ir jāsavieno, lai galu galā izveidotu trapecveida formu.
Kā jūs zināt, trapeces laukums ir vienāds ar tā pamatu pussummas un augstuma reizinājumu.
S = a + b / 2 * (a + b)
Ja mēs uzskatām iegūto trapecveida kā skaitli, kas sastāv no trim trijstūriem, tā laukumu var atrast šādi:
S = av / 2 * 2 + s2/ 2
Tagad jums ir jāizlīdzina divi sākotnējie izteicieni
2av / 2 + s / 2 = (a + b)2/ 2
ar2= a2+ iekš2
Par Pitagora teorēmu un tās pierādīšanas metodēm var uzrakstīt vairāk nekā vienu mācību grāmatas sējumu. Bet vai tam ir jēga, ja šīs zināšanas nevar izmantot praksē?
Pitagora teorēmas praktisks pielietojums
Diemžēl mūsdienu skolu programmāsšīs teorēmas izmantošana ir paredzēta tikai ģeometriskām problēmām. Absolventi drīz pametīs skolas sienas, nezinot, kā savas zināšanas un prasmes var pielietot praksē.
Faktiski izmantojiet Pitagora teorēmukatrs var darīt savu ikdienu. Un ne tikai profesionālajā darbībā, bet arī parastajos mājas darbos. Apsvērsim vairākus gadījumus, kad Pitagora teorēma un tās pierādīšanas metodes var būt ārkārtīgi nepieciešamas.
Saikne starp teorēmu un astronomiju
Šķiet, kā zvaigznes un trijstūrus var savienot uz papīra. Faktiski astronomija ir zinātnes joma, kurā Pitagora teorēma tiek plaši izmantota.
Piemēram, ņemiet vērā gaismas stara kustību kosmosā. Ir zināms, ka gaisma pārvietojas abos virzienos ar vienādu ātrumu. Tiek saukta trajektorija AB, kuru pārvieto gaismas stars l. Un puse no laika prasa gaismas nokļūšanu no punkta A uz punktu B, piezvanīsim t... Un stara ātrums - ar. Izrādās, ka: c * t = l
Ja paskatās uz šo pašu staru no citaplakne, piemēram, no kosmosa lainera, kas pārvietojas ar ātrumu v, tad, šādi novērojot ķermeņus, to ātrums mainīsies. Šajā gadījumā pat stacionārie elementi pārvietosies ar ātrumu v pretējā virzienā.
Pieņemsim, ka komiksu laineris brauc pa labi.Tad punkti A un B, starp kuriem mētājas stars, pārvietosies pa kreisi. Turklāt, kad stars pārvietojas no punkta A uz punktu B, punktam A ir laiks pārvietoties, un attiecīgi gaisma jau nonāks jaunā punktā C. Lai atrastu pusi attāluma, par kuru punkts A ir nobīdījies, jums jāreizina līnijpārvadātāja ātrums uz pusi sijas kustības laika (t ").
d = t "* v
Un, lai uzzinātu, cik lielu attālumu gaismas stars varētu pārvietoties šajā laikā, puse ceļa jānorāda ar jaunu burtu s un jāiegūst šāda izteiksme:
s = c * t "
Ja mēs iedomājamies, ka gaismas punkti C un B, kā arīkosmosa līnijpārvadātājs ir vienādsānu trijstūra virsotnes, tad segments no punkta A līdz līnijpārvadātājam sadalīs to divos taisnleņķa trīsstūros. Tāpēc, pateicoties Pitagora teorēmai, jūs varat atrast attālumu, kādu gaismas stars varētu nobraukt.
ar2 = l2 + d2
Šis piemērs, protams, nav labākais, jo tikai retajam var paveikt to izmēģināt praksē. Tāpēc mēs apsvērsim šīs teorēmas ikdienišķākus pielietojumus.
Mobilā signāla pārraides rādiuss
Mūsdienu dzīvi jau nav iespējams iedomāties bez viedtālruņu esamības. Bet vai tie būtu daudz noderīgi, ja viņi nevarētu savienot abonentus, izmantojot mobilos sakarus?
Mobilo sakaru kvalitāte ir tieši atkarīga noaugstums, kurā atrodas mobilā operatora antena. Lai aprēķinātu, cik tālu tālrunis var saņemt signālu no mobilā torņa, varat izmantot Pitagora teorēmu.
Pieņemsim, ka jums jāatrod aptuvenais nekustīgā torņa augstums, lai tas varētu izplatīt signālu 200 kilometru rādiusā.
AB (torņa augstums) = x;
Lidmašīna (signāla pārraides rādiuss) = 200 km;
OS (globusa rādiuss) = 6380 km;
No šejienes
OB = OA + ABOV = r + x
Piemērojot Pitagora teorēmu, mēs uzzinām, ka minimālajam torņa augstumam jābūt 2,3 kilometriem.
Pitagora teorēma ikdienas dzīvē
Dīvainā kārtā Pitagora teorēma var izrādītiesnoderīgi pat mājas darbos, piemēram, nosakot skapja augstumu, piemēram. No pirmā acu uzmetiena nav nepieciešams izmantot tik sarežģītus aprēķinus, jo jūs varat vienkārši veikt mērījumus ar mērlenti. Bet daudzi ir pārsteigti, kāpēc montāžas procesā rodas noteiktas problēmas, ja visi mērījumi tika veikti vairāk nekā precīzi.
Fakts ir tāds, ka skapis gatavojashorizontālā stāvoklī un tikai pēc tam tas paceļas un tiek uzstādīts pret sienu. Tāpēc korpusa sānam konstrukcijas pacelšanas procesā vajadzētu brīvi iziet gan telpas augstumā, gan pa diagonāli.
Pieņemsim, ka jums ir skapis ar 800 mm dziļumu.Attālums no grīdas līdz griestiem ir 2600 mm. Pieredzējis mēbeļu ražotājs jums pateiks, ka skapja augstumam jābūt par 126 mm mazākam nekā telpas augstumam. Bet kāpēc tieši 126 mm? Apskatīsim piemēru.
Ar ideāliem skapja izmēriem mēs pārbaudām Pitagora teorēmas darbību:
AC = √AB2+ √VS2
AC = √24742+8002= 2600 mm - viss saplūst.
Pieņemsim, ka skapja augstums nav 2474 mm, bet 2505 mm. Tad:
AC = √25052+ √8002= 2629 mm.
Tāpēc šis skapis nav piemērots uzstādīšanai šajā telpā. Tā kā tā pacelšana vertikālā stāvoklī var sabojāt tā ķermeni.
Varbūt, ņemot vērā dažādus pierādīšanas veidusdažādu zinātnieku Pitagora teorēma, mēs varam secināt, ka tā ir vairāk nekā patiesība. Tagad jūs varat izmantot saņemto informāciju savā ikdienas dzīvē un būt pilnīgi pārliecināts, ka visi aprēķini būs ne tikai noderīgi, bet arī pareizi.
