सरल पुनरावृत्ति विधि, जिसे विधि भी कहा जाता हैक्रमिक सन्निकटन एक गणितीय एल्गोरिथम है जो किसी अज्ञात मात्रा के मूल्य को उसके क्रमिक परिशोधन द्वारा ज्ञात करता है। इस पद्धति का सार यह है कि, जैसा कि नाम से ही स्पष्ट है, प्रारंभिक सन्निकटन से बाद वाले को धीरे-धीरे व्यक्त करते हुए, अधिक से अधिक परिष्कृत परिणाम प्राप्त होते हैं। इस पद्धति का उपयोग किसी दिए गए फ़ंक्शन में एक चर के मूल्य को खोजने के लिए किया जाता है, साथ ही साथ समीकरणों के सिस्टम को हल करते समय, रैखिक और अरेखीय दोनों।
आइए विचार करें कि SLAE को हल करते समय इस पद्धति को कैसे लागू किया जाता है। सरल पुनरावृत्ति विधि में निम्नलिखित एल्गोरिथम है:
एक।मूल मैट्रिक्स में अभिसरण शर्त की पूर्ति की जाँच करना। अभिसरण प्रमेय: यदि सिस्टम के प्रारंभिक मैट्रिक्स में एक विकर्ण प्रभुत्व है (यानी, प्रत्येक पंक्ति में, मुख्य विकर्ण के तत्व मॉड्यूलस में माध्यमिक विकर्ण मॉड्यूल के तत्वों के योग से अधिक होना चाहिए), तो सरल की विधि पुनरावृत्तियां अभिसरण हैं।
2.मूल प्रणाली के मैट्रिक्स में हमेशा एक विकर्ण प्रभुत्व नहीं होता है। ऐसे मामलों में, सिस्टम को परिवर्तित किया जा सकता है। अभिसरण की स्थिति को संतुष्ट करने वाले समीकरण बरकरार रहते हैं, और जो संतुष्ट नहीं होते हैं, वे रैखिक संयोजन बनाते हैं, यानी। वांछित परिणाम प्राप्त होने तक गुणा करें, घटाएं, समीकरणों को एक साथ जोड़ें।
यदि मुख्य विकर्ण पर परिणामी प्रणाली में असुविधाजनक गुणांक हैं, तो फॉर्म की शर्तेंऔर* एक्समैं, जिनके संकेत विकर्ण तत्वों के संकेतों के साथ मेल खाना चाहिए।
3. परिणामी प्रणाली का उसके सामान्य रूप में रूपांतरण:
साथ-= β-+ α * x-
यह कई तरीकों से किया जा सकता है, उदाहरण के लिए, इस तरह: पहले समीकरण से, x . को व्यक्त करें1 अन्य अज्ञात के माध्यम से, दूसरे से - x2, तीसरे से- x3 आदि। इस मामले में, हम सूत्रों का उपयोग करते हैं:
αआईजेयू= - (एआईजेयू / एii)
और= बीऔर/ एद्वितीय
यह फिर से सत्यापित किया जाना चाहिए कि सामान्य रूप की परिणामी प्रणाली अभिसरण की स्थिति को पूरा करती है:
(जे = 1) | αआईजेयू|≤ 1, जबकि मैं = 1,2, ... n
4. हम वास्तव में, क्रमिक सन्निकटन की विधि को ही लागू करना शुरू करते हैं।
साथ(0)प्रारंभिक सन्निकटन है, हम इसके माध्यम से व्यक्त करते हैं x(1), फिर x . के माध्यम से(1) एक्सप्रेस एक्स(2)... मैट्रिक्स रूप में सामान्य सूत्र इस तरह दिखता है:
साथ(एन)= β-+ α * x(एन -1)
हम तब तक गणना करते हैं जब तक हम आवश्यक सटीकता तक नहीं पहुंच जाते:
अधिकतम | xऔर(के) -xऔर(के + 1)
तो चलिए सरल पुनरावृत्ति विधि को व्यवहार में लाते हैं। उदाहरण:
SLAE हल करें:
4.5x1-1.7x2 + 3.5x3 = 2
3.1x1 + 2.3x2-1.1x3 = 1
1.8x1 + 2.5x2 + 4.7x3 = 4 सटीकता के साथ = 10-3
आइए देखें कि क्या विकर्ण तत्व मापांक में प्रबल होते हैं।
हम देखते हैं कि केवल तीसरा समीकरण अभिसरण की स्थिति को संतुष्ट करता है। हम पहले और दूसरे को रूपांतरित करते हैं, दूसरे को पहले समीकरण में जोड़ते हैं:
7.6x1 + 0.6x2 + 2.4x3 = 3
पहले को तीसरे से घटाएं:
-2.7x1 + 4.2x2 + 1.2x3 = 2
हमने मूल प्रणाली को समकक्ष प्रणाली में बदल दिया है:
7.6x1 + 0.6x2 + 2.4x3 = 3
-2.7x1 + 4.2x2 + 1.2x3 = 2
1.8x1 + 2.5x2 + 4.7x3 = 4
अब सिस्टम को सामान्य स्थिति में लाते हैं:
x1 = 0.3947-0.0789x2-0.3158x3
x2 = 0.4762 + 0.6429x1-0.2857x3
x3 = 0.8511-0.383x1-0.5319x2
पुनरावृत्ति प्रक्रिया के अभिसरण की जाँच करना:
०.०७८९ + ०.३१५८ = ०.३९४७ ≤ १
०.६४२९ + ०.२८५७ = ०.९२८६ १
0.383+ 0.5319 = 0.9149 ≤ 1, यानी। शर्त पूरी की जाती है।
0,3947
प्रारंभिक सन्निकटन x(0) = 0.4762
0,8511
इन मानों को सामान्य-रूप समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर, हमें निम्नलिखित मान प्राप्त होते हैं:
0,08835
साथ(एक)= 0.486793
0,446639
नए मूल्यों को प्रतिस्थापित करते हुए, हम प्राप्त करते हैं:
0,215243
साथ(2)= ०.४०५३९६
0,558336
हम गणना तब तक जारी रखते हैं जब तक हम दी गई शर्त को पूरा करने वाले मानों के करीब नहीं आ जाते।
0,18813
साथ(७)= ०.४४१०९१
0,544319
0,188002
साथ(आठ) = 0.44164
0,544428
आइए प्राप्त परिणामों की शुद्धता की जांच करें:
४.५ * ०.१८८० -१.७ * ०.४४१ + ३.५ * ०.५४४ = २.०००३
3.1 * 0.1880 + 2.3 * 0.441-1.1x * 0.544 = 0.9987
1.8 * 0.1880 + 2.5 * 0.441 + 4.7 * 0.544 = 3.9977
मूल समीकरणों में पाए गए मानों को प्रतिस्थापित करके प्राप्त परिणाम समीकरण की शर्तों को पूरी तरह से संतुष्ट करते हैं।
जैसा कि हम देख सकते हैं, सरल पुनरावृत्ति विधि काफी सटीक परिणाम देती है, लेकिन हमें इस समीकरण को हल करने के लिए बहुत समय और बोझिल गणना खर्च करनी पड़ी।
