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मैकॉलोरिन श्रृंखला और कुछ कार्यों का अपघटन

उच्च गणित के छात्रों को पता होना चाहिएयह है कि दी गई श्रृंखला के अभिसरण के अंतराल से संबंधित एक निश्चित शक्ति श्रृंखला का योग एक अलग और अनंत बार विभेदित कार्य है। प्रश्न उठता है: क्या यह सुनिश्चित करना संभव है कि किसी दिए गए मनमाने ढंग से कार्य f (x) एक निश्चित शक्ति श्रृंखला का योग है? यानी, किन परिस्थितियों में f-ija f (x) को पावर सीरीज द्वारा दर्शाया जा सकता है? इस तरह के एक प्रश्न का महत्व इस तथ्य में निहित है कि बिजली श्रृंखला के पहले कुछ शब्दों के योग से f-yu f (x) को प्रतिस्थापित करना संभव है, अर्थात् एक बहुपद द्वारा। एक सरल अभिव्यक्ति द्वारा एक समारोह का ऐसा प्रतिस्थापन - एक बहुपद - गणितीय विश्लेषण की कुछ समस्याओं को हल करने के लिए भी सुविधाजनक है, अर्थात्: इंटीग्रल को हल करते समय, अंतर समीकरणों की गणना करते समय, आदि।

यह साबित होता है कि कुछ f-u और f (x) के लिए, जिसमें पड़ोस (α) में अंतिम सहित, (n + 1) वें आदेश तक डेरिवेटिव की गणना करना संभव है।- आर; एक्स₀कुछ बिंदु + α = α का + R), निम्न सूत्र मान्य है:

यह सूत्र प्रसिद्ध वैज्ञानिक ब्रूक टेलर के नाम पर है। पिछले एक से प्राप्त श्रृंखला को मैकलॉरिन श्रृंखला कहा जाता है:

नियम है कि मैकलॉरिन श्रृंखला विस्तार करने के लिए संभव बनाता है:

पहले, दूसरे, तीसरे ... आदेश के व्युत्पन्न का निर्धारण करें।
गणना करें कि x = 0 पर कौन सा डेरिवेटिव बराबर है।
इस फ़ंक्शन के लिए मैकलॉरिन श्रृंखला को लिखें, और फिर इसके अभिसरण के अंतराल को निर्धारित करें।
अंतराल (-आर; आर) निर्धारित करें, जहां मैक्लॉरिन सूत्र के अवशिष्ट भाग

आर_n(x) -> 0 as n -> अनंत। यदि ऐसा मौजूद है, तो इसमें फ़ंक्शन f (x) को मैक्लॉरिन श्रृंखला के योग के साथ मेल खाना चाहिए।

आइए अब व्यक्तिगत कार्यों के लिए मैकलॉरिन श्रृंखला पर विचार करें।

1. अतः, पहला f (x) = e होगा^एक्स... बेशक, इसकी विलक्षणताओं से, इस तरह के एक समारोह में विभिन्न आदेशों के व्युत्पन्न होते हैं, और एफ^(क)(x) = ई^साथ, जहां k सभी प्राकृतिक संख्याओं के बराबर है। पदार्थ x = 0। हम एफ^(क)(०) = ई⁰= 1, k = 1,2 ... उपरोक्त के आधार पर, श्रृंखला ई^एक्सइस तरह दिखेगा:

2. फ़ंक्शन f (x) = पाप x के लिए मैकलॉरीन श्रृंखला। हमें अभी स्पष्ट करें कि सभी अज्ञात के लिए फ़ंक्शन में डेरिवेटिव, इसके अलावा, एफ होगा^"(x) = cos x = sin (x + n / 2), f^""(x) = -sin x = sin (x + 2 * n / 2) ..., f^(क)(x) = पाप (x + k * n / 2), जहां k किसी भी प्राकृतिक संख्या के बराबर है। अर्थात्, सरल गणना करने के बाद, हम इस निष्कर्ष पर आ सकते हैं कि f (x) = sin x की श्रृंखला इस प्रकार होगी:

3. अब आइए f-yu f (x) = cos x पर विचार करने का प्रयास करें। सभी अज्ञात के लिए, इसमें मनमाना क्रम का व्युत्पन्न है, और f^(क)(x) | = | cos (x + k * n / 2) | <= 1, k = 1.2 ... फिर से, कुछ गणना करने के बाद, हम मानते हैं कि f (x) = cos x की श्रृंखला इस तरह दिखाई देगी:

इसलिए, हमने सबसे महत्वपूर्ण कार्य सूचीबद्ध किए हैंमैक्लाउरिन श्रृंखला में विस्तार किया जा सकता है, लेकिन वे कुछ कार्यों के लिए टेलर श्रृंखला द्वारा पूरक हैं। अब हम उन्हें भी सूचीबद्ध करेंगे। यह भी ध्यान देने योग्य है कि टेलर और मैकलॉरीन श्रृंखला उच्च गणित में श्रृंखला को हल करने के लिए कार्यशाला का एक महत्वपूर्ण हिस्सा हैं। तो टेलर की रैंक।

1. पहला f-ii f (x) = ln (1 + x) के लिए एक श्रृंखला होगी।पिछले उदाहरणों की तरह, दिए गए f (x) = ln (1 + x) के लिए, हम Maclaurin श्रृंखला के सामान्य रूप का उपयोग करके श्रृंखला को जोड़ सकते हैं। हालाँकि, इस फ़ंक्शन के लिए, मैकलॉरीन श्रृंखला को बहुत आसान प्राप्त किया जा सकता है। एक निश्चित ज्यामितीय श्रृंखला को एकीकृत करके, हम ऐसे नमूने के f (x) = ln (1 + x) के लिए एक श्रृंखला प्राप्त करते हैं: