Penso che dovremmo iniziare con una storia così gloriosastrumento matematico come equazioni differenziali. Come tutti i calcoli differenziali e integrali, queste equazioni furono inventate da Newton alla fine del XVII secolo. Considerava questa sua scoperta così importante da criptare persino un messaggio che oggi può essere tradotto in questo modo: "Tutte le leggi della natura sono descritte da equazioni differenziali". Può sembrare un'esagerazione, ma lo è. Qualsiasi legge di fisica, chimica, biologia può essere descritta da queste equazioni.
I matematici Eulero e Lagrange hanno dato un enorme contributo allo sviluppo e alla creazione della teoria delle equazioni differenziali. Già nel XVIII secolo scoprirono e svilupparono ciò che ora viene studiato negli ultimi anni delle università.
Una nuova pietra miliare nello studio delle equazioni differenzialiiniziato grazie a Henri Poincaré. Ha creato la "teoria qualitativa delle equazioni differenziali", che, combinata con la teoria delle funzioni di una variabile complessa, ha dato un contributo significativo alla fondazione della topologia: la scienza dello spazio e le sue proprietà.
Cosa sono le equazioni differenziali?
Molti hanno paura di una frase"equazione differenziale". Tuttavia, in questo articolo descriveremo in dettaglio l'intera essenza di questo utilissimo apparato matematico, che in realtà non è così difficile come suggerisce il nome. Per iniziare a parlare di equazioni differenziali del primo ordine, dovresti prima familiarizzare con i concetti di base che sono intrinsecamente correlati a questa definizione. E inizieremo con il differenziale.
Differenziale
Molte persone conoscono questo concetto dalla scuola.Tuttavia, soffermiamoci su di esso in modo più dettagliato. Immagina un grafico di una funzione. Possiamo ingrandirlo a tal punto che ogni suo segmento diventa una linea retta. Su di esso prendiamo due punti che sono infinitamente vicini l'uno all'altro. La differenza tra le loro coordinate (x o y) sarà infinitesimale. Si chiama differenziale ed è indicato dai segni dy (differenziale da y) e dx (differenziale da x). È molto importante capire che il differenziale non è un valore finito, e questo è il suo significato e la sua funzione principale.
E ora è necessario considerare il prossimo elemento, che ci sarà utile per spiegare il concetto di equazione differenziale. Questo è un derivato.
Derivato
Probabilmente abbiamo tutti sentito questo concetto a scuola.Si dice che un derivato sia la velocità con cui una funzione cresce o diminuisce. Tuttavia, da questa definizione, molto diventa incomprensibile. Proviamo a spiegare la derivata in termini di differenziali. Torniamo al segmento infinitesimale di una funzione con due punti che si trovano ad una distanza minima tra loro. Ma anche per questa distanza, la funzione ha il tempo di cambiare di una certa quantità. E per descrivere questo cambiamento e ha inventato una derivata, che può altrimenti essere scritta come il rapporto dei differenziali: f (x) "= df / dx.
Ora vale la pena considerare le proprietà di base del derivato. Ce ne sono solo tre:
- La derivata della somma o della differenza può essere rappresentata come la somma o la differenza delle derivate: (a + b) "= a" + b "e (a-b)" = a "-b".
- La seconda proprietà è relativa alla moltiplicazione. La derivata di un prodotto è la somma dei prodotti di una funzione per la derivata di un'altra: (a * b) "= a" * b + a * b ".
- La derivata della differenza può essere scritta come la seguente uguaglianza: (a / b) "= (a" * b-a * b ") / b2.
Tutte queste proprietà ci saranno utili per trovare soluzioni alle equazioni differenziali del primo ordine.
Esistono anche derivati parziali.Supponiamo di avere una funzione z che dipende dalle variabili x e y. Per calcolare la derivata parziale di questa funzione, diciamo, rispetto a x, dobbiamo prendere la variabile y come costante e differenziarla.
Integrante
Un altro concetto importante è l'integrale.In realtà, questo è l'esatto opposto di un derivato. Esistono diversi tipi di integrali, ma per risolvere le equazioni differenziali più semplici abbiamo bisogno degli integrali indefiniti più banali.
