कैसे एक समारोह में अनुसंधान और साजिश करने के लिए?

आज हम सुझाव देते हैं कि हमारे साथ और खोज करेंसाजिश समारोह। इस लेख का सावधानीपूर्वक अध्ययन करने के बाद, आपको इस तरह के कार्य को पूरा करने के लिए लंबे समय तक पसीना नहीं बहाना होगा। किसी कार्य की जांच और साजिश करना आसान नहीं है; गणना के अधिकतम ध्यान और सटीकता की आवश्यकता है, काम स्वैच्छिक है। सामग्री की धारणा को सुविधाजनक बनाने के लिए, हम धीरे-धीरे एक ही कार्य का अध्ययन करेंगे, हमारे सभी कार्यों और गणनाओं की व्याख्या करेंगे। गणित के अद्भुत और आकर्षक दुनिया में आपका स्वागत है! जाओ!

डोमेन

तलाशने और साजिश करने के लिएफ़ंक्शंस, आपको कई परिभाषाएं जानने की आवश्यकता है। फ़ंक्शन गणित में बुनियादी (बुनियादी) अवधारणाओं में से एक है। यह परिवर्तनों के साथ कई चर (दो, तीन या अधिक) के बीच संबंध को दर्शाता है। फ़ंक्शन सेट की निर्भरता को भी दर्शाता है।

कल्पना कीजिए कि हमारे पास दो चर हैं,जिसमें भिन्नता की एक निश्चित सीमा होती है। तो, y, x का एक कार्य है, बशर्ते कि दूसरे चर का प्रत्येक मान दूसरे के एक मान से मेल खाता हो। इस मामले में, चर y निर्भर है, और इसे एक फ़ंक्शन कहा जाता है। यह कहना प्रथागत है कि चर x और y एक कार्यात्मक संबंध में हैं। अधिक स्पष्टता के लिए, यह निर्भरता प्लॉटेड फ़ंक्शन है। फंक्शन ग्राफ क्या है? यह समन्वय विमान पर बिंदुओं का एक समूह है, जहां x का प्रत्येक मान y के एक मान से मेल खाता है। ग्राफ अलग-अलग हो सकते हैं - एक सीधी रेखा, एक हाइपरबोला, एक पैराबोला, एक साइनसॉइड और इसी तरह।

एक फ़ंक्शन ग्राफ़ बिना बनाया नहीं जा सकताअनुसंधान। आज हम सीखेंगे कि अनुसंधान कैसे करें और एक फ़ंक्शन को कैसे प्लॉट करें। अध्ययन के दौरान समन्वय विमान पर नोट्स बनाना बहुत महत्वपूर्ण है। तो कार्य से निपटने के लिए बहुत आसान हो जाएगा। सबसे सुविधाजनक शोध योजना:

1. डोमेन।
2. निरंतरता।
3. समता या विषमता।
4. आवधिकता।
5. Asymptotes।
6. शून्य।
7. स्थायी संकेत।
8. बढ़ती और घटती है।
9. चरम सीमा।
10. उत्तलता और समरूपता।

पहले बिंदु से शुरू करते हैं।आइए परिभाषा के डोमेन को खोजें, जो कि हमारे कार्य के अंतराल पर मौजूद है: y = 1/3 (x ^ 3-14x ^ 2 + 49x-36)। हमारे मामले में, फ़ंक्शन x के किसी भी मान के लिए मौजूद है, अर्थात, डोमेन R के बराबर है। इसे xÎR के रूप में लिखा जा सकता है।

निरंतरता

अब हम इस फंक्शन को एक्सप्लोर करने जा रहे हैंटूटना। गणित में, "निरंतरता" शब्द गति के नियमों के अध्ययन से उभरा। अनंत क्या है? अंतरिक्ष, समय, कुछ निर्भरताएं (एक उदाहरण चर की निर्भरता है एस और टी गति की समस्याओं में), गर्म वस्तु का तापमान (पानी, फ्राइंग पैन, थर्मामीटर, आदि), एक निरंतर रेखा (जो है, एक है) यह चादर पेंसिल से फाड़े बिना खींची जा सकती है)।

