एक द्विघात समीकरण की जड़ों को खोजने के गुण और तरीके

दुनिया को व्यवस्थित किया जाता है ताकि बड़ी संख्या का निर्णय होसमस्याओं को एक द्विघात समीकरण की जड़ों को खोजने के लिए कम किया जाता है। समीकरणों की जड़ें विभिन्न पैटर्न का वर्णन करने के लिए महत्वपूर्ण हैं। यह प्राचीन बाबुल के भूमि सर्वेक्षणकर्ताओं के लिए भी जाना जाता था। खगोलविदों और इंजीनियरों को ऐसी समस्याओं को हल करने के लिए मजबूर किया गया था। 6 वीं शताब्दी ईस्वी में वापस, भारतीय वैज्ञानिक आर्यभट्ट ने एक द्विघात समीकरण की जड़ों को खोजने के लिए नींव विकसित की। सूत्र 19 वीं शताब्दी में समाप्त हुए रूप में थे।

सामान्य अवधारणाएँ

हमारा सुझाव है कि आप खुद को द्विघात समानता के बुनियादी नियमों से परिचित कराएं। सामान्य तौर पर, समानता इस प्रकार लिखी जा सकती है:

ओह² + bx + c = 0,

एक द्विघात समीकरण की जड़ों की संख्या एक या दो हो सकती है। एक त्वरित विश्लेषण भेदभावियों की धारणा का उपयोग करके किया जा सकता है:

डी = बी² - 4ac

गणना मूल्य के आधार पर, हमें मिलता है:

• D> 0 के लिए, दो अलग-अलग जड़ें हैं। द्विघात समीकरण की जड़ों को निर्धारित करने का सामान्य सूत्र (-b for )D) / (2a) जैसा दिखता है।
• D = 0, इस मामले में रूट एक है और मान x = -b / (2a) से मेल खाता है
• D <0, विवेचक के ऋणात्मक मान के समीकरण का कोई हल नहीं है।

नोट: यदि विवेचक ऋणात्मक है, तो समीकरण की केवल क्षेत्र में कोई जड़ नहीं है। यदि बीजगणित को जटिल जड़ों की अवधारणा तक बढ़ाया जाता है, तो समीकरण का एक समाधान होता है।

यहां जड़ों को खोजने के सूत्र की पुष्टि करने वाली क्रियाओं की एक श्रृंखला है।

समीकरण के सामान्य रूप से, यह इस प्रकार है:

ओह² + बीएक्स = -सी

दाएं और बाएं पक्षों को 4a से गुणा करें और बी जोड़ें², हमें मिला

4 ए²साथ² + 4abx + b² = -4ac + बी²

एक वर्ग बहुपद के रूप में बाईं ओर रूपांतरण (2ax + b)²... समीकरण 2x + b = -b both both (-4ac + b) के दोनों किनारों का वर्गमूल लें²), हम गुणांक b को दाईं ओर स्थानांतरित करते हैं, हमें मिलता है:

2ax = -b ± ± (-4ac + b)²)

इसका अर्थ है:

x = (-b ± ± (b)² - 4ac))

जो दिखाया जाना जरूरी था।

एक विशेष मामला

कुछ मामलों में, समस्या को हल करना सरल हो सकता है। तो, एक भी गुणांक b के लिए, हमें एक सरल सूत्र मिलता है।

हम k = 1 / 2b को निरूपित करते हैं, फिर द्विघात समीकरण की जड़ों के लिए सामान्य सूत्र का रूप लेता है:

x = (-k ± ± (k)² - एसी)) / ए

D = 0 के लिए, हमें x = -k / a मिलता है

एक और विशेष मामला = 1 के समीकरण का हल होगा।

दृश्य के लिए एक्स² + bx + c = 0 जड़ें x = -k = = (k) होंगी² - c) जब विवेचक 0. से अधिक होता है, तो मामले के लिए जब D = 0 होता है, तो रूट एक साधारण सूत्र द्वारा निर्धारित किया जाएगा: x = -k।

चार्ट का उपयोग करना

कोई भी व्यक्ति, इसे जाने बिना भी, लगातार भौतिक, रासायनिक, जैविक और यहां तक ​​कि सामाजिक घटनाओं का सामना करता है जो एक द्विघात फ़ंक्शन द्वारा अच्छी तरह से वर्णित हैं।

