सब कुछ के बारे में संज्ञानात्मक तथ्यों / गठन / एक समद्विबाहु समलम्ब का विकर्ण। ट्रेपेज़ॉइड की मध्य रेखा क्या है। ट्रेपोजॉइड्स के प्रकार। एक ट्रेपोजॉइड है ..

समद्विबाहु समलम्ब चतुर्भुज का विकर्ण। ट्रैपेज़ॉइड की मध्य रेखा क्या है। ट्रेपोजॉइड के प्रकार। ट्रेपेज़ है ।।

एक समलम्ब चतुर्भुज का एक विशेष मामला है, yजिसकी भुजाओं का एक युग्म समांतर है। शब्द "ट्रेपेज़ियम" ग्रीक शब्द τράπεζα से आया है, जिसका अर्थ है "टेबल", "टेबल"। इस लेख में हम ट्रेपोजॉइड के प्रकार और इसके गुणों को देखेंगे। इसके अलावा, हम यह पता लगाएंगे कि इस ज्यामितीय आकृति के व्यक्तिगत तत्वों की गणना कैसे करें। उदाहरण के लिए, एक समद्विबाहु समलंब चतुर्भुज का विकर्ण, केंद्र रेखा, क्षेत्र, आदि। सामग्री को प्राथमिक लोकप्रिय ज्यामिति की शैली में प्रस्तुत किया जाता है, अर्थात आसानी से सुलभ रूप में।

सामान्य जानकारी

सबसे पहले, आइए जानें कि क्या हैचतुर्भुज। यह आकृति चार भुजाओं और चार शीर्षों वाले बहुभुज का एक विशेष मामला है। एक चतुर्भुज के दो शीर्ष जो आसन्न नहीं हैं, विपरीत कहलाते हैं। दो गैर-आसन्न पक्षों के लिए भी यही कहा जा सकता है। चतुर्भुज के मुख्य प्रकार समांतर चतुर्भुज, आयत, समचतुर्भुज, वर्ग, समलम्बाकार और त्रिशंकु हैं।

तो, वापस ट्रेपोजॉइड्स पर।जैसा कि हमने कहा, इस आकृति की दो भुजाएँ समानांतर हैं। उन्हें आधार कहा जाता है। अन्य दो (गैर-समानांतर) पक्ष हैं। परीक्षाओं और विभिन्न परीक्षणों की सामग्री में, आप अक्सर ट्रेपेज़ियम से संबंधित कार्य पा सकते हैं, जिसके समाधान के लिए अक्सर छात्र को ज्ञान की आवश्यकता होती है जो कार्यक्रम द्वारा प्रदान नहीं किया जाता है। स्कूल ज्यामिति पाठ्यक्रम छात्रों को कोणों और विकर्णों के गुणों के साथ-साथ एक समद्विबाहु समलम्ब की मध्य रेखा से परिचित कराता है। लेकिन इसके अलावा, उल्लिखित ज्यामितीय आकृति में अन्य विशेषताएं हैं। लेकिन उनके बारे में थोड़ी देर बाद...

ट्रेपोजॉइड के प्रकार

यह आकृति कई प्रकार की होती है। हालांकि, अक्सर उनमें से दो पर विचार करने की प्रथा है - समद्विबाहु और आयताकार।

1. एक आयताकार समलम्ब चतुर्भुज एक आकृति है जिसमें एक पार्श्व भुजा आधारों के लंबवत होती है। इसके दो कोण सदैव नब्बे अंश के बराबर होते हैं।

2. एक समद्विबाहु समलम्ब एक ज्यामितीय आकृति है जिसकी भुजाएँ एक दूसरे के बराबर होती हैं। इसका मतलब यह है कि आधारों पर कोण भी जोड़ीदार बराबर होते हैं।