निरंतर एक ग्राफ है जो नहीं हैकुछ बिंदु पर टूट जाता है। इस तरह के ग्राफ का सबसे स्पष्ट उदाहरण एक साइन लहर है, जिसे आप इस खंड में चित्र में देख सकते हैं। कई बिंदुओं के पूरा होने पर फ़ंक्शन कुछ बिंदु x0 पर निरंतर होता है:

• एक फ़ंक्शन इस बिंदु पर परिभाषित किया गया है;
• बिंदु पर दाईं और बाईं सीमाएं समान हैं;
• सीमा बिंदु x0 पर फ़ंक्शन के मान के बराबर है।

अगर कम से कम एक शर्त पूरी नहीं होती है, तो वे कहते हैंकि समारोह टूट रहा है। और जिन बिंदुओं पर फ़ंक्शन टूटता है, उन्हें आमतौर पर ब्रेक पॉइंट कहा जाता है। एक फ़ंक्शन का एक उदाहरण जो ग्राफ़िकल रूप से प्रदर्शित होने पर "ब्रेक" करेगा: y = (x + 4) / (x-3)। इसके अलावा, y बिंदु x = 3 पर मौजूद नहीं है (क्योंकि यह शून्य से विभाजित करना असंभव है)।

जिस फ़ंक्शन में हम जांच कर रहे हैं (y = 1/3 (x ^ 3-14x ^ 2 + 49x-36)), सब कुछ सरल निकला, क्योंकि ग्राफ निरंतर होगा।

और भी अजीब

अब समता के लिए फ़ंक्शन की जांच करें।पहला, थोड़ा सिद्धांत। एक समान कार्य वह फ़ंक्शन है जो चर x (मानों की श्रेणी से) के किसी भी मूल्य के लिए f (-x) = f (x) की स्थिति को संतुष्ट करता है। उदाहरणों में शामिल:

• मॉड्यूल एक्स (ग्राफ एक पंजा की तरह दिखता है, ग्राफ के पहले और दूसरे क्वार्टर का द्विभाजक);
• एक्स चुकता (parabola);
• cosine x (कोज्या)।

ध्यान दें कि ये सभी भूखंड सममित अक्ष (यानी y) के संबंध में देखे जाने पर सममित हैं।

फिर, क्या कहा जाता है? ये वे कार्य हैं जो स्थिति को संतुष्ट करते हैं: f (-x) = - f (x) चर x के किसी भी मान के लिए। उदाहरण:

• हाइपरबोला;
• घन parabola;
• साइनसाइड;
• स्पर्शरेखा और इतने पर।

कृपया ध्यान दें कि ये कार्य हैंबिंदु के बारे में समरूपता (0: 0), अर्थात्, मूल। लेख के इस भाग में जो कहा गया है, उसके आधार पर, सम और विषम कार्य के लिए गुण होना चाहिए: x परिभाषाओं के सेट से संबंधित है और –x भी।

आइए हम समता के लिए फ़ंक्शन की जांच करें। हम देख सकते हैं कि यह किसी भी विवरण के लायक नहीं है। इसलिए, हमारा कार्य न तो विषम है और न ही विषम।

विषमताएँ

चलिए परिभाषा के साथ शुरू करते हैं। एक स्पर्शोन्मुख एक वक्र है जो ग्राफ़ के जितना संभव हो उतना करीब है, अर्थात, एक बिंदु से दूरी शून्य हो जाती है। कुल में, तीन प्रकार के स्पर्शोन्मुख हैं:

• ऊर्ध्वाधर, जो कि वाई-अक्ष के समानांतर है;
• क्षैतिज, अर्थात् एक्स-अक्ष के समानांतर;
• झुका हुआ।

पहले प्रकार के लिए, कुछ बिंदुओं पर डेटा स्ट्रेट लाइनों को देखा जाना चाहिए:

• टूटना;
• परिभाषा डोमेन के अंत।

हमारे मामले में, फ़ंक्शन निरंतर है, और डोमेन आर के बराबर है। इसलिए, कोई ऊर्ध्वाधर असममित नहीं हैं।

फ़ंक्शन ग्राफ़ में एक क्षैतिज असममितता है,जो निम्नलिखित आवश्यकता को पूरा करता है: यदि x अनंत या शून्य से अनंत तक जाता है, और सीमा कुछ संख्या के बराबर है (उदाहरण के लिए, a)। इस मामले में, y = a - यह क्षैतिज असममितता है। जिस फ़ंक्शन की हम जांच कर रहे हैं, उसमें कोई क्षैतिज विषमता नहीं है।

