नवियर-स्टोक्स समीकरण। गणितीय मॉडलिंग। विभेदक समीकरणों की प्रणालियों को हल करना

नेवियर-स्टोक्स समीकरणों की प्रणाली को लागू किया जाता हैकुछ प्रवाहों की स्थिरता का सिद्धांत, साथ ही अशांति के वर्णन के लिए। इसके अलावा, यांत्रिकी का विकास इस पर आधारित है, जो सीधे सामान्य गणितीय मॉडल से संबंधित है। सामान्य तौर पर, इन समीकरणों में बड़ी मात्रा में जानकारी होती है और इनका बहुत कम अध्ययन किया जाता है, लेकिन इन्हें उन्नीसवीं शताब्दी के मध्य में वापस लिया गया था। होने वाले मुख्य मामलों को शास्त्रीय असमानताएं माना जाता है, जो कि एक आदर्श इनविसिड तरल पदार्थ और सीमा परतें हैं। प्रारंभिक डेटा के परिणामस्वरूप ध्वनिकी, स्थिरता, औसत अशांत गति और आंतरिक तरंगों के समीकरण हो सकते हैं।

असमानताओं का गठन और विकास

मूल नेवियर-स्टोक्स समीकरण हैंभौतिक प्रभावों का विशाल डेटा, और परिणाम की असमानताएँ इस मायने में भिन्न हैं कि उनमें विशिष्ट विशेषताओं की जटिलता है। इस तथ्य के कारण कि वे गैर-रैखिक, गैर-स्थिर भी हैं, एक अंतर्निहित उच्चतम व्युत्पन्न और अंतरिक्ष की गति की प्रकृति के साथ एक छोटे पैरामीटर की उपस्थिति के साथ, उनका संख्यात्मक तरीकों का उपयोग करके अध्ययन किया जा सकता है।

प्रत्यक्ष गणितीय मॉडलिंगगैर-रेखीय अंतर समीकरणों की संरचना में अशांति और द्रव गति का इस प्रणाली में प्रत्यक्ष और मौलिक महत्व है। बड़ी संख्या में मापदंडों के आधार पर नेवियर-स्टोक्स के संख्यात्मक समाधान जटिल थे, इसलिए, उन्होंने चर्चा की और उन्हें असामान्य माना गया। हालांकि, 60 के दशक में, हाइड्रोडायनामिक्स और गणितीय विधियों का विकास गठन और सुधार के साथ-साथ कंप्यूटर के व्यापक उपयोग पर आधारित था।

स्टोक्स प्रणाली के बारे में अधिक जानकारी

नेवियर असमानताओं की संरचना में आधुनिक गणितीय मॉडलिंग पूरी तरह से गठित है और इसे ज्ञान के क्षेत्रों में एक स्वतंत्र दिशा के रूप में माना जाता है:

• तरल और गैस के यांत्रिकी;
• वायुजलगतिकी;
• मैकेनिकल इंजीनियरिंग;
• ऊर्जा;
• प्राकृतिक घटनाएं;
• प्रौद्योगिकियां।

इस प्रकृति के अधिकांश अनुप्रयोगवर्कफ़्लो के लिए रचनात्मक और तेज़ समाधान की आवश्यकता है। इस प्रणाली में सभी चरों की सटीक गणना विश्वसनीयता बढ़ाती है, धातु की खपत को कम करती है, और बिजली सर्किट की मात्रा को कम करती है। नतीजतन, प्रसंस्करण लागत कम हो जाती है, मशीनों और उपकरणों के परिचालन और तकनीकी घटक में सुधार होता है, सामग्री की गुणवत्ता अधिक हो जाती है। कंप्यूटर की निरंतर वृद्धि और उत्पादकता ने संख्यात्मक मॉडलिंग में सुधार करना संभव बना दिया है, साथ ही अंतर समीकरणों की प्रणालियों को हल करने के लिए समान तरीके भी। सभी गणितीय विधियों और प्रणालियों को नेवियर-स्टोक्स असमानताओं के प्रभाव में निष्पक्ष रूप से विकसित किया गया है, जिसमें ज्ञान के महत्वपूर्ण भंडार हैं।

