Száz százalékig biztos lehet benneszázalék, hogy arra a kérdésre, hogy mekkora a hipotenusz négyzete, bármelyik felnőtt bátran válaszol: "A lábak négyzeteinek összege." Ez a tétel minden művelt ember fejében szilárdan gyökerezik, de elég megkérni valakit a bizonyításra, és akkor nehézségek adódhatnak. Emlékezzünk tehát és vegyük figyelembe a Pitagorasz-tétel bizonyításának különböző módjait.
Az életrajz áttekintése
A pythagorai tétel szinte mindenki számára ismert, devalamilyen oknál fogva nem az olyan népszerű életrajz, amelyik az előállított személyt. Javítható. Ezért, mielőtt megvizsgálnánk a Pythagorai tétel tételének különböző módszereit, röviden meg kell ismerned a személyiségét.
Pythagoras - filozófus, matematikus, gondolkodó származikÓkori Görögország. Ma nagyon nehéz megkülönböztetni életrajzát a legendáktól, amelyek ennek a nagy embernek az emlékezetében alakultak ki. De a követői munkáiból következik, hogy Samos Pythagoras született Samos szigetén. Apja szokásos kővágó volt, de anyja nemes családból származott.
A legenda szerint Pythagoras születésemegjósolta egy Pythia nevű nőt, akinek tiszteletére a fiút elnevezték. Jóslata szerint a megszületett fiúnak sok hasznot és jót kellett volna hoznia az emberiségnek. Amit valójában meg is tett.
A tétel születése
Fiatalkorában Pythagoras Szamosz szigetéről költözött ideEgyiptomot, hogy ott találkozzon híres egyiptomi bölcsekkel. A velük való találkozás után felvételt nyert a tanulásra, ahol megtanulta az egyiptomi filozófia, matematika és orvostudomány minden nagyszerű vívmányát.
Valószínűleg Egyiptomban ihlette Pythagorasta piramisok fenségét és szépségét, és megalkotta nagyszerű elméletét. Ez sokkolhatja az olvasókat, de a modern történészek úgy vélik, hogy Pythagoras nem igazolta elméletét. Tudását csak követőinek adta át, akik később minden szükséges matematikai számítást elvégeztek.
Bárhogy is legyen, ma már egy sem ismertennek a tételnek a bizonyítási módszere, de egyszerre több. Ma már csak találgatni tudjuk, hogy az ókori görögök pontosan hogyan végezték számításaikat, ezért itt a Pitagorasz-tétel bizonyításának különböző módjait fogjuk megvizsgálni.
Pitagorasz tétel
Mielőtt bármilyen számítást elkezdene, ki kell találnia, hogy melyik elméletet kell bizonyítani. A Pitagorasz-tétel a következőképpen hangzik: „Egy háromszögben, amelynek egyik szöge 90körülbelül, a lábak négyzeteinek összege egyenlő a hipotenusz négyzetével."
Összességében 15 különböző módszer létezik a Pitagorasz-tétel bizonyítására. Ez egy meglehetősen nagy szám, ezért figyeljünk a legnépszerűbbekre.
Első módszer
Először is jelöljük ki, mi adatik nekünk. Ezek az adatok a Pitagorasz-tétel más bizonyítási módszereire is vonatkoznak, ezért azonnal emlékeznie kell az összes rendelkezésre álló jelölésre.
Tegyük fel, hogy adott egy derékszögű háromszög, amelynek a, b lábai és egy befogója egyenlő c-vel. Az első bizonyítási módszer azon alapul, hogy derékszögű háromszögből négyzetet kell húzni.
Ehhez meg kell egy láb hosszúságú arajzoljunk egy szakaszt, amely egyenlő a c lábbal, és fordítva. Ezzel a négyzet két egyenlő oldalát kell létrehozni. Már csak két párhuzamos vonalat kell húzni, és a négyzet készen áll.