ट्रेपेज़ॉइड के गुणों के अध्ययन के लिए कार्यप्रणाली के मुख्य सिद्धांत

मुख्य सिद्धांत का उपयोग हैतथाकथित कार्य दृष्टिकोण। वास्तव में, इस आकृति के नए गुणों को ज्यामिति के सैद्धांतिक पाठ्यक्रम में शामिल करने की कोई आवश्यकता नहीं है। उन्हें विभिन्न समस्याओं (सिस्टम वाले से बेहतर) को हल करने की प्रक्रिया में खोला और तैयार किया जा सकता है। साथ ही, यह बहुत महत्वपूर्ण है कि शिक्षक यह जानता है कि स्कूली बच्चों को शैक्षिक प्रक्रिया में एक बिंदु या किसी अन्य पर कौन से कार्य दिए जाने की आवश्यकता है। इसके अलावा, प्रत्येक ट्रेपोजॉइड संपत्ति को कार्य प्रणाली में एक महत्वपूर्ण कार्य के रूप में दर्शाया जा सकता है।

दूसरा सिद्धांत तथाकथित हैट्रेपेज़ॉइड के "उल्लेखनीय" गुणों के अध्ययन का सर्पिल संगठन। इसका तात्पर्य किसी दिए गए ज्यामितीय आकृति की व्यक्तिगत विशेषताओं के लिए सीखने की प्रक्रिया में वापसी है। इससे शिक्षार्थियों के लिए उन्हें याद करना आसान हो जाता है। उदाहरण के लिए, चार बिंदुओं की संपत्ति। यह समानता का अध्ययन और बाद में वैक्टर का उपयोग करके दोनों को साबित किया जा सकता है। और आकृति के पार्श्व पक्षों से सटे त्रिभुजों के समान आकार को न केवल एक सीधी रेखा पर स्थित भुजाओं पर खींची गई समान ऊँचाई वाले त्रिभुजों के गुणों को लागू करके, बल्कि सूत्र S = 1/2 का उपयोग करके भी सिद्ध किया जा सकता है। (अब * sinα)। इसके अलावा, आप एक वर्णित समलम्बाकार, आदि पर एक उत्कीर्ण समलम्बाकार या समकोण त्रिभुज पर ज्या प्रमेय की गणना कर सकते हैं।

"आउट-ऑफ-प्रोग्राम" सुविधाओं का अनुप्रयोगएक स्कूल पाठ्यक्रम की सामग्री में एक ज्यामितीय आकृति उन्हें पढ़ाने के लिए एक कार्य तकनीक है। अन्य विषयों को पास करते समय अध्ययन किए गए गुणों के लिए लगातार अपील छात्रों को ट्रेपोजॉइड की गहरी समझ हासिल करने की अनुमति देती है और असाइन किए गए कार्यों को हल करने की सफलता सुनिश्चित करती है। तो, आइए इस अद्भुत आकृति का अध्ययन करने के लिए नीचे उतरें।

समद्विबाहु समलम्ब चतुर्भुज के कोणों का योग

समद्विबाहु समलम्ब के तत्व और गुण

जैसा कि हमने पहले ही नोट किया है, यह ज्यामितीयपक्षों पर आंकड़े बराबर हैं। इसे नियमित ट्रेपोजॉइड के रूप में भी जाना जाता है। और यह इतना उल्लेखनीय क्यों है और इसे ऐसा नाम क्यों मिला? इस आकृति की ख़ासियत में यह तथ्य शामिल है कि इसके आधारों पर न केवल भुजाएँ और कोण समान हैं, बल्कि विकर्ण भी हैं। इसके अलावा, समद्विबाहु समलंब के कोणों का योग 360 डिग्री होता है। लेकिन वह सब नहीं है! सभी ज्ञात समलम्बाकारों में से केवल एक समद्विबाहु के चारों ओर एक वृत्त का वर्णन किया जा सकता है। यह इस तथ्य के कारण है कि इस आकृति के विपरीत कोणों का योग 180 डिग्री है, और केवल इस शर्त के तहत एक चतुर्भुज के चारों ओर एक चक्र का वर्णन किया जा सकता है। माना ज्यामितीय आकृति की अगली संपत्ति यह है कि आधार के शीर्ष से विपरीत शीर्ष के प्रक्षेपण के लिए इस आधार को शामिल करने वाली सीधी रेखा पर दूरी केंद्र रेखा के बराबर होगी।

अब आइए जानें कि समद्विबाहु समलंब के कोण कैसे ज्ञात करें। इस समस्या के समाधान पर विचार करें, बशर्ते कि आकृति के पक्षों के आयाम ज्ञात हों।