प्राकृतिक संवहन

चिपचिपा द्रव यांत्रिकी की समस्याओं का अध्ययन किया गया थास्टोक्स समीकरणों, प्राकृतिक संवहनी ऊष्मा और द्रव्यमान स्थानांतरण के आधार पर। इसके अलावा, इस क्षेत्र के अनुप्रयोगों ने सैद्धांतिक प्रथाओं के परिणामस्वरूप प्रगति की है। तापमान की असमानता, तरल, गैस और गुरुत्वाकर्षण की संरचना में कुछ उतार-चढ़ाव होते हैं, जिन्हें प्राकृतिक संवहन कहा जाता है। यह गुरुत्वाकर्षण भी है, जो गर्मी और एकाग्रता शाखाओं में भी विभाजित है।

अन्य बातों के अलावा, यह शब्द किसके द्वारा साझा किया जाता हैथर्मोकेपिलरी और अन्य प्रकार के संवहन। मौजूदा तंत्र सार्वभौमिक हैं। वे गैस और तरल के अधिकांश आंदोलनों में शामिल होते हैं और प्राकृतिक क्षेत्र में मौजूद होते हैं और मौजूद होते हैं। इसके अलावा, वे थर्मल सिस्टम के आधार पर संरचनात्मक तत्वों को प्रभावित और प्रभावित करते हैं, साथ ही एकरूपता, थर्मल इन्सुलेशन दक्षता, पदार्थों को अलग करना, तरल चरण से निर्मित सामग्री की संरचनात्मक पूर्णता को प्रभावित करते हैं।

आंदोलनों के इस वर्ग की विशेषताएं

भौतिक मानदंड एक जटिल आंतरिक संरचना में व्यक्त किए जाते हैं। इस प्रणाली में, प्रवाह कोर और सीमा परत को भेद करना मुश्किल होता है। इसके अलावा, निम्नलिखित चर विशेष हैं:

• विभिन्न क्षेत्रों (आंदोलन, तापमान, एकाग्रता) का पारस्परिक प्रभाव;
• उपरोक्त मापदंडों की मजबूत निर्भरता सीमा, प्रारंभिक स्थितियों पर होती है, जो बदले में, समानता मानदंड और विभिन्न जटिल कारकों को निर्धारित करती है;
• प्रकृति में संख्यात्मक मूल्य, व्यापक अर्थों में प्रौद्योगिकी परिवर्तन;
• नतीजतन, तकनीकी और समान प्रतिष्ठानों का संचालन मुश्किल हो जाता है।

पदार्थों के भौतिक गुण जो बदलते हैंविभिन्न कारकों के प्रभाव में एक विस्तृत श्रृंखला, साथ ही ज्यामिति और सीमा की स्थिति संवहन समस्याओं को प्रभावित करती है, और प्रत्येक निर्दिष्ट मानदंड एक महत्वपूर्ण भूमिका निभाता है। बड़े पैमाने पर स्थानांतरण और गर्मी की विशेषताएं विभिन्न वांछित मापदंडों पर निर्भर करती हैं। व्यावहारिक अनुप्रयोगों के लिए, पारंपरिक परिभाषाओं की आवश्यकता होती है: प्रवाह, संरचनात्मक मोड के विभिन्न तत्व, तापमान स्तरीकरण, संवहन संरचना, एकाग्रता क्षेत्रों की सूक्ष्म और मैक्रो-असमानताएं।

अरैखिक अवकल समीकरण और उनका हल

गणितीय मॉडलिंग, या, दूसरे शब्दों में,गैर-रेखीय समीकरणों की एक विशिष्ट प्रणाली को ध्यान में रखते हुए कम्प्यूटेशनल प्रयोगों के तरीकों को विकसित किया गया है। असमानताओं की व्युत्पत्ति के एक बेहतर रूप में कई चरण होते हैं:

