באיזה רבעונים החיסרון חיובי? באיזה רבעונים יש את הסינוס ואת הקוסינוס חיובי?

שאלות הנובעות מהמחקרפונקציות טריגונומטריות מגוונות. כמה מהם נמצאים על איזה רבעונים הקוסינוס הוא חיובי ושלילי, שבו רבעי הסינוס הוא חיובי ושלילי. הכל מתברר להיות פשוט אם אתה יודע איך לחשב את הערך של פונקציות אלה בזוויות שונות והוא מכיר את העיקרון של בניית פונקציות על הגרף.

מהם ערכי הקוסינוס?

אם ניקח בחשבון משולש זווית ישרה, אז יש לנו את יחס הממדים הבא, אשר מגדיר את זה: עם הקוסינוס של זווית א הוא היחס של ה- BC הסמוך ל- hypotenuse AB (איור 1): cos א = Sun / AB.

בעזרתו של אותו משולש אתה יכול למצוא את הסינוסזווית, משיק cotangent. הסינוס הוא היחס של ההפך לזווית של AC הרגל ל hypotenuse AB. משיק הזווית הוא, אם הסינוס של הזווית הרצויה מחולק על ידי הקוסינוס של אותה זווית; החלפת נוסחאות המקביל למציאת סינוס וקוסינוס, אנחנו מקבלים את זה tg א = AC / VS. Cotangent, כפונקציה הפוכה על המשיק, יהיה כדלקמן: ctg א = SU / AU.

כלומר, באותה זווית ערכיםנמצא שבמשולש הימני יחס הממדים הוא תמיד אותו הדבר. נראה כי התברר מאיפה מגיעים ערכים אלה, אך מדוע מתקבלים מספרים שליליים?

לשם כך, עליך לשקול את המשולש במערכת הקואורדינטות הקרטזית, שבו יש ערכים חיוביים ושליליים כאחד.

ברור לגבי הרבעים, איפה מה

מה הם הקואורדינטות הקרטזיות?אם מדברים על מרחב דו -ממדי, יש לנו שני קווים ישרים מכוונים המצטלבים בנקודה O - זהו ציר האבקסיס (Ox) והציר הסדיר (Oy). מנקודה O בכיוון הקו הישר ממוקמים מספרים חיוביים ובכיוון ההפוך - שלילי. בסופו של דבר, הדבר קובע ישירות באילו רבעים הקוסינוס חיובי, ובאילו בהתאמה שלילי.

רבע ראשון

אם אתה מציב משולש ישר בזווית ברבע הראשון (מ- 0^o עד 90^o), כאשר לציר x ולציר y יש ערכים חיוביים(הקטעים AO ו- BO מונחים על הצירים שבהם לערכים יש סימן "+"), ואז שהסינוס, שלקוסינוס יהיו גם ערכים חיוביים, והם מקבלים ערך עם סימן פלוס. אבל מה יקרה אם תעביר את המשולש לרבע השני (מ -90^o עד 180^o)?

רבע שני

אנו רואים שלרגלי AO יש ערך שלילי לאורך ציר ה- y. קוסינוס של זווית א עכשיו יש צד זה ביחס למינוס,לכן, הערך הסופי שלו הופך לשלילי. מסתבר שבאיזה רבע הקוסינוס חיובי תלוי במיקום המשולש במערכת הקואורדינטות הקרטזית. ובמקרה זה, קוסינוס הזווית הופך לשלילי. אבל מבחינת הסינוס, שום דבר לא השתנה, כי כדי לקבוע את הסימן שלו, יש צורך בצד OB, שבמקרה זה נשאר עם סימן פלוס. בואו נסכם את שני הרבעונים הראשונים.

כדי לברר באילו רבעים הקוסינוסחיובי, ובאילו שלילי (כמו גם סינוס ופונקציות טריגונומטריות אחרות), יש לבחון איזה סימן מוקצה לרגל כזו או אחרת. לקוסינוס של זווית א רגל ה- AO חשובה לסינוס - OB.