निर्णय

आमतौर पर चतुर्भुज को आमतौर पर दर्शाया जाता हैअक्षर ए, बी, सी, डी, जहां बीएस और एडी आधार हैं। एक समद्विबाहु समलम्ब में भुजाएँ बराबर होती हैं। हम मानेंगे कि उनका आकार X के बराबर है, और आधारों का आकार Y और Z के बराबर है (क्रमशः छोटा और बड़ा)। गणना करने के लिए, कोण B से ऊँचाई H खींचना आवश्यक है। परिणाम एक समकोण त्रिभुज ABN है, जहाँ AB कर्ण है, और BN और AN पैर हैं। हम पैर एएच के आकार की गणना करते हैं: बड़े आधार से छोटे को घटाएं, और परिणाम को 2 से विभाजित करें। हम इसे सूत्र के रूप में लिखते हैं: (जेडवाई) / 2 = एफ। अब, तीव्र कोण की गणना करने के लिए त्रिभुज के लिए, हम cos फ़ंक्शन का उपयोग करते हैं। हमें निम्नलिखित रिकॉर्ड मिलते हैं: cos (β) = X / F। अब हम कोण की गणना करते हैं: β = आर्कोस (एक्स / एफ)। इसके अलावा, एक कोण को जानकर, हम दूसरे को निर्धारित कर सकते हैं, इसके लिए हम एक प्राथमिक अंकगणितीय ऑपरेशन करते हैं: 180 - β। सभी कोण परिभाषित हैं।

इस समस्या का दूसरा समाधान भी है।शुरुआत में, हम कोने से एन की ऊंचाई कम करते हैं। पैर बीएन के मूल्य की गणना करें। हम जानते हैं कि एक समकोण त्रिभुज के कर्ण का वर्ग पैरों के वर्गों के योग के बराबर होता है। हम पाते हैं: बीएन = (एक्स 2-एफ 2)। अगला, हम त्रिकोणमितीय फ़ंक्शन tg का उपयोग करते हैं। नतीजतन, हमारे पास है: β = आर्कटन (बीएन / एफ)। एक नुकीला कोना मिला है। इसके बाद, हम एक अधिक कोण को उसी तरह परिभाषित करते हैं जैसे पहली विधि में।

समद्विबाहु समलम्ब चतुर्भुज के विकर्णों का गुण

सबसे पहले, आइए चार नियम लिखें। यदि एक समद्विबाहु समलम्ब में विकर्ण लंबवत हैं, तो:

- आकृति की ऊंचाई दो से विभाजित आधारों के योग के बराबर होगी;

- इसकी ऊंचाई और मध्य रेखा बराबर होती है;

- समलम्ब चतुर्भुज का क्षेत्रफल ऊंचाई के वर्ग के बराबर होगा (मध्य रेखा, आधारों का आधा योग);

- विकर्ण का वर्ग आधारों के योग के आधे वर्ग के बराबर या मध्य रेखा (ऊंचाई) के वर्ग के दोगुने के बराबर होता है।

अब उन सूत्रों पर विचार करें जो समद्विबाहु समलम्बाकार के विकर्ण को निर्धारित करते हैं। सूचना के इस खंड को मोटे तौर पर चार भागों में विभाजित किया जा सकता है:

1. एक विकर्ण की लंबाई का सूत्र उसकी भुजाओं के पदों में।

हम मानते हैं कि A नीचे का आधार है, B सबसे ऊपर है, C बराबर भुजाएँ हैं, D विकर्ण है। इस मामले में, लंबाई निम्नानुसार निर्धारित की जा सकती है:

डी = (सी 2 + ए * बी)।

2. कोज्या प्रमेय द्वारा विकर्ण की लंबाई के लिए सूत्र।

हम स्वीकार करते हैं कि ए निचला आधार है, बी ऊपरी है,सी - बराबर पक्ष, डी - विकर्ण, α (निचले आधार पर) और β (ऊपरी आधार पर) - समलम्बाकार कोण। हमें निम्नलिखित सूत्र मिलते हैं जिनके साथ आप विकर्ण की लंबाई की गणना कर सकते हैं:

- डी = (A2 + C2-2A * C * cosα);

- डी = (A2 + C2-2A * C * cosβ);

- डी = (बी 2 + सी 2-2 बी * सी * कोसबी);