Allora cos'è un integrale?Supponiamo di avere una certa dipendenza di f da x. Da esso prendiamo l'integrale e otteniamo la funzione F (x) (spesso chiamata antiderivativa), la cui derivata è uguale alla funzione originale. Quindi, F (x) "= f (x). Ne consegue anche che l'integrale della derivata è uguale alla funzione originale.
Quando si risolvono equazioni differenziali, è molto importante comprendere il significato e la funzione dell'integrale, poiché molto spesso dovrai prenderle per trovare una soluzione.
Le equazioni sono diverse a seconda della loro natura. Nella sezione successiva, esamineremo i tipi di equazioni differenziali del primo ordine e quindi impareremo come risolverli.
Classi di equazioni differenziali
Le "differenze" sono divise in ordine di derivati,partecipando a loro. Quindi, c'è il primo, secondo, terzo e altro ordine. Possono anche essere suddivisi in più classi: derivate ordinarie e derivate parziali.
In questo articolo, vedremo comuniequazioni differenziali del primo ordine. Discuteremo anche esempi e modi per risolverli nelle sezioni seguenti. Considereremo solo le ODE, perché questi sono i tipi di equazioni più comuni. Gli ordinari sono suddivisi in sottospecie: con variabili separabili, omogenee ed eterogenee. Successivamente, imparerai come differiscono l'uno dall'altro e imparerai come risolverli.
Inoltre, queste equazioni possono essere combinate per formare un sistema di equazioni differenziali del primo ordine. Considereremo anche tali sistemi e impareremo come risolverli.
Perché stiamo considerando solo il primo ordine? Perché è necessario iniziare in modo semplice ed è semplicemente impossibile descrivere tutto ciò che riguarda le equazioni differenziali in un articolo.
Equazioni separabili
Questi sono forse il differenziale più sempliceequazioni del primo ordine. Questi includono esempi che possono essere scritti in questo modo: y "= f (x) * f (y). Per risolvere questa equazione, abbiamo bisogno di una formula per rappresentare la derivata come un rapporto di differenziali: y" = dy / dx. Con esso, otteniamo la seguente equazione: dy / dx = f (x) * f (y). Ora possiamo passare al metodo per risolvere esempi standard: divideremo le variabili in parti, ovvero trasferiremo tutto dalla variabile y alla parte in cui si trova dy, e faremo lo stesso con la variabile x. Otteniamo un'equazione della forma: dy / f (y) = f (x) dx, che si risolve prendendo integrali da entrambe le parti. Non dimenticare la costante, che deve essere impostata dopo aver preso l'integrale.
La soluzione a qualsiasi "diffusione" è una funzione della dipendenza di x da y (nel nostro caso) oppure, se esiste una condizione numerica, la risposta è in forma di numero. Analizziamo l'intero corso della soluzione utilizzando un esempio specifico:
y "= 2y * sin (x)
Trasferiamo variabili in diverse direzioni:
dy / y = 2 * sin (x) dx
Ora prendiamo gli integrali. Tutti possono essere trovati in una tabella speciale di integrali. E otteniamo:
ln (y) = -2 * cos (x) + C
Se necessario, possiamo esprimere "gioco" comefunzione da "x". Ora possiamo dire che la nostra equazione differenziale è risolta se la condizione non è specificata. È possibile specificare una condizione, ad esempio y (n / 2) = e. Quindi sostituiamo semplicemente il valore di queste variabili nella soluzione e troviamo il valore della costante. Nel nostro esempio, è uguale a 1.
Equazioni differenziali omogenee del primo ordine
Ora passiamo alla parte più difficile.Le equazioni differenziali omogenee del primo ordine possono essere scritte in forma generale come segue: y "= z (x, y). Si noti che la funzione giusta di due variabili è omogenea e non può essere divisa in due dipendenze: z su xez su y. Controllare se l'equazione è omogenea o meno è abbastanza semplice: facciamo la sostituzione x = k * xey = k * y. Ora cancelliamo tutte le k. Se tutte queste lettere sono state cancellate, allora l'equazione è omogenea e possiamo tranquillamente procedere alla sua soluzione Diciamo: il principio per risolvere questi esempi è anche molto semplice.