नोट: एक द्विघात फंक्शन पर आधारित वक्र को परबोला कहा जाता है।

यहाँ कुछ उदाहरण हैं।

1. एक प्रक्षेपवक्र के प्रक्षेपवक्र की गणना करते समय, क्षितिज के कोण पर निकाले गए पिंड के परवलय के साथ गति की संपत्ति का उपयोग किया जाता है।
2. समान रूप से लोड को वितरित करने के लिए पेराबोला की संपत्ति का व्यापक रूप से वास्तुकला में उपयोग किया जाता है।

एक परवलयिक फ़ंक्शन के महत्व को समझते हुए, आइए यह पता लगाएं कि "विभेदक" और "एक द्विघात समीकरण की जड़" की अवधारणाओं का उपयोग करके इसके गुणों का पता लगाने के लिए ग्राफ़ का उपयोग कैसे करें।

गुणांक ए और बी के मूल्य के आधार पर, वक्र की स्थिति के लिए केवल छह विकल्प हैं:

1. विवेकशील सकारात्मक है, ए और बी के अलग-अलग संकेत हैं। परवलय बिंदु की शाखाएँ ऊपर की ओर होती हैं, द्विघात समीकरण के दो हल होते हैं।
2. विवेकशील और गुणांक b शून्य के बराबर हैं, गुणांक a शून्य से अधिक है। ग्राफ सकारात्मक क्षेत्र में है, समीकरण में 1 जड़ है।
3. विवेकशील और सभी गुणांक सकारात्मक हैं। द्विघात समीकरण का कोई हल नहीं है।
4. विवेकशील और गुणांक नकारात्मक हैं, बी शून्य से अधिक है। ग्राफ की शाखाओं को नीचे की ओर निर्देशित किया गया है, समीकरण में दो जड़ें हैं।
5. विवेकशील और गुणांक b शून्य के बराबर हैं, गुणांक a ऋणात्मक है। पेराबोला नीचे दिखता है, समीकरण में एक जड़ है।
6. विवेकशील और सभी गुणांक नकारात्मक हैं। कोई समाधान नहीं हैं, फ़ंक्शन मान पूरी तरह से नकारात्मक क्षेत्र में हैं।

नोट: विकल्प a = 0 नहीं माना जाता है, क्योंकि इस मामले में परवल एक सीधी रेखा में आ जाता है।

उपरोक्त सभी अच्छी तरह से नीचे दिए गए चित्र द्वारा चित्रित किया गया है।

समस्या हल करने के उदाहरण

स्थिति: सामान्य गुणों का उपयोग करते हुए, एक द्विघात समीकरण बनाते हैं, जिसकी जड़ें एक दूसरे के बराबर होती हैं।

समाधान:

समस्या कथन x द्वारा₁ = एक्स₂, या-बी + √ (बी)² - 4ac) / (2a) = -b + b (b)² - 4ac) / (2a)। प्रविष्टि को सरल बनाना:

-b + √ (b)² - 4ac) / (2a) - (-b - b (b)² - 4ac) / (2a)) = 0, कोष्ठक खोलें और समान शब्द दें। समीकरण फॉर्म 2√ (बी) लेता है² - 4ac) = 0. यह कथन सही है जब b² - 4ac = 0, इसलिए बी² = 4ac, फिर मान b = 2√ (एसी) समीकरण में प्रतिस्थापित किया जाता है

ओह² + 2 + (एसी) x + c = 0, कम रूप में हम x प्राप्त करते हैं² + 2 + (c / a) x + c = 0।

उत्तर है:

0 और किसी c के बराबर नहीं है, केवल एक ही समाधान है यदि b = 2 c (c / a)।

उनकी सभी सादगी के लिए द्विघात समीकरणइंजीनियरिंग गणना में बहुत महत्व के हैं। लगभग किसी भी शारीरिक प्रक्रिया को आदेश एन के शक्ति कार्यों का उपयोग करके कुछ सन्निकटन के साथ वर्णित किया जा सकता है। द्विघात समीकरण इस तरह का पहला सन्निकटन होगा।