Proprietà e metodi per trovare le radici di un'equazione quadratica

Il mondo è organizzato in modo tale che la soluzione di un gran numeroproblemi si riduce a trovare le radici di un'equazione quadratica. Le radici delle equazioni sono importanti per descrivere vari modelli. Questo era noto anche ai geometri dell'antica Babilonia. Anche gli astronomi e gli ingegneri furono costretti a risolvere questi problemi. Nel VI secolo d.C., lo scienziato indiano Aryabhata sviluppò le basi per trovare le radici di un'equazione quadratica. Le formule hanno assunto un aspetto finito nel XIX secolo.

Concetti generali

Ti suggeriamo di familiarizzare con le leggi di base delle uguaglianze quadratiche. In termini generali, l'uguaglianza può essere scritta come segue:

ascia² + bx + c = 0,

Il numero di radici di un'equazione quadratica può essere uno o due. Una rapida analisi può essere fatta utilizzando la nozione di discriminanti:

D = b² - 4ac

A seconda del valore calcolato, otteniamo:

• Per D> 0, ci sono due radici diverse. La formula generale per determinare le radici di un'equazione quadratica è simile a (-b ± √D) / (2a).
• D = 0, in questo caso la radice è uno e corrisponde al valore x = -b / (2a)
• D <0, non c'è soluzione all'equazione per un valore negativo del discriminante.

Nota: se il discriminante è negativo, l'equazione non ha radici solo nell'intervallo dei numeri reali. Se l'algebra viene estesa al concetto di radici complesse, allora l'equazione ha una soluzione.

Ecco una catena di azioni che confermano la formula per trovare le radici.

Dalla forma generale dell'equazione segue:

ascia² + bx = -c

Moltiplica i lati destro e sinistro per 4a e aggiungi b², noi abbiamo

4a²a partire dal² + 4abx + b² = -4ac + b²

Trasforma il lato sinistro come un polinomio quadrato (2ax + b)²... Prendi la radice quadrata di entrambi i membri dell'equazione 2ax + b = -b ± √ (-4ac + b²), trasferiamo il coefficiente b a destra, otteniamo:

2ax = -b ± √ (-4ac + b²)

Ciò implica:

x = (-b ± √ (b² - 4ac))

Cosa doveva essere mostrato.

Un caso speciale

In alcuni casi, la risoluzione del problema può essere semplificata. Quindi, per un coefficiente pari b, otteniamo una formula più semplice.

Indichiamo k = 1 / 2b, quindi la formula della forma generale delle radici dell'equazione quadratica assume la forma:

x = (-k ± (k² - ac)) / a

Per D = 0, otteniamo x = -k / a

Un altro caso speciale sarà la soluzione dell'equazione per a = 1.

Per la vista x² + bx + c = 0 le radici saranno x = -k ± √ (k² - c) quando il discriminante è maggiore di 0. Per il caso in cui D = 0, la radice sarà determinata da una semplice formula: x = -k.

Utilizzo dei grafici

Qualsiasi persona, senza nemmeno saperlo, si trova costantemente di fronte a fenomeni fisici, chimici, biologici e persino sociali che sono ben descritti da una funzione quadratica.

Nota: una curva basata su una funzione quadratica è chiamata parabola.

Ecco alcuni esempi.

1. Quando si calcola la traiettoria di un proiettile, viene utilizzata la proprietà del movimento lungo una parabola di un corpo sparato ad angolo rispetto all'orizzonte.
2. La proprietà di una parabola di distribuire uniformemente il carico è ampiamente utilizzata in architettura.

Comprendendo l'importanza di una funzione parabolica, scopriamo come utilizzare un grafico per esplorarne le proprietà utilizzando i concetti di "discriminante" e "radici di un'equazione quadratica".

A seconda del valore dei coefficienti aeb, ci sono solo sei opzioni per la posizione della curva:

1. Il discriminante è positivo, aeb hanno segni diversi. I rami della parabola puntano verso l'alto, l'equazione quadratica ha due soluzioni.
2. Il discriminante e il coefficiente b sono uguali a zero, il coefficiente a è maggiore di zero. Il grafico è nella zona positiva, l'equazione ha 1 radice.
3. Il discriminante e tutti i coefficienti sono positivi. L'equazione quadratica non ha soluzione.
4. Il discriminante e il coefficiente a sono negativi, b è maggiore di zero. I rami del grafico sono diretti verso il basso, l'equazione ha due radici.
5. Il discriminante e il coefficiente b sono uguali a zero, il coefficiente a è negativo. La parabola guarda in basso, l'equazione ha una radice.
6. Il discriminante e tutti i coefficienti sono negativi. Non ci sono soluzioni, i valori della funzione sono completamente nella zona negativa.

Nota: l'opzione a = 0 non è considerata, poiché in questo caso la parabola degenera in una retta.

Tutto quanto sopra è ben illustrato dalla figura sottostante.

Esempi di problem solving

Condizione: utilizzando le proprietà generali, creare un'equazione quadratica, le cui radici sono uguali tra loro.

soluzione:

dalla condizione del problema x₁ = x₂, oppure -b + √ (b² - 4ac) / (2a) = -b + √ (b² - 4ac) / (2a). Semplificando l'inserimento:

-b + (b² - 4ac) / (2a) - (-b - (b² - 4ac) / (2a)) = 0, apri le parentesi e inserisci termini simili. L'equazione assume la forma 2√ (b² - 4ac) = 0. Questa affermazione è vera quando b² - 4ac = 0, quindi b² = 4ac, quindi il valore b = 2√ (ac) viene sostituito nell'equazione

ascia² + 2√ (ac) x + c = 0, nella forma ridotta si ottiene x² + 2√ (c / a) x + c = 0.

La risposta è:

per a non uguale a 0 e qualsiasi c, c'è una sola soluzione se b = 2√ (c / a).

Equazioni quadratiche per tutta la loro semplicitàsono di grande importanza nei calcoli di ingegneria. Quasi tutti i processi fisici possono essere descritti con una certa approssimazione utilizzando funzioni di legge di potenza dell'ordine n. L'equazione quadratica sarà la prima di tali approssimazioni.