- डी = (बी 2 + सी 2-2 बी * सी * कॉसα)।

3. एक समद्विबाहु समलम्ब चतुर्भुज के विकर्णों की लंबाई के सूत्र।

हम मानते हैं कि ए नीचे का आधार है, बी शीर्ष है, डी विकर्ण है, एम मध्य रेखा है, एच ऊंचाई है, पी समलम्बाकार क्षेत्र है, α और β विकर्णों के बीच के कोण हैं। हम निम्नलिखित सूत्रों का उपयोग करके लंबाई निर्धारित करते हैं:

- डी = (एम 2 + एच 2);

- डी = (एच 2 + (ए + बी) 2/4);

- डी = √ (एच (ए + बी) / sinα) = √ (2P / sinα) = √ (2M * H / sinα)।

इस मामले के लिए, समानता सत्य है: sinα = sinβ।

4. भुजाओं और ऊँचाई के पदों में विकर्ण की लंबाई के सूत्र।

हम मानते हैं कि ए नीचे का आधार है, बी शीर्ष है, सी पक्ष है, डी विकर्ण है, एच ऊंचाई है, α नीचे के आधार पर कोण है।

हम निम्नलिखित सूत्रों का उपयोग करके लंबाई निर्धारित करते हैं:

- डी = (एच 2 + (ए-पी * सीटीजीके) 2);

- डी = √ (H2 + (B + P * ctgα) 2);

- डी = (ए 2 + सी 2-2 ए * (सी 2-एच 2))।

एक आयताकार समलम्ब चतुर्भुज के तत्व और गुण

आइए देखें कि इस ज्यामितीय आकृति के बारे में क्या दिलचस्प है। जैसा कि हमने कहा, एक आयताकार समलम्ब चतुर्भुज में दो समकोण होते हैं।

शास्त्रीय परिभाषा के अलावा, वहाँ भी हैंअन्य। उदाहरण के लिए, एक आयताकार समलम्ब चतुर्भुज एक समलंब चतुर्भुज होता है जिसका एक पक्ष इसके आधारों के लंबवत होता है। या पार्श्व पक्ष में समकोण के साथ एक आकृति। इस प्रकार के समलम्बाकार में, ऊँचाई पार्श्व भुजा के बराबर होती है, जो आधारों के लंबवत होती है। मध्य रेखा वह रेखा खंड है जो दोनों पक्षों के मध्य बिंदुओं को जोड़ती है। उल्लिखित तत्व का गुण यह है कि यह आधारों के समानांतर है और उनके योग के आधे के बराबर है।

आइए अब बुनियादी सूत्रों पर एक नजर डालते हैं,इस ज्यामितीय आकृति को परिभाषित करना। इसके लिए, हम मानते हैं कि ए और बी आधार हैं; सी (आधारों के लंबवत) और डी - एक आयताकार ट्रेपोजॉइड के किनारे, एम - मध्य रेखा, α - तीव्र कोण, पी - क्षेत्र।

एक।पार्श्व पक्ष, आधारों के लंबवत, आकृति की ऊंचाई (सी = एच) के बराबर है, और दूसरे पार्श्व पक्ष डी की लंबाई और बड़े आधार के साथ कोण α की साइन के उत्पाद के बराबर है ( सी = डी * sinα)। इसके अलावा, यह न्यून कोण α के स्पर्शरेखा के गुणनफल और आधारों के अंतर के बराबर है: C = (A-B) * tgα।

2. पार्श्व पक्ष डी (आधारों के लंबवत नहीं) ए और बी और न्यून कोण के कोसाइन (α) के बीच के अंतर के भागफल या आकृति एच की ऊंचाई के भागफल और की ज्या के बराबर है न्यून कोण: D = (AB) / cos α = C / sinα।

3. भुजा, जो आधारों के लंबवत है, वर्ग D के बीच के अंतर के वर्गमूल के बराबर है - दूसरी भुजा - और आधारों के बीच के अंतर का वर्ग:

सी = (डी 2- (ए-बी) 2)।

4. एक आयताकार समलम्ब चतुर्भुज की भुजा D, भुजा C के वर्ग के योग के वर्गमूल और ज्यामितीय आकृति के आधारों के बीच के अंतर के वर्ग के वर्गमूल के बराबर होती है: D = (C2 + (A-B) 2)।