A kapott alakzaton belül többet kell rajzolniaegy négyzet, amelynek oldala megegyezik az eredeti háromszög befogójával. Ehhez az ac és sv csúcsokból két párhuzamos, c-vel egyenlő szegmenst kell rajzolni. Így a négyzet három oldalát kapjuk, amelyek közül az egyik az eredeti derékszögű háromszög befogója. Már csak a negyedik szakaszt kell befejezni.
A kapott ábra alapján megállapíthatjuk, hogy a külső négyzet területe (a + b)2... Ha belenézünk az ábrába, láthatjuk, hogy a belső négyzeten kívül négy derékszögű háromszöget is tartalmaz. Mindegyik területe 0,5 átl.
Ezért a terület: 4 * 0,5av + s2= 2av + s2
Ezért (a + b)2= 2av + s2
És ezért azzal2= a2+ be2
A tétel bizonyítva van.
Második módszer: hasonló háromszögek
Ez a képlet a Pitagorasz-tétel bizonyításáraa geometria szakasz hasonló háromszögekre vonatkozó állítása alapján származtatták. Azt mondja, hogy egy derékszögű háromszög szára a befogójának és a 90-es szög csúcsából kiinduló befogószakasznak az arányos átlaga.körülbelül.
A kezdeti adatok változatlanok maradnak, ezért kezdjük rögtön a bizonyítással. Rajzoljunk egy SD szakaszt merőlegesen az AB oldalra. A fenti állítás alapján a háromszögek lábai:
AC = √AB * HELL, SV = √AB * DV.
A Pitagorasz-tétel bizonyítására vonatkozó kérdés megválaszolásához a bizonyítást mindkét egyenlőtlenség négyzetre emelésével kell befejezni.
AS2= AB * HELL és SV2= AB * DV
Most össze kell adni a kapott egyenlőtlenségeket.
AS2+ CB2= AB * (HELL * DV), ahol HELL + DV = AB
Kiderült, hogy:
AS2+ CB2= AB * AB
És ezért:
AS2+ CB2= AB2
A Pitagorasz-tétel bizonyítása és különféle megoldási módjai sokoldalú megközelítést igényelnek a problémában. Ez a lehetőség azonban az egyik legegyszerűbb.
Egy másik számítási technika
A tétel bizonyításának különböző módjainak ismertetéseLehet, hogy Pythagoras nem mond semmit, amíg el nem kezdi egyedül gyakorolni. Számos technika nemcsak matematikai számításokat tesz lehetővé, hanem új figurák felépítését is az eredeti háromszögből.
Ebben az esetben szükséges a VSD másik derékszögű háromszögének elkészítése a BC lábától. Így most két háromszög van közös lábbal BC.
Tudva, hogy az ilyen ábrák területének aránya a hasonló lineáris méretük négyzeteihez viszonyítva, akkor:
CABC * a2- Savd*ban ben2 = Savd*a2- Svsd*a2
CABC*(val vel2-v2) = a2* (Savd-Svsd)
a2-v2= a2
a2= a2+ be2
Mivel ez a lehetőség aligha alkalmas a Pitagorasz-tétel 8. osztályos bizonyításának különböző módjaira, használhatja a következő technikát.
A Pitagorasz-tétel bizonyításának legegyszerűbb módja. Vélemények
A történészek szerint ez a módszer először voltaz ókori Görögországban a tétel bizonyítására használták. Ez a legegyszerűbb, mivel nem igényel semmiféle számítást. Ha a rajz helyesen van megrajzolva, akkor annak az állításnak a bizonyítása, hogy a2+ be2= -val2 , jól látható lesz.
Ennek a módszernek a feltételei kissé eltérnek az előzőtől. A tétel bizonyításához tegyük fel, hogy az ABC derékszögű háromszög egyenlő szárú.
Az AC hipotenuzát a négyzet oldalának tekintjük éshárom oldalát felosztjuk. Ezenkívül a kapott négyzetben két átlós vonalat kell húzni. Úgy, hogy benne négy egyenlő szárú háromszög van.