1. उस घटना के भौतिक मॉडल का चुनाव जिसकी जांच की जा रही है।
2. मूल मान जो इसे परिभाषित करते हैं उन्हें एक डेटासेट में समूहीकृत किया जाता है।
3. कुछ हद तक नेवियर-स्टोक्स समीकरणों और सीमा स्थितियों को हल करने के लिए गणितीय मॉडल बनाई गई घटना का वर्णन करता है।
4. समस्या की गणना करने की एक विधि या तरीका विकसित किया जा रहा है।
5. विभेदक समीकरणों की प्रणालियों को हल करने के लिए एक कार्यक्रम विकसित किया जा रहा है।
6. परिणामों की गणना, विश्लेषण और प्रसंस्करण।
7. व्यवहार में आवेदन।

इस सब से यह इस प्रकार है कि मुख्य कार्य हैइन क्रियाओं के आधार पर सही निष्कर्ष पर पहुँचना। यही है, व्यवहार में उपयोग किए जाने वाले एक भौतिक प्रयोग को कुछ निश्चित परिणाम प्राप्त करने चाहिए और इस घटना के लिए विकसित एक मॉडल या कंप्यूटर प्रोग्राम की शुद्धता और पहुंच के बारे में निष्कर्ष निकालना चाहिए। अंततः, कोई गणना करने के एक बेहतर तरीके के बारे में निर्णय ले सकता है या इसे सुधारने की आवश्यकता है।

विभेदक समीकरणों की प्रणाली को हल करना

प्रत्येक निर्दिष्ट चरण सीधे निर्भर करता हैविषय क्षेत्र के दिए गए पैरामीटर। गणितीय पद्धति का उपयोग गैर-रेखीय समीकरणों की प्रणालियों को हल करने के लिए किया जाता है जो विभिन्न वर्गों की समस्याओं और उनके कलन से संबंधित होते हैं। प्रत्येक की सामग्री के लिए प्रक्रिया के भौतिक विवरण की पूर्णता, सटीकता, साथ ही अध्ययन किए गए किसी भी विषय क्षेत्र के व्यावहारिक अनुप्रयोगों में सुविधाओं की आवश्यकता होती है।

कैलकुलस का गणितीय तरीका पर आधारित हैगैर-रेखीय स्टोक्स समीकरणों को हल करने के तरीके द्रव और गैस यांत्रिकी में लागू होते हैं और यूलर के सिद्धांत और सीमा परत के बाद अगला कदम माना जाता है। इस प्रकार, गणना के इस संस्करण में दक्षता, गति और प्रसंस्करण पूर्णता के लिए उच्च आवश्यकताएं हैं। ये दिशानिर्देश विशेष रूप से प्रवाह व्यवस्थाओं पर लागू होते हैं जो अस्थिर हो सकते हैं और अशांति में बदल सकते हैं।

क्रियाओं की श्रृंखला के बारे में अधिक जानकारी

तकनीकी श्रृंखला, या यों कहें, गणितीयचरणों को निरंतरता और समान शक्ति प्रदान की जानी चाहिए। नेवियर-स्टोक्स समीकरणों के संख्यात्मक समाधान में विवेकीकरण होता है - एक परिमित-आयामी मॉडल का निर्माण करते समय, संरचना में कुछ बीजीय असमानताएं और इस प्रणाली की विधि शामिल होगी। गणना की विशिष्ट विधि कई कारकों द्वारा निर्धारित की जाती है, जिनमें शामिल हैं: समस्याओं के वर्ग की विशेषताएं, आवश्यकताएं, प्रौद्योगिकी की क्षमताएं, परंपराएं और योग्यताएं।