5. C की भुजा उसके आधारों के योग से दोहरे क्षेत्रफल को विभाजित करने के भागफल के बराबर है: C = P / M = 2P / (A + B)।

6. क्षेत्रफल उत्पाद M (आयताकार समलम्बाकार की मध्य रेखा) द्वारा आधारों की ऊंचाई या भुजा के लंबवत द्वारा निर्धारित किया जाता है: P = M * H = M * C।

7. साइड सी एक न्यून कोण की ज्या के गुणनफल और उसके आधारों के योग द्वारा आकृति के दुगुने क्षेत्र को विभाजित करने के भागफल के बराबर है: C = P / M * sinα = 2P / ((A + बी) * sinα)।

8. एक आयताकार समलम्ब चतुर्भुज के विकर्णों और उनके बीच के कोण के माध्यम से पार्श्व पक्ष के लिए सूत्र:

- sinα = sinβ;

- C = (D1 * D2 / (A + B)) * sinα = (D1 * D2 / (A + B)) * sinβ,

जहाँ D1 और D2 समलम्ब चतुर्भुज के विकर्ण हैं; α और β उनके बीच के कोण हैं।

9. निचले आधार और अन्य पक्षों पर कोण के माध्यम से पार्श्व पक्ष के लिए सूत्र: D = (A-B) / cosα = C / sinα = H / sinα।

चूँकि समकोण के साथ एक समलम्ब चतुर्भुज का एक विशेष मामला है, इन आंकड़ों को परिभाषित करने वाले शेष सूत्र एक आयताकार के अनुरूप होंगे।

अंकित वृत्त गुण

यदि शर्त कहती है कि एक आयताकार समलम्बाकार में एक वृत्त अंकित है, तो निम्नलिखित गुणों का उपयोग किया जा सकता है:

- आधारों का योग भुजाओं के योग के बराबर होता है;

- आयताकार आकार के शीर्ष से खुदा हुआ वृत्त की स्पर्शरेखा के बिंदुओं तक की दूरी हमेशा समान होती है;

- ट्रेपेज़ॉइड की ऊंचाई पार्श्व पक्ष के बराबर, आधारों के लंबवत और वृत्त के व्यास के बराबर है;

- वृत्त का केंद्र वह बिंदु है जिस पर कोनों के द्विभाजक प्रतिच्छेद करते हैं;

- यदि पार्श्व पक्ष को स्पर्श बिंदु द्वारा खंड H और M में विभाजित किया जाता है, तो वृत्त की त्रिज्या इन खंडों के गुणनफल के वर्गमूल के बराबर होती है;

- संपर्क के बिंदुओं द्वारा गठित एक चतुर्भुज, ट्रेपेज़ॉइड का शीर्ष और खुदा हुआ वृत्त का केंद्र - यह एक वर्ग है जिसकी भुजा त्रिज्या के बराबर है;

- आकृति का क्षेत्रफल आधारों के गुणनफल और ऊँचाई के आधारों के आधे योग के गुणनफल के बराबर होता है।

समान समलम्ब चतुर्भुज

गुणों के अध्ययन के लिए यह विषय बहुत सुविधाजनक है।यह ज्यामितीय आकार। उदाहरण के लिए, विकर्ण समलंब चतुर्भुज को चार त्रिभुजों में विभाजित करते हैं, और जो आधारों से सटे होते हैं वे समान होते हैं, और भुजाएँ बराबर होती हैं। इस कथन को त्रिभुजों का एक गुण कहा जा सकता है जिसमें एक समलम्ब को उसके विकर्णों द्वारा विभाजित किया जाता है। इस कथन का पहला भाग दो कोणों में समानता के चिन्ह से सिद्ध होता है। दूसरे भाग को सिद्ध करने के लिए, नीचे दी गई विधि का उपयोग करना बेहतर है।

