गणितीय विश्लेषण के बुनियादी सिद्धांत। व्युत्पन्न कैसे खोजें?

एक विशिष्ट में कुछ फ़ंक्शन f (x) का व्युत्पन्नबिंदु x0 को फ़ंक्शन के वेतन वृद्धि के अनुपात को तर्क की वृद्धि कहा जाता है, बशर्ते कि x 0 से अनुसरण करता है, और सीमा मौजूद है। व्युत्पन्न को आमतौर पर एक प्राइम द्वारा, कभी-कभी एक बिंदु या एक अंतर के माध्यम से दर्शाया जाता है। सीमा पार व्युत्पन्न अक्सर भ्रामक होता है, क्योंकि इस तरह के प्रतिनिधित्व का उपयोग शायद ही कभी किया जाता है।

एक फ़ंक्शन जिसमें एक निश्चित पर व्युत्पन्न होता हैबिंदु x0, यह इस तरह के बिंदु पर अलग-अलग कॉल करने के लिए प्रथागत है। मान लीजिए D1 उन बिंदुओं का समुच्चय है जिन पर फलन f विभेदित है। प्रत्येक संख्या को डी एफ '(x) से संबंधित संख्या x निर्दिष्ट करते हुए, हम डी 1 के क्षेत्र के साथ एक फ़ंक्शन प्राप्त करते हैं। यह फलन व्युत्पन्न y = f (x) है। इसे इस तरह दर्शाया जाता है: f '(x)।

इसके अलावा, व्युत्पन्न का व्यापक रूप से उपयोग किया जाता हैभौतिकी और प्रौद्योगिकी। आइए सबसे सरल उदाहरण पर एक नज़र डालें। सामग्री बिंदु सीधे समन्वय के साथ चलता है, और गति का नियम दिया गया है, अर्थात, इस बिंदु का x निर्देशांक ज्ञात फ़ंक्शन x (t) है। t0 से t0 + t के समय अंतराल के दौरान, बिंदु का विस्थापन x (t0 + t) -x (t0) = x है, और इसका औसत वेग v (t) x / t है।

कभी-कभी आंदोलन की प्रकृति को इस तरह से प्रस्तुत किया जाता हैथोड़े समय के लिए, औसत गति नहीं बदलती है, जिसका अर्थ है कि अधिक सटीकता के साथ गति को एक समान माना जाता है। या औसत गति का मान, यदि t0 कुछ बिल्कुल सटीक मान का अनुसरण करता है, जिसे t0 के किसी विशेष क्षण में इस बिंदु की तात्कालिक गति v (t0) कहा जाता है। ऐसा माना जाता है कि तात्कालिक वेग v (t) किसी भिन्न फ़ंक्शन x (t) के लिए जाना जाता है, जिससे v (t) x '(t) के बराबर होगा। सीधे शब्दों में कहें, गति एक समन्वय का समय व्युत्पन्न है।

तात्क्षणिक गति में धनात्मक और दोनों होते हैंनकारात्मक मान, साथ ही मान 0। यदि यह कुछ समय अंतराल (t1; t2) पर सकारात्मक है, तो बिंदु उसी दिशा में चलता है, अर्थात निर्देशांक x (t) समय के साथ बढ़ता है, और यदि v ( t) ऋणात्मक है, तो निर्देशांक x (t) घटता है।

अधिक कठिन मामलों में, बिंदु एक विमान या अंतरिक्ष में चलता है। तब वेग एक सदिश राशि है और सदिश v (t) के प्रत्येक निर्देशांक को निर्धारित करता है।

इसी तरह त्वरण के साथ तुलना की जा सकती हैबिंदु आंदोलन। गति समय का एक कार्य है, अर्थात, v = v (t)। और ऐसे फ़ंक्शन का व्युत्पन्न गति का त्वरण है: a = v '(t)। यही है, यह पता चला है कि गति का समय व्युत्पन्न त्वरण है।

मान लीजिए y = f (x) कोई विभेदित हैसमारोह। फिर आप एक समन्वय बिंदु के साथ एक भौतिक बिंदु की गति पर विचार कर सकते हैं, जो कानून x = f (t) के पीछे होता है। व्युत्पन्न की यांत्रिक सामग्री अंतर पथरी के प्रमेयों की दृश्य व्याख्या प्रस्तुत करना संभव बनाती है।

मैं व्युत्पन्न कैसे ढूंढूं? किसी फलन का अवकलज ज्ञात करना उसका विभेदन कहलाता है।

आइए उदाहरण देते हैं कि व्युत्पन्न फ़ंक्शन को कैसे खोजें:

एक स्थिर फ़ंक्शन का व्युत्पन्न शून्य है; फलन y = x का व्युत्पन्न एक के बराबर है।

आप अंश का व्युत्पन्न कैसे पाते हैं? ऐसा करने के लिए, निम्नलिखित सामग्री पर विचार करें:

किसी भी x0 <> 0 के लिए, हमारे पास है

y / x = -1 / x0 * (x + x)

व्युत्पन्न खोजने के लिए कई नियम हैं। अर्थात्:

यदि ए और बी के कार्यों को बिंदु x0 पर विभेदित किया जाता है,तब उनका योग बिंदु पर विभेदित होता है: (A + B) '= A' + B '। सीधे शब्दों में कहें, योग का व्युत्पन्न डेरिवेटिव के योग के बराबर है। यदि फ़ंक्शन को किसी बिंदु पर विभेदित किया जाता है, तो तर्क की वृद्धि शून्य होने पर इसकी वृद्धि शून्य हो जाती है।

यदि ए और बी के कार्यों को बिंदु x0 पर विभेदित किया जाता है,तब उनके उत्पाद को बिंदु पर विभेदित किया जाता है: (ए * बी) '= ए'बी + एबी'। (फ़ंक्शंस और उनके डेरिवेटिव के मूल्यों की गणना बिंदु x0 पर की जाती है)। यदि फ़ंक्शन A (x) को बिंदु x0 पर विभेदित किया गया है, और C स्थिर है, तो फ़ंक्शन CA इस बिंदु पर और (CA) '= CA' पर विभेदित है। यही है, इस तरह के एक स्थिर कारक को व्युत्पन्न के संकेत से बाहर निकाल दिया जाता है।

यदि फ़ंक्शन ए और बी को बिंदु x0 पर विभेदित किया गया है, और फ़ंक्शन बी शून्य के बराबर नहीं है, तो उनका अनुपात भी बिंदु पर विभेदित है: (ए / बी) '= (ए'बी-एबी') / बी * बी।