गैर-स्थिर असमानताओं के संख्यात्मक समाधान

समस्याओं के लिए नंबरिंग सिस्टम बनाने के लिए,स्टोक्स अवकल समीकरण के क्रम को प्रकट करना आवश्यक है। वास्तव में, इसमें Boussinesq के संवहन, गर्मी और बड़े पैमाने पर स्थानांतरण के लिए द्वि-आयामी असमानताओं की शास्त्रीय योजना शामिल है। यह सब एक संपीड़ित तरल पदार्थ पर स्टोक्स समस्याओं के सामान्य वर्ग से प्राप्त होता है, जिसका घनत्व दबाव पर निर्भर नहीं करता है, लेकिन तापमान से संबंधित होता है। सिद्धांत रूप में, इसे गतिशील और स्थिर रूप से स्थिर माना जाता है।

Boussinesq सिद्धांत को ध्यान में रखते हुए, सभी थर्मोडायनामिकविचलन के साथ पैरामीटर और उनके मूल्य ज्यादा नहीं बदलते हैं और स्थिर संतुलन और इससे संबंधित स्थितियों के अनुरूप रहते हैं। इस सिद्धांत के आधार पर बनाया गया मॉडल संरचना या तापमान को बदलने की प्रक्रिया के दौरान सिस्टम में न्यूनतम उतार-चढ़ाव और संभावित असहमति को ध्यान में रखता है। इस प्रकार, Boussinesq समीकरण इस तरह दिखता है: p = p (c, T)। तापमान, अशुद्धता, दबाव। इसके अलावा, घनत्व एक स्वतंत्र चर है।

Boussinesq के सिद्धांत का सार

संवहन का वर्णन करने के लिए, Boussinesq के सिद्धांत मेंप्रणाली की एक महत्वपूर्ण विशेषता लागू होती है जिसमें संपीड्यता के हाइड्रोस्टेटिक प्रभाव शामिल नहीं होते हैं। घनत्व और दबाव की निर्भरता होने पर ध्वनिक तरंगें असमानताओं की प्रणाली में दिखाई देती हैं। स्थिर मूल्यों से तापमान और अन्य चर के विचलन की गणना करते समय ऐसे प्रभावों को फ़िल्टर किया जाता है। यह कारक कम्प्यूटेशनल विधियों के डिजाइन को महत्वपूर्ण रूप से प्रभावित करता है।

हालाँकि, यदि कोई परिवर्तन होता है याअशुद्धियों की बूंदें, चर, हाइड्रोस्टेटिक दबाव बढ़ता है, तो समीकरणों को ठीक किया जाना चाहिए। नेवियर-स्टोक्स समीकरण और सामान्य असमानताएं भिन्न होती हैं, विशेष रूप से एक संपीड़ित गैस के संवहन की गणना के लिए। इन समस्याओं में, मध्यवर्ती गणितीय मॉडल हैं, जहां भौतिक संपत्ति में परिवर्तन को ध्यान में रखा जाता है, या घनत्व में परिवर्तन का विस्तृत विवरण किया जाता है, जो तापमान और दबाव और एकाग्रता पर निर्भर करता है।

स्टोक्स समीकरणों की विशेषताएं और विशेषताएं

नेवियर और इसकी असमानताएं आधार बनाती हैंसंवहन, इसके अलावा, एक विशिष्टता है, कुछ विशेषताएं जो संख्यात्मक अवतार में प्रकट और व्यक्त की जाती हैं, और संकेतन के रूप पर भी निर्भर नहीं करती हैं। इन समीकरणों की एक विशिष्ट विशेषता को समाधानों की स्थानिक रूप से अण्डाकार प्रकृति माना जाता है, जो एक चिपचिपा प्रवाह के कारण होता है। समाधान विशिष्ट तरीकों का उपयोग करना और उन्हें लागू करना है।

सीमा परत असमानताएं अलग हैं।इन्हें कुछ शर्तों की स्थापना की आवश्यकता होती है। स्टोक्स प्रणाली में उच्चतम व्युत्पन्न होता है, जिसके कारण समाधान बदल जाता है और चिकना हो जाता है। सीमा परत और दीवारें बढ़ती हैं, और अंततः संरचना गैर-रैखिक होती है। नतीजतन, हाइड्रोडायनामिक प्रकार के साथ एक समानता और संबंध है, साथ ही एक असंपीड़ित तरल पदार्थ, जड़त्वीय घटकों, वांछित समस्याओं में गति की मात्रा के साथ।