यदि दो शर्तें पूरी होती हैं, तो तिरछा स्पर्श मात्र मौजूद रहता है:

• lim (f (x)) / x = k;
• lim f (x) -kx = b

फिर इसे सूत्र द्वारा पाया जा सकता है: y = kx + b। फिर से, हमारे मामले में कोई तिरछा नहीं है।

समारोह शून्य

अगले चरण में हमें जांच करने की आवश्यकता हैसमारोह ग्राफ शून्य करने के लिए। यह भी ध्यान रखना बहुत महत्वपूर्ण है कि किसी फ़ंक्शन के शून्य को खोजने के साथ जुड़ा हुआ कार्य न केवल फ़ंक्शन ग्राफ़ के अध्ययन और साजिश रचने में होता है, बल्कि एक स्वतंत्र कार्य के रूप में और असमानताओं को हल करने के तरीके के रूप में भी होता है। आपको ग्राफ़ पर फ़ंक्शन के शून्य को खोजने या गणितीय संकेतन का उपयोग करने की आवश्यकता हो सकती है।

इन मूल्यों को खोजने से आपको अधिक मदद मिलेगीसही ढंग से फ़ंक्शन ग्राफ़। सरल शब्दों में, किसी फ़ंक्शन का शून्य वेरिएबल x का मान होता है, जिस पर y = 0 होता है। यदि आप किसी ग्राफ़ पर फ़ंक्शन के शून्य की तलाश कर रहे हैं, तो आपको उन बिंदुओं पर ध्यान देना चाहिए, जिस पर ग्राफ एब्सिस्सा अक्ष को पार करता है।

किसी फ़ंक्शन के शून्य को खोजने के लिए, आपको निम्नलिखित समीकरण को हल करने की आवश्यकता है: y = 1/3 (x ^ 3-14x ^ 2 + 49x-36) = 0। आवश्यक गणना करने के बाद, हमें निम्नलिखित उत्तर मिलता है:

• x = 1;
• चार;
• 9.

चार्ट पर पाए जाने वाले बिंदुओं को तुरंत चिह्नित करने की सिफारिश की जाती है।

भक्ति

एक समारोह के अनुसंधान और निर्माण का अगला चरण(ग्राफिक्स) निरंतरता के अंतराल का पता लगा रहा है। इसका मतलब है कि हमें यह निर्धारित करना चाहिए कि किस अंतराल पर फ़ंक्शन सकारात्मक मान लेता है, और किस पर - नकारात्मक। पिछले अनुभाग में पाया गया फ़ंक्शन शून्य हमें ऐसा करने में मदद करेगा। इसलिए, हमें एक सीधी रेखा (ग्राफ से अलग) बनाने की जरूरत है और फ़ंक्शन के शून्य को सबसे छोटे से सबसे बड़े तक सही क्रम में वितरित करना है। अब आपको यह निर्धारित करने की आवश्यकता है कि कौन से परिणामी अंतराल में "+" चिन्ह है, और कौन सा "-"।

हमारे मामले में, फ़ंक्शन अंतराल में एक सकारात्मक मूल्य लेता है:

• 1 से 4 तक;
• 9 से अनंत तक।

नकारात्मक अर्थ:

• शून्य से अनंत तक 1;
• 4 से 9।

यह परिभाषित करना आसान है। फ़ंक्शन में अंतराल से किसी भी संख्या को प्रतिस्थापित करें और देखें कि उत्तर क्या है (ऋण या प्लस)।

बढ़ते और घटते कार्य

किसी फ़ंक्शन की जांच और निर्माण करने के लिए, हमें यह पता लगाने की आवश्यकता है कि ग्राफ़ कहां बढ़ेगा (समन्वय रेखा ओए के साथ ऊपर जाएं), और जहां यह गिर जाएगा (समन्वय के साथ नीचे क्रॉल होगा)।

फ़ंक्शन केवल तभी बढ़ता है यदिचर x का बड़ा मान y के बड़े मान से मेल खाता है। अर्थात्, x2, X1 से अधिक है और f (x2) f (X1) से अधिक है। और हम घटते फलन (अधिक x, कम y) में पूरी तरह से विपरीत घटना का निरीक्षण करते हैं। वृद्धि और कमी के अंतराल को निर्धारित करने के लिए, आपको निम्नलिखित खोजने की आवश्यकता है:

• गुंजाइश (हमारे पास पहले से ही है);
• व्युत्पन्न (हमारे मामले में: 1/3 (3x ^ 2-28x + 49);
• समीकरण 1/3 (3x ^ 2-28x + 49) = 0 को हल करें।

गणना के बाद, हमें परिणाम मिलता है:

• 7/3;
• 7.