Az AB és CB lábakhoz szintén négyzetet kell rajzolni, és mindegyikbe húzni egy-egy átlós vonalat. Az első vonalat az A csúcsból, a másodikat a C csúcsból húzzuk.
Most alaposan meg kell néznie a kapott rajzot. Mivel a váltakozó áramú hipotenuzon négy, az eredetivel megegyező háromszög van, a lábakon pedig kettő, ez a tétel valódiságáról beszél.
Egyébként a Pitagorasz-tétel ezen bizonyítási módszerének köszönhetően megszületett a híres mondat: "A pitagorasz nadrág minden irányban egyenlő."
J. Garfield bizonyítéka
James Garfield az Amerikai Egyesült Államok 20. elnöke. Amellett, hogy az Egyesült Államok uralkodójaként nyomot hagyott a történelemben, tehetséges autodidakta is volt.
Pályafutása elején rendes voltnépiskola tanára, de hamarosan az egyik felsőoktatási intézmény igazgatója lett. Az önfejlesztés vágya lehetővé tette számára, hogy új elméletet javasoljon a Pitagorasz-tétel bizonyítására. A tétel és a megoldás példája a következő.
Először kettőt kell rajzolniaderékszögű háromszögeket úgy, hogy az egyik szára a második folytatása legyen. Ezeknek a háromszögeknek a csúcsait össze kell kötni, hogy végül trapézt alkossanak.
Mint tudják, a trapéz területe megegyezik az alapjai és a magassága felének összegével.
S = a + b / 2 * (a + b)
Ha a kapott trapézt három háromszögből álló alaknak tekintjük, akkor a területe a következőképpen található:
S = av / 2 * 2 + s2/ 2
Most ki kell egyenlítenie a két eredeti kifejezést
2av / 2 + s / 2 = (a + b)2/ 2
a2= a2+ be2
A Pitagorasz-tételről és bizonyítási módszereiről egy tankönyv több kötete is írható. De van-e értelme annak, ha ezt a tudást nem lehet a gyakorlatban alkalmazni?
A Pitagorasz-tétel gyakorlati alkalmazása
Sajnos a modern iskolai programokbanennek a tételnek a használata csak geometriai feladatokban biztosított. A végzősök hamarosan elhagyják az iskola falait anélkül, hogy tudnák, hogyan alkalmazhatják tudásukat és készségeiket a gyakorlatban.
Valójában használja a Pitagorasz-tételtmindenki végezheti a mindennapi életét. És nem csak a szakmai tevékenységekben, hanem a hétköznapi háztartási munkákban is. Nézzünk meg néhány olyan esetet, amikor a Pitagorasz-tétel és bizonyítási módszerei rendkívül szükségesek lehetnek.
A tétel és a csillagászat kapcsolata
Úgy tűnik, hogyan lehet összekapcsolni a papíron lévő csillagokat és háromszögeket. Valójában a csillagászat olyan tudományterület, amelyen széles körben használják a Pitagorasz-tételt.
Vegyük például egy fénysugár mozgását a térben. Ismeretes, hogy a fény mindkét irányban azonos sebességgel mozog. Az AB pályát, amelyet a fénysugár mozgat, nevezzük l. És az idő felében, amíg a fény eljut A pontból B pontba, hívjuk t... És a sugár sebessége - tól től. Kiderült, hogy: c * t = l
Ha éppen ezt a sugarat nézed egy másikbólsíkot például egy űrbélésről, amely v sebességgel mozog, akkor a testek ilyen megfigyelésével a sebességük megváltozik. Ebben az esetben még az álló elemek is v sebességgel az ellenkező irányba mozognak.