Dobbiamo fare una sostituzione:y = t (x) * x, dove t è una funzione che dipende anche da x. Quindi possiamo esprimere la derivata: y "= t" (x) * x + t. Sostituendo tutto questo nella nostra equazione originale e semplificandola, otteniamo un esempio con variabili separabili t e x. Lo risolviamo e otteniamo la dipendenza t (x). Quando lo otteniamo, sostituiamo semplicemente y = t (x) * x nella nostra precedente sostituzione. Quindi otteniamo la dipendenza di y da x.
Per renderlo più chiaro, diamo un'occhiata a un esempio: x * y "= y-x * ey / x.
Durante il controllo e la sostituzione, tutto è ridotto.Ciò significa che l'equazione è davvero omogenea. Ora facciamo un'altra sostituzione, di cui abbiamo parlato: y = t (x) * x e y "= t" (x) * x + t (x). Dopo la semplificazione, otteniamo la seguente equazione: t "(x) * x = -et... Risolvendo l'esempio risultante con variabili separate e ottenendo: e-t= ln (C * x). Dobbiamo solo sostituire t con y / x (dopotutto, se y = t * x, allora t = y / x), e otteniamo la risposta: e-y / x= ln (x * С).
Equazioni differenziali lineari del primo ordine
È ora di affrontare un altro argomento ampio.Analizzeremo equazioni differenziali disomogenee del primo ordine. In cosa differiscono dai due precedenti? Scopriamolo. Le equazioni differenziali lineari del primo ordine in forma generale possono essere scritte come segue: y "+ g (x) * y = z (x). Vale la pena chiarire che z (x) eg (x) possono essere costanti.
E ora un esempio: y "- y * x = x2.
Ci sono due modi per risolvere questo problema e li esamineremo entrambi in ordine. Il primo è il metodo di variazione delle costanti arbitrarie.
Per risolvere l'equazione in questo modo, devi prima equiparare il lato destro a zero e risolvere l'equazione risultante, che dopo aver trasferito le parti assumerà la forma:
y "= y * x;
dy / dx = y * x;
dy / y = xdx;
ln | y | = x2/ 2 + C;
y = ex2 / 2* yC= C1* ex2 / 2.
Ora dobbiamo sostituire la costante C1 alla funzione v (x), che dobbiamo trovare.
y = v * ex2 / 2.
Sostituiamo la derivata:
y "= v" * ex2 / 2-x * v * ex2 / 2.
E sostituiamo queste espressioni nell'equazione originale:
v "* ex2 / 2 - x * v * ex2 / 2 + x * v * ex2 / 2 = x2.
Puoi vedere che sul lato sinistro due termini vengono annullati. Se in qualche esempio ciò non è accaduto, allora hai fatto qualcosa di sbagliato. Continuiamo:
v "* ex2 / 2 = x2.
Ora risolviamo la solita equazione in cui dobbiamo separare le variabili:
dv / dx = x2/ ex2 / 2;
dv = x2* e-x2 / 2dx.
Per estrarre l'integrale, dobbiamo applicarequi integrazione per parti. Tuttavia, questo non è l'oggetto del nostro articolo. Se sei interessato, puoi imparare a fare queste cose da solo. Non è difficile e, con sufficiente abilità e attenzione, non ci vuole molto tempo.
Passiamo al secondo metodo per risolvere equazioni disomogenee: il metodo di Bernoulli. Qual è l'approccio più veloce e più facile dipende da te.
Quindi, quando risolviamo l'equazione con questo metodo, noiè necessario fare una sostituzione: y = k * n. Qui k e n sono alcune funzioni dipendenti da x. Quindi la derivata sarà simile a questa: y "= k" * n + k * n "Sostituisci entrambe le sostituzioni nell'equazione:
k "* n + k * n" + x * k * n = x2.