प्रमेय का प्रमाण

हम स्वीकार करते हैं कि एबीएसडी का आंकड़ा (बीपी और बीएस मूल बातें हैंट्रेपेज़ॉइड) वीडी और एसी विकर्णों द्वारा विभाजित है। उनके चौराहे का बिंदु ओ है। हमें चार त्रिकोण मिलते हैं: एओएस - निचले आधार पर, बीओएस - ऊपरी आधार पर, एबीओ और एसओडी पार्श्व पक्षों पर। यदि खंड BO और OD उनके आधार हैं, तो त्रिभुज SOD और BFB की ऊँचाई समान होती है। हम पाते हैं कि उनके क्षेत्रों (पी) के बीच का अंतर इन खंडों के बीच के अंतर के बराबर है: पीबीओएस / पीएसओडी = बीओ / ओडी = के। इसलिए, पीएसओडी = पीबीओएस / के। इसी तरह, त्रिभुज BFB और AOB की ऊंचाई समान होती है। हम खंडों SB और OA को उनके आधारों के लिए लेते हैं। हमें PBOS / PAOB = SO / OA = K और PAOB = PBOS / K मिलता है। इससे यह पता चलता है कि PSOD = PAOB।

सामग्री को समेकित करने के लिए, छात्रों की सिफारिश की जाती हैप्राप्त त्रिभुजों के क्षेत्रों के बीच संबंध का पता लगाएं, जिसमें ट्रेपोजॉइड को इसके विकर्णों द्वारा विभाजित किया गया है, निम्नलिखित समस्या को हल करता है। यह ज्ञात है कि बायोफीडबैक और एओडी त्रिकोण के क्षेत्र समान हैं, समलम्बाकार क्षेत्र का पता लगाना आवश्यक है। चूँकि PSOD = PAOB, इसका अर्थ है कि PABSD = PBOS + PAOD + 2 * PSOD। त्रिभुज BFB और AOD की समानता से यह निम्नानुसार है कि BO / OD = (PBOS / PAOD)। इसलिए, PBOS / PSOD = BO / OD = (PBOS / PAOD)। हमें PSOD = (PBOS * PAOD) मिलता है। तब PABSD = PBOS + PAOD + 2 * (PBOS * PAOD) = (√ PSOS + PAOD) 2.

समानता गुण

इस विषय को विकसित करना जारी रखते हुए, कोई भी साबित कर सकता है औरट्रेपेज़ॉइड की अन्य दिलचस्प विशेषताएं। तो, समानता की मदद से, कोई एक खंड की संपत्ति को साबित कर सकता है जो आधारों के समानांतर इस ज्यामितीय आकृति के विकर्णों के प्रतिच्छेदन द्वारा गठित एक बिंदु से गुजरता है। ऐसा करने के लिए, हम निम्नलिखित समस्या को हल करेंगे: खंड RK की लंबाई ज्ञात करना आवश्यक है, जो बिंदु O से होकर गुजरता है। त्रिभुज AOD और BFB की समानता से, यह इस प्रकार है कि AO / OS = AD / BS . त्रिभुज AOR और ASB की समानता से, यह इस प्रकार है कि AO / AC = RO / BS = HELL / (BS + HELL)। यहाँ से हमें वह RO = BS * HELL / (BS + HELL) मिलता है। इसी तरह, त्रिभुज DOK और DBS की समानता से, यह निम्नानुसार है कि OK = BS * HELL / (BS + HELL)। यहाँ से हमें वह RO = OK और RK = 2 * BS * HELL / (BS + HELL) मिलता है। आधारों के समानांतर और दोनों पक्षों को जोड़ने वाले विकर्णों के प्रतिच्छेदन बिंदु से गुजरने वाले खंड को प्रतिच्छेदन बिंदु से आधा कर दिया जाता है। इसकी लंबाई आकृति के आधार का हार्मोनिक माध्य है।

निम्नलिखित समलम्बाकार गुणवत्ता पर विचार करें, जोचार सूत्री गुण कहलाते हैं। विकर्णों (O) के प्रतिच्छेदन बिंदु, पार्श्व पक्षों (E) के विस्तार का प्रतिच्छेदन, साथ ही आधारों के मध्य बिंदु (T और G) हमेशा एक ही रेखा पर स्थित होते हैं। यह समानता की विधि से आसानी से सिद्ध हो जाता है। परिणामी त्रिभुज BES और AED समान हैं, और उनमें से प्रत्येक में माध्यिकाएँ ET और EZ शीर्ष E पर कोण को बराबर भागों में विभाजित करती हैं। नतीजतन, बिंदु E, T और Ж एक सीधी रेखा पर स्थित हैं। इसी तरह, बिंदु T, O, और Z एक सीधी रेखा पर स्थित हैं। यह सब त्रिभुज BFB और AOD की समानता से होता है। इससे हम यह निष्कर्ष निकालते हैं कि सभी चार बिंदु - E, T, O और F - एक सीधी रेखा पर स्थित होंगे।