असमानताओं में गैर-रैखिकता की विशेषता

नेवियर-स्टोक्स समीकरणों के सिस्टम को हल करते समयबड़ी रेनॉल्ड्स संख्याओं को ध्यान में रखा जाता है। नतीजतन, यह जटिल अंतरिक्ष-समय संरचनाओं की ओर जाता है। प्राकृतिक संवहन में कोई गति नहीं होती है जो समस्याओं में निर्धारित होती है। इस प्रकार, रेनॉल्ड्स संख्या संकेतित मूल्य में एक पैमाने की भूमिका निभाती है, और इसका उपयोग विभिन्न समानताएं प्राप्त करने के लिए भी किया जाता है। इसके अलावा, फूरियर, ग्राशॉफ, श्मिट, प्रांड्ल और अन्य की प्रणालियों के साथ उत्तर प्राप्त करने के लिए इस विकल्प के आवेदन का व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है।

Boussinesq सन्निकटन में, समीकरण भिन्न होते हैंविशिष्टता, इस तथ्य के कारण कि तापमान और प्रवाह क्षेत्रों के पारस्परिक प्रभाव का एक महत्वपूर्ण अनुपात कुछ कारकों के कारण होता है। समीकरण का गैर-मानक व्यवहार अस्थिरता, सबसे छोटी रेनॉल्ड्स संख्या के कारण होता है। इज़ोटेर्मल द्रव प्रवाह के मामले में, असमानताओं वाली स्थिति बदल जाती है। गैर-स्थिर स्टोक्स समीकरणों में विभिन्न मोड निहित हैं।

संख्यात्मक अनुसंधान का सार और विकास

कुछ समय पहले तक, रैखिक हाइड्रोडायनामिकसमीकरणों ने बड़े रेनॉल्ड्स संख्याओं के उपयोग और छोटे गड़बड़ी, गति और अन्य चीजों के व्यवहार के संख्यात्मक अध्ययन को निहित किया। आज, विभिन्न प्रवाह क्षणिक और अशांत शासनों की प्रत्यक्ष घटनाओं के साथ संख्यात्मक सिमुलेशन का अर्थ है। यह सब अरैखिक स्टोक्स समीकरणों की प्रणाली द्वारा हल किया जाता है। इस मामले में संख्यात्मक परिणाम दिए गए मानदंडों के अनुसार सभी क्षेत्रों का तात्कालिक मूल्य है।

गैर-स्थिर परिणामों को संसाधित करना

तात्कालिक अंत मूल्य हैंसंख्यात्मक प्राप्तियां जो खुद को समान प्रणालियों और सांख्यिकीय प्रसंस्करण के तरीकों को रैखिक असमानताओं के रूप में उधार देती हैं। गति की गैर-स्थिरता की अन्य अभिव्यक्तियाँ परिवर्तनशील आंतरिक तरंगों, स्तरीकृत द्रव, आदि में व्यक्त की जाती हैं। हालाँकि, इन सभी मूल्यों को अंततः समीकरणों की मूल प्रणाली द्वारा वर्णित किया जाता है और संसाधित, स्थापित मूल्यों और योजनाओं द्वारा विश्लेषण किया जाता है।

गैर-स्थिरता की अन्य अभिव्यक्तियाँ व्यक्त की जाती हैंतरंगें, जिन्हें प्रारंभिक गड़बड़ी के विकास में एक क्षणिक प्रक्रिया के रूप में माना जाता है। इसके अलावा, अस्थिर गतियों के वर्ग हैं जो विभिन्न द्रव्यमान बलों और उनके दोलनों के साथ-साथ समय अंतराल में बदलने वाली तापीय स्थितियों के साथ जुड़े हुए हैं।