Raggruppiamo:
k "* n + k * (n" + x * n) = x2.
Ora dobbiamo equiparare a zero ciò che è tra parentesi. Ora, se combini le due equazioni risultanti, ottieni un sistema di equazioni differenziali del primo ordine che deve essere risolto:
n "+ x * n = 0;
k "* n = x2.
Risolviamo la prima uguaglianza come un'equazione ordinaria. Per fare ciò, è necessario separare le variabili:
dn / dx = x * v;
dn / n = xdx.
Prendiamo l'integrale e otteniamo: ln (n) = x2/ 2. Quindi, se esprimiamo n:
n = ex2 / 2.
Ora sostituiamo l'uguaglianza risultante nella seconda equazione del sistema:
k "* ex2 / 2= x2.
E convertendo, otteniamo la stessa uguaglianza del primo metodo:
dk = x2/ ex2 / 2.
Inoltre non discuteremo ulteriori azioni.Va detto che inizialmente la soluzione di equazioni differenziali del primo ordine causa notevoli difficoltà. Tuttavia, con un'immersione più profonda nell'argomento, inizia a migliorare sempre di più.
Dove vengono utilizzate le equazioni differenziali?
Equazioni differenziali molto attiveapplicato in fisica, poiché quasi tutte le leggi fondamentali sono scritte in forma differenziale e le formule che vediamo sono la soluzione di queste equazioni. In chimica, vengono utilizzati per lo stesso motivo: le leggi fondamentali sono derivate con il loro aiuto. In biologia, le equazioni differenziali vengono utilizzate per modellare il comportamento di sistemi come un predatore-preda. Possono anche essere usati per creare modelli di riproduzione per, diciamo, una colonia microbica.
In che modo le equazioni differenziali aiutano nella vita?
La risposta a questa domanda è semplice: niente.Se non sei uno scienziato o un ingegnere, è improbabile che ti siano utili. Tuttavia, per lo sviluppo generale, non fa male sapere cos'è un'equazione differenziale e come viene risolta. E poi la domanda di un figlio o di una figlia "cos'è un'equazione differenziale?" non ti confonderà. Bene, se sei uno scienziato o un ingegnere, allora comprendi tu stesso l'importanza di questo argomento in qualsiasi scienza. Ma la cosa più importante è che ora la domanda "come risolvere un'equazione differenziale del primo ordine?" puoi sempre dare una risposta. D'accordo, è sempre piacevole quando capisci ciò che le persone hanno persino paura di capire.
I problemi principali durante lo studio
Il problema principale nella comprensione di questo argomento èscarsa capacità di integrare e differenziare le funzioni. Se non sei bravo a prendere derivati e integrali, forse vale la pena saperne di più, padroneggiare diversi metodi di integrazione e differenziazione, e solo allora iniziare a studiare il materiale descritto nell'articolo.
Alcune persone sono sorprese quando scoprono che dxpuò essere riportato, perché prima (a scuola) si diceva che la frazione dy / dx è indivisibile. Qui è necessario leggere la letteratura sulla derivata e capire che è il rapporto tra quantità infinitesime che può essere manipolato quando si risolvono le equazioni.
Molti non si rendono immediatamente conto che la risoluzione di equazioni differenziali del primo ordine è spesso una funzione o un integrale non banale, e questa delusione crea loro molti problemi.
Cos'altro puoi studiare per una migliore comprensione?
È meglio iniziare un'ulteriore immersione nel mondocalcolo differenziale da libri di testo specializzati, ad esempio, in analisi matematica per studenti di specialità non matematiche. Quindi puoi passare a una letteratura più specializzata.
Vale la pena dire che, oltre alle equazioni differenziali, ci sono anche equazioni integrali, quindi avrai sempre qualcosa per cui lottare e cosa studiare.
conclusione
Speriamo che dopo aver letto questo articolo, abbiate un'idea di cosa sono le equazioni differenziali e di come risolverle correttamente.
In ogni caso, la matematica in qualche modo ci sarà utile nella vita. Sviluppa logica e attenzione, senza le quali ogni persona è come nessuna mano.