ऐसे समलंबों का प्रयोग करके कोई सुझाव दे सकता हैछात्र खंड (एलएफ) की लंबाई पाते हैं, जो आकृति को दो समान भागों में विभाजित करता है। यह खंड आधारों के समानांतर होना चाहिए। चूंकि प्राप्त समलम्ब ALPD और LBSF समान हैं, तो BS / LF = LF / BP। यह इस प्रकार है कि LF = (BS * HELL)। हम पाते हैं कि समलम्ब चतुर्भुज को दो समान भागों में विभाजित करने वाले खंड की लंबाई आकृति के आधारों की लंबाई के ज्यामितीय माध्य के बराबर होती है।

निम्नलिखित समानता संपत्ति पर विचार करें।यह एक खंड पर आधारित है जो समलम्ब को दो समान आकार के आंकड़ों में विभाजित करता है। हम मानते हैं कि ABSD समलम्बाकार खंड द्वारा दो समान भागों में विभाजित है। बी के ऊपर से, ऊंचाई गिरा दी जाती है, जिसे खंड ईएच द्वारा दो भागों - बी 1 और बी 2 में विभाजित किया जाता है। हम प्राप्त करते हैं: पीएबीएसडी/2 = (बीएस + ईएच) * बी 1/2 = (हेल + ईएच) * बी 2/2 और पीएबीएसडी = (बीएस + एचईएल) * (बी 1 + बी 2)/2। इसके बाद, हम एक प्रणाली की रचना करते हैं, जिसका पहला समीकरण (BS + EH) * B1 = (HELL + EH) * B2 और दूसरा (BS + EH) * B1 = (BS + HELL) * (B1 + B2) है। / २. यह इस प्रकार है कि B2 / B1 = (BS + EH) / (AD + EH) और BS + EH = ((BS + HELL) / 2) * (1 + B2 / B1)। हम पाते हैं कि समलम्ब चतुर्भुज को दो समान आकारों में विभाजित करने वाले खंड की लंबाई आधारों की लंबाई के मूल माध्य वर्ग के बराबर होती है: ((BS2 + AD2) / 2)।

समानता निष्कर्ष

इस प्रकार, हमने साबित कर दिया है कि:

1. समलम्ब पर पार्श्व पक्षों के मध्य बिंदुओं को जोड़ने वाला खंड बीपी और बीएस के समानांतर है और बीएस और बीपी के अंकगणितीय माध्य (ट्रेपेज़ॉइड के आधार की लंबाई) के बराबर है।

2. HELL और BS के समानांतर विकर्णों के प्रतिच्छेदन के बिंदु O से गुजरने वाली रेखा HELL और BS (2 * BS * HELL / (BS + HELL)) की संख्याओं के हार्मोनिक माध्य के बराबर होगी।

3. समलम्ब को समान भागों में विभाजित करने वाले खंड में बीएस और बीपी के आधारों के ज्यामितीय माध्य की लंबाई होती है।

4. आकृति को दो समान आकारों में विभाजित करने वाले तत्व की लंबाई BP और BS के माध्य वर्ग संख्याओं की होती है।

सामग्री को समेकित करने और के बीच संबंध को समझने के लिएअध्ययन किए गए खंडों में, छात्र को उन्हें एक विशिष्ट समलम्बाकार के लिए बनाने की आवश्यकता होती है। वह आसानी से मध्य रेखा और उस खंड को प्रदर्शित कर सकता है जो बिंदु O से होकर गुजरता है - आकृति के विकर्णों का प्रतिच्छेदन - आधारों के समानांतर। लेकिन तीसरा और चौथा कहाँ स्थित होगा? यह उत्तर छात्र को औसत के बीच वांछित संबंध की खोज करने के लिए प्रेरित करेगा।

समलम्ब चतुर्भुज विकर्णों के मध्य बिंदुओं को जोड़ने वाला खंड

इस आकृति की निम्नलिखित संपत्ति पर विचार करें।हम मानते हैं कि खंड MH आधारों के समानांतर है और विकर्णों को आधा में विभाजित करता है। चौराहे के बिंदु Ш और कहलाएंगे। यह खंड आधारों के आधे अंतर के बराबर होगा। आइए इस पर करीब से नज़र डालते हैं। एमएसएच - एबीएस त्रिकोण की मध्य रेखा, यह बीएस/2 के बराबर है। एमसीएच एबीडी त्रिकोण की मध्य रेखा है, यह बीपी/2 के बराबर है। तब हम पाते हैं कि SHSH = MSH-MSH, इसलिए, SHSH = HELL/2-BS/2 = (HELL + VS)/2.

