फ़ंक्शन शून्य क्या हैं और उन्हें कैसे निर्धारित किया जाए

फ़ंक्शन शून्य क्या हैं?उत्तर काफी सरल है - यह एक गणितीय शब्द है, जिसका अर्थ है किसी दिए गए फ़ंक्शन का डोमेन, जिस पर इसका मान शून्य है। किसी फ़ंक्शन के शून्य को समीकरण की जड़ें भी कहा जाता है। कुछ सरल उदाहरणों के साथ फ़ंक्शन शून्य क्या हैं, यह समझाने का सबसे आसान तरीका है।

उदाहरण

साधारण समीकरण y = x + 3 पर विचार करें। चूंकि फ़ंक्शन का शून्य उस तर्क का मूल्य है जिस पर y ने शून्य हासिल किया, हम समीकरण के बाईं ओर 0 को प्रतिस्थापित करते हैं:

0 = x + 3;

x = -3।

इस मामले में, -3 वांछित शून्य है। किसी दिए गए फ़ंक्शन के लिए समीकरण की केवल एक जड़ है, लेकिन यह हमेशा ऐसा नहीं होता है।

आइए एक और उदाहरण पर विचार करें:

y = x²-9.

पिछले उदाहरण के अनुसार, समीकरण के बाईं ओर स्थित 0:

0 = x²—नीन;

-9 = एक्स² .

जाहिर है, इस मामले में फ़ंक्शन का शून्य होगादो: x = 3 और x = -3। यदि समीकरण में थर्ड-डिग्री तर्क होता, तो तीन शून्य होते। एक सरल निष्कर्ष बनाया जा सकता है कि बहुपद की जड़ों की संख्या समीकरण में तर्क की अधिकतम डिग्री से मेल खाती है। हालांकि, कई कार्य, उदाहरण के लिए y = x³ पहली नज़र में, इस कथन का खंडन करते हैं।तर्क और सामान्य ज्ञान का सुझाव है कि इस फ़ंक्शन में केवल एक शून्य है - बिंदु x = 0 पर। लेकिन वास्तव में, तीन जड़ें हैं, वे सिर्फ संयोग हैं। यदि आप समीकरण को जटिल रूप में हल करते हैं, तो यह स्पष्ट हो जाता है। x = 0 इस मामले में, मूल जिसका गुणन 3. 3 है। पिछले उदाहरण में, शून्य संयोग नहीं था, इसलिए उनकी बहुलता 1 थी।

निर्धारण के लिए एल्गोरिदम

प्रदान किए गए उदाहरण बताते हैं कि फ़ंक्शन के शून्य को कैसे निर्धारित किया जाए। एल्गोरिथ्म हमेशा समान होता है:

1. फ़ंक्शन लिखें।
2. स्थानापन्न y या f (x) = 0।
3. परिणामी समीकरण को हल करें।

अंतिम बिंदु की कठिनाई डिग्री पर निर्भर करती हैसमीकरण का तर्क। उच्च डिग्री के समीकरणों को हल करते समय, यह याद रखना विशेष रूप से महत्वपूर्ण है कि समीकरण की जड़ों की संख्या तर्क की अधिकतम डिग्री के बराबर है। यह त्रिकोणमितीय समीकरणों के लिए विशेष रूप से सच है, जहां साइन या कोसाइन द्वारा दोनों भागों को विभाजित करने से जड़ों का नुकसान होता है।

मनमाने ढंग से डिग्री के समीकरणों को हॉर्नर की विधि से हल करना आसान है, जो विशेष रूप से एक मनमाना बहुपद के शून्य को खोजने के लिए विकसित किया गया था।

समारोह शून्य निम्नानुसार हो सकते हैंनकारात्मक या सकारात्मक, वास्तविक या जटिल विमान में पड़ा हुआ, एकल या एकाधिक। या समीकरण की जड़ें मौजूद नहीं हो सकती हैं। उदाहरण के लिए, फ़ंक्शन y = 8 किसी भी x के लिए शून्य मान प्राप्त नहीं करेगा, क्योंकि यह इस चर पर निर्भर नहीं करता है।

समीकरण y = x²-16 में दो जड़ें हैं, और दोनों जटिल विमान में स्थित हैं: x₁= 4і, x₂= -4і।

विशिष्ट गलतियाँ

एक सामान्य गलती जो स्कूली बच्चों ने अभी भी की हैवास्तव में यह नहीं समझ रहे हैं कि किसी फ़ंक्शन के शून्य क्या तर्क (x) को शून्य के साथ बदल रहे हैं, और फ़ंक्शन के मान (y) नहीं। वे विश्वासपूर्वक x = 0 को समीकरण में प्रतिस्थापित करते हैं और इसी से आगे बढ़ते हुए y पाते हैं। लेकिन यह गलत तरीका है।

एक और गलती, जैसा कि पहले ही उल्लेख किया गया है, द्वारा की गई कटौती हैत्रिकोणमितीय समीकरण में साइन या कोसाइन, जिसके कारण फ़ंक्शन का एक या अधिक शून्य खो जाता है। इसका मतलब यह नहीं है कि इस तरह के समीकरणों में कुछ भी रद्द नहीं किया जा सकता है, यह सिर्फ इतना है कि आगे की गणना में इन "खो" कारकों को ध्यान में रखना आवश्यक है।

सचित्र प्रदर्शन

यह समझने के लिए कि फ़ंक्शन शून्य क्या है, आप उपयोग कर सकते हैंमैपल जैसे गणितीय कार्यक्रम। इसमें, आप वांछित अंकों की संख्या और वांछित पैमाने को निर्दिष्ट करके एक ग्राफ बना सकते हैं। जिन बिंदुओं पर ग्राफ ओएक्स अक्ष को पार करता है वे वांछित शून्य हैं। बहुपद की जड़ों को खोजने के लिए यह सबसे तेज़ तरीकों में से एक है, खासकर अगर इसका क्रम तीन से अधिक है। इसलिए यदि नियमित रूप से गणितीय गणना करने की आवश्यकता है, तो मनमाना डिग्री के बहुपदों की जड़ों को ढूंढें, ग्राफ़ का निर्माण करें, मेपल या एक समान कार्यक्रम केवल गणना करने और जांचने के लिए अपरिहार्य होगा।