Tegyük fel, hogy a képregényhajó jobbra vitorlázik.Ekkor az A és B pontok, amelyek közé a sugár bedobódik, balra mozdul el. Sőt, amikor a sugár A pontból B pontba mozog, az A pontnak van ideje mozogni, és ennek megfelelően a fény már egy új C pontba érkezik. Annak a távolságnak a felének meghatározásához, amellyel A pont eltolódott, meg kell szoroznia a bélés sebessége a sugár mozgási idejének felével (t ").
d = t "* v
És annak meghatározásához, hogy egy fénysugár mekkora távolságot tud megtenni ezalatt, az út felét új s betűvel kell kijelölnie, és a következő kifejezést kell kapnia:
s = c * t "
Ha elképzeljük, hogy a C és B fénypontok, valaminta térvonal egy egyenlő szárú háromszög csúcsai, akkor az A ponttól a vonalzóig tartó szakasz két derékszögű háromszögre osztja. Ezért a Pitagorasz-tételnek köszönhetően megtalálhatja azt a távolságot, amelyet egy fénysugár megtehet.
a2 = l2 + d2
Ez a példa természetesen nem a legjobb, hiszen csak kevesen lehet szerencsések a gyakorlatban kipróbálni. Ezért megvizsgáljuk ennek a tételnek a hétköznapibb alkalmazásait.
A mobil jel átviteli sugara
Már lehetetlen elképzelni a modern életet okostelefonok nélkül. De vajon sok hasznuk lenne, ha nem tudnák mobilkommunikáción keresztül összekötni az előfizetőket?!
A mobil kommunikáció minősége közvetlenül attól függaz a magasság, amelyen a mobilszolgáltató antennája található. Annak kiszámításához, hogy a telefon milyen messzire képes jelet fogadni a mobiltoronytól, alkalmazhatja a Pitagorasz-tételt.
Tegyük fel, hogy meg kell találni egy álló torony hozzávetőleges magasságát, hogy 200 kilométeres sugarú körben terjeszthesse a jelet.
AB (torony magassága) = x;
Repülőgép (jelátviteli sugár) = 200 km;
OS (a földgömb sugara) = 6380 km;
Innen
OB = OA + ABOV = r + x
A Pitagorasz-tételt alkalmazva azt találjuk, hogy a torony minimális magassága 2,3 kilométer legyen.
Pitagorasz-tétel a mindennapi életben
Furcsa módon a Pitagorasz-tétel azzá válhatmég a háztartási munkák során is hasznos, mint például a szekrény magasságának meghatározása. Első pillantásra nincs szükség ilyen összetett számításokra, mert egyszerűen mérőszalaggal mérhet. Sokan azonban meglepődnek azon, hogy miért merülnek fel bizonyos problémák az összeszerelési folyamat során, ha minden mérést több mint pontosan végeztek.
Az a tény, hogy a gardrób fogvízszintes helyzetbe, és csak ezután emelkedik fel és kerül a falhoz. Ezért a szekrény oldalának a szerkezet felemelése során szabadon kell haladnia mind magasságban, mind átlósan a helyiségben.
Tegyük fel, hogy van egy 800 mm-es mélységű szekrénye.A padló és a mennyezet közötti távolság 2600 mm. Egy tapasztalt bútorkészítő azt fogja mondani, hogy a szekrény magassága 126 mm-rel legyen kisebb, mint a szoba magassága. De miért pont 126 mm? Nézzünk egy példát.
A szekrény ideális méreteivel ellenőrizzük a Pitagorasz-tétel működését:
AC = √AB2+ √VS2
AC = √24742+8002= 2600 mm - minden összefolyik.
Mondjuk a szekrény magassága nem 2474 mm, hanem 2505 mm. Azután:
AC = √25052+ √8002= 2629 mm.
Ezért ez a szekrény nem alkalmas ebbe a helyiségbe való beépítésre. Mivel függőleges helyzetbe emelése károsíthatja a testét.
Talán a bizonyítás különböző módjait mérlegelveKülönböző tudósok Pitagorasz-tételét, arra a következtetésre juthatunk, hogy ez több mint igaz. Most már használhatja a kapott információkat a mindennapi életében, és teljesen biztos lehet benne, hogy minden számítás nemcsak hasznos, hanem helyes is lesz.