ग्रैविटी केंद्र

आइए देखें कि यह कैसे निर्धारित होता हैदिए गए ज्यामितीय आकार के लिए यह तत्व। ऐसा करने के लिए, आधारों को विपरीत दिशाओं में विस्तारित करना आवश्यक है। इसका क्या मतलब है? निचले एक को ऊपरी आधार पर जोड़ना आवश्यक है - दोनों तरफ, उदाहरण के लिए, दाईं ओर। और निचले वाले को ऊपर वाले की लंबाई से बाईं ओर बढ़ाएं। अगला, हम उन्हें एक विकर्ण के साथ जोड़ते हैं। आकृति की मध्य रेखा के साथ इस खंड का प्रतिच्छेदन बिंदु समलम्ब चतुर्भुज के गुरुत्वाकर्षण का केंद्र है।

अंकित और वर्णित समलम्बाकार

आइए ऐसी आकृतियों की विशेषताओं को सूचीबद्ध करें:

1. एक समलम्ब चतुर्भुज को एक वृत्त में तभी अंकित किया जा सकता है जब वह समद्विबाहु हो।

2. एक समलम्ब चतुर्भुज को एक वृत्त के चारों ओर वर्णित किया जा सकता है, बशर्ते कि उनके आधारों की लंबाई का योग पार्श्व पक्षों की लंबाई के योग के बराबर हो।

अंकित सर्कल परिणाम:

1. वर्णित समलंब की ऊंचाई हमेशा दो त्रिज्या के बराबर होती है।

2. वर्णित समलम्बाकार का पार्श्व पक्ष वृत्त के केंद्र से समकोण पर देखा जाता है।

पहला परिणाम स्पष्ट है, लेकिन प्रमाण के लिएदूसरा, यह स्थापित करना आवश्यक है कि एसओडी का कोण सही है, जो वास्तव में भी मुश्किल नहीं होगा। लेकिन इस गुण का ज्ञान आपको समस्याओं को हल करते समय एक समकोण त्रिभुज का उपयोग करने की अनुमति देगा।

आइए अब हम इन परिणामों को ठोस रूप देंएक समद्विबाहु समलम्बाकार जो एक वृत्त में अंकित होता है। हम पाते हैं कि ऊँचाई आकृति के आधार का ज्यामितीय माध्य है: H = 2R = (BS * HELL)। समलम्बाकार (दो ऊंचाइयों को धारण करने का सिद्धांत) के लिए समस्याओं को हल करने की बुनियादी तकनीक का अभ्यास करते समय, छात्र को निम्नलिखित कार्य को हल करना चाहिए। हम मानते हैं कि बीटी एबीएसडी के समद्विबाहु आकृति की ऊंचाई है। एटी और टीडी खंडों को खोजना आवश्यक है। ऊपर वर्णित सूत्र का प्रयोग करते हुए ऐसा करना कठिन नहीं होगा।

अब आइए जानें कि त्रिज्या कैसे निर्धारित करेंपरिचालित ट्रेपोजॉइड के क्षेत्र का उपयोग करके सर्कल। हम ऊंचाई को शीर्ष B से HELL के आधार तक कम करते हैं। चूँकि वृत्त समलम्ब चतुर्भुज में अंकित है, तो BS + HELL = 2AB या AB = (BS + HELL)/2. त्रिभुज ABN से हम sinα = BN / AB = 2 * BN / (BS + HELL) पाते हैं। पीएबीएसडी = (बीएस + एचईएल) * बीएन/2, बीएन = 2आर। हमें पीएबीएसडी = (बीएस + एचईएल) * आर मिलता है, यह इस प्रकार है कि आर = पीएबीएसडी / (बीएस + एचईएल)।