הרבע הראשון הפך עד כה היחיד שעונה על השאלה: "באילו רבעים חיוביים סינוס וקוסינוס בו זמנית?" בואו נראה עוד אם עדיין יהיו צירופי מקרים בסימן שתי הפונקציות הללו.

ברבע השני, לרגל ה- AO החלה להיות בעלת ערך שלילי, מה שאומר שגם הקוסינוס הפך לשלילי. ערך חיובי נשמר לסינוס.

רבע שלישי

עכשיו שתי הרגליים AO ו- OB הפכו לשליליות. בואו נזכור את יחסי הקוסינוס והסינוס:

כי a = AO / AB;

חטא a = VO / AB.

ל- AB תמיד יש סימן חיובי נתוןמערכת הקואורדינטות, מכיוון שהיא אינה מכוונת לאחד משני הצדדים המוגדרים על ידי הצירים. אבל הרגליים הפכו לשליליות, מה שאומר שהתוצאה עבור שתי הפונקציות היא גם שלילית, כי אם אתה מבצע פעולות כפל או חלוקה עם מספרים, ביניהם לאחד ורק אחד יש סימן מינוס, אז התוצאה תהיה גם עם הסימן הזה.

התוצאה בשלב זה:

1) באיזה רבע הקוסינוס חיובי? בראשון מתוך שלושה.

2) באיזה רבע הסינוס חיובי? בראשון ובשני מתוך השלושה.

הרבע הרביעי (מ -270^o עד 360^o)

כאן רגל ה- AO שוב רוכשת את סימן החיבור, ומכאן גם הקוסינוס.

עבור הסינוס, המקרים עדיין "שליליים", מכיוון שרגל ה- OB נשארה מתחת לנקודת ההתחלה O.

מסקנות

על מנת להבין באילו רבעיםהקוסינוס חיובי, שלילי וכו ', עליך לזכור את היחס לחישוב הקוסינוס: הרגל הצמודה לפינה, מחולקת בהיפוטנוזה. כמה מורים מציעים לזכור זאת: k (osine) = (k) זווית. אם אתה זוכר את ה"רמאות "הזו, אז אתה מבין אוטומטית שהסינוס הוא היחס בין ההפך לזווית הרגל להיפוטנוזה.

זכור באילו רבעים הקוסינוס נמצאחיובי, ובאילו שלילי, זה די קשה. ישנן פונקציות טריגונומטריות רבות, ולכולן יש משמעויות משלהן. אך עדיין כתוצאה מכך: ערכים חיוביים לסינוס הם 1, 2 רבעים (מ -0^o עד 180^o); עבור קוסינוס 1, 4 רבעים (מ -0^o עד 90^o ומ -270^o עד 360^o). ברבעים הנותרים, לפונקציות יש ערכים עם מינוס.

אולי יהיה קל יותר למישהו לזכור היכן נמצא הסימן, על פי תמונת הפונקציה.

לגבי הסינוס, ניתן לראות כי מאפס ל -180^o הסמל נמצא מעל קו הערך sin (x),מכאן שהפונקציה גם חיובית כאן. עבור הקוסינוס זהה: באיזה רבע הקוסינוס חיובי (תמונה 7), ובאיזה רבע הוא נראה על ידי תנועת הקו מעל ומתחת לציר cos (x). כתוצאה מכך נוכל לזכור שתי דרכים לקבוע את סימן הפונקציות הסינוס והקוסינוס:

1.לאורך מעגל דמיוני עם רדיוס שווה לאחד (למרות שלמעשה אין זה משנה איזה רדיוס יש למעגל, אך בספרי הלימוד דוגמא זו ניתנת לרוב; הדבר מקל על התפיסה, אך יחד עם זאת, אם כן אל תעשו הסתייגות שזו לא המהות החשובה, ילדים יכולים להתבלבל).

2. לפי דימוי התלות של הפונקציה ב- (x) בטיעון x עצמו, כמו באיור האחרון.

בשיטה הראשונה אתה יכול להבין ממההסימן תלוי, והסברנו זאת בפירוט לעיל. איור 7, הבנוי על בסיס נתונים אלה, מדמיין היטב את האפשרויות המתקבלות ואת סימניה.