हम प्राप्त करते हैं: कार्य अंतराल में माइनस इन्फिनिटी से 7/3 और 7 से अनंत तक बढ़ जाता है, और अंतराल में 7/3 से घटकर 7 हो जाता है।

चरम

जांच समारोह y = 1/3 (x ^ 3-14x ^ 2 + 49x-36)चर x के किसी भी मान के लिए निरंतर और मौजूद है। चरम बिंदु इस फ़ंक्शन का अधिकतम और न्यूनतम दिखाता है। हमारे मामले में, कोई भी नहीं है, जो निर्माण कार्य को बहुत सरल करता है। अन्यथा, फ़ंक्शन के व्युत्पन्न का उपयोग करके चरम बिंदु भी पाए जाते हैं। खोजने के बाद, उन्हें चार्ट पर चिह्नित करना न भूलें।

उत्तलता और समरूपता

हम आगे फ़ंक्शन y (x) की जांच जारी रखते हैं।अब हमें इसे उत्तलता और संक्षिप्तता के लिए जाँचने की आवश्यकता है। इन अवधारणाओं की परिभाषाएं समझना काफी कठिन है, उदाहरणों के साथ हर चीज का विश्लेषण करना बेहतर है। परीक्षण के लिए: एक फ़ंक्शन उत्तल है यदि यह एक गैर-घटते फ़ंक्शन का एक अनिश्चित अभिन्न अंग है। सहमत, यह समझ से बाहर है!

हमें दूसरे के कार्य के व्युत्पन्न को खोजने की आवश्यकता हैगण। हमें मिलता है: y = 1/3 (6x-28)। अब चलो दाईं ओर शून्य पर सेट करें और समीकरण हल करें। उत्तर: x = 14/3। हमने विभक्ति बिंदु पाया, अर्थात वह स्थान जहाँ ग्राफ़ उत्तलता से समरूपता में परिवर्तित होता है, या इसके विपरीत। माइनस इनफिनिटी से 14/3 के अंतराल में, फ़ंक्शन उत्तल होता है, और 14/3 से प्लस इन्फिनिटी तक, यह अवतल होता है। यह भी ध्यान रखना बहुत महत्वपूर्ण है कि ग्राफ पर विभक्ति बिंदु चिकना और नरम होना चाहिए, कोई तेज कोनों मौजूद नहीं होना चाहिए।

अतिरिक्त बिंदुओं की परिभाषा

हमारा काम रिसर्च और प्लॉट करना हैकार्य करता है। हमने शोध समाप्त कर लिया है, अब फ़ंक्शन को प्लॉट करना मुश्किल नहीं होगा। समन्वय विमान पर एक वक्र या सीधी रेखा के अधिक सटीक और विस्तृत प्रजनन के लिए, आप कई सहायक बिंदु पा सकते हैं। उनकी गणना करना काफी आसान है। उदाहरण के लिए, हम x = 3 लेते हैं, परिणामी समीकरण को हल करते हैं, और y = 4 पाते हैं। या x = 5 और y = -5 और इसी तरह। आपको जितने अतिरिक्त निर्माण करने की आवश्यकता है, उतने अतिरिक्त अंक ले सकते हैं। कम से कम 3-5 पाए जाते हैं।

एक ग्राफ चढ़ाना

हमें फ़ंक्शन की जांच करने की आवश्यकता थी(x ^ 3-14x ^ 2 + 49x-36) * 1/3 = y गणना के दौरान सभी आवश्यक नोट समन्वय विमान पर किए गए थे। जो कुछ भी करना बाकी है, वह एक ग्राफ का निर्माण करना है, अर्थात सभी बिंदुओं को एक दूसरे से जोड़ना है। बिंदुओं को जोड़ना चिकनी और साफ होना चाहिए, यह कौशल की बात है - थोड़ा अभ्यास और आपका कार्यक्रम एकदम सही होगा।