रैखिक समीकरण प्रणालियों के उदाहरण: समाधान विधि

समीकरणों के सिस्टम का व्यापक रूप से उपयोग किया जाता हैविभिन्न प्रक्रियाओं के गणितीय मॉडलिंग में आर्थिक उद्योग। उदाहरण के लिए, प्रबंधन और उत्पादन की योजना बनाने की समस्याओं को हल करते समय, रसद मार्ग (परिवहन समस्या) या उपकरण प्लेसमेंट।

समीकरण प्रणालियों का उपयोग न केवल गणित के क्षेत्र में, बल्कि भौतिकी, रसायन विज्ञान और जीव विज्ञान में भी, जनसंख्या के आकार को खोजने की समस्याओं को हल करने में किया जाता है।

रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली को दो या दो से अधिक कहा जाता हैकई चर वाले समीकरण, जिसके लिए एक सामान्य समाधान खोजना आवश्यक है। संख्याओं का ऐसा क्रम जिसके लिए सभी समीकरण वास्तविक समानता बन जाते हैं या यह सिद्ध करते हैं कि अनुक्रम मौजूद नहीं है

रेखीय समीकरण

ax + by = c के रूप के समीकरण रैखिक कहलाते हैं। अंकन x, y अज्ञात है, जिसका मान ज्ञात किया जाना चाहिए, b, a चर के गुणांक हैं, c समीकरण का मुक्त पद है।
इसका ग्राफ बनाकर समीकरण का हल एक सीधी रेखा के रूप में होगा, जिसके सभी बिंदु बहुपद के हल होंगे।

रैखिक समीकरणों की प्रणालियों के प्रकार

सबसे सरल उदाहरणों को दो चर X और Y के साथ रैखिक समीकरणों की प्रणाली माना जाता है।

F1 (x, y) = 0 और F2 (x, y) = 0, जहां F1,2 फलन हैं और (x, y) फलन चर हैं।

समीकरणों की प्रणाली को हल करें - इसका अर्थ है ऐसे मान (x, y) की खोज करना जिस पर सिस्टम एक वास्तविक समानता में बदल जाता है, या यह स्थापित करना कि x और y के लिए कोई उपयुक्त मान नहीं हैं।

एक बिंदु के निर्देशांक के रूप में लिखे गए मानों की एक जोड़ी (x, y) को रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली का समाधान कहा जाता है।

यदि सिस्टम का एक सामान्य समाधान है या समाधान मौजूद नहीं है, तो उन्हें समकक्ष कहा जाता है।

रैखिक समीकरणों की समांगी प्रणालियाँ ऐसी प्रणालियाँ हैं जिनका दायाँ पक्ष शून्य के बराबर है। यदि "बराबर" चिह्न के बाद के दाहिने हिस्से का कोई मान है या किसी फ़ंक्शन द्वारा व्यक्त किया गया है, तो ऐसी प्रणाली विषम है।

चरों की संख्या दो से अधिक हो सकती है, तो हमें तीन या अधिक चर वाले रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली के उदाहरण के बारे में बात करनी चाहिए।

जब सिस्टम का सामना करना पड़ता है, स्कूली बच्चे मानते हैंकि समीकरणों की संख्या अनिवार्य रूप से अज्ञात की संख्या के साथ मेल खाना चाहिए, लेकिन ऐसा नहीं है। सिस्टम में समीकरणों की संख्या चर पर निर्भर नहीं करती है, आप जितने चाहें उतने हो सकते हैं।

समीकरणों के निकाय को हल करने की सरल और जटिल विधियाँ

कोई सामान्य विश्लेषणात्मक तरीका नहीं हैसमान प्रणालियों के समाधान, सभी विधियाँ संख्यात्मक समाधानों पर आधारित होती हैं। स्कूल गणित पाठ्यक्रम में क्रमपरिवर्तन, बीजगणितीय जोड़, प्रतिस्थापन, साथ ही ग्राफिकल और मैट्रिक्स विधि, गॉस विधि द्वारा समाधान जैसी विधियों का विस्तार से वर्णन किया गया है।

शिक्षण विधियों को हल करने में मुख्य कार्य हैयह सिखाना है कि सिस्टम का ठीक से विश्लेषण कैसे करें और प्रत्येक उदाहरण के लिए इष्टतम समाधान एल्गोरिदम खोजें। मुख्य बात प्रत्येक विधि के लिए नियमों और क्रियाओं की प्रणाली को याद रखना नहीं है, बल्कि किसी विशेष विधि को लागू करने के सिद्धांतों को समझना है।

रैखिक समीकरणों की प्रणालियों के उदाहरण हल करना 7मुख्य स्कूल पाठ्यक्रम काफी सरल है और बहुत विस्तार से समझाया गया है। गणित की किसी भी पाठ्यपुस्तक में इस खंड पर पर्याप्त ध्यान दिया जाता है। उच्च शिक्षण संस्थानों के पहले वर्षों में गॉस और क्रैमर पद्धति द्वारा रैखिक समीकरणों की प्रणालियों के उदाहरणों के समाधान का अधिक विस्तार से अध्ययन किया जाता है।

प्रतिस्थापन विधि द्वारा प्रणालियों का समाधान

प्रतिस्थापन विधि के कार्यों का उद्देश्य हैदूसरे के माध्यम से एक चर के मूल्य की अभिव्यक्ति। व्यंजक को शेष समीकरण में प्रतिस्थापित किया जाता है, फिर इसे एक चर वाले रूप में घटाया जाता है। सिस्टम में अज्ञात की संख्या के आधार पर कार्रवाई दोहराई जाती है

आइए हम प्रतिस्थापन विधि द्वारा ७वीं कक्षा के रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली के एक उदाहरण का समाधान दें:

जैसा कि आप उदाहरण से देख सकते हैं, चर x व्यक्त किया गया थाएफ (एक्स) = 7 + वाई के माध्यम से। परिणामी अभिव्यक्ति, एक्स के स्थान पर सिस्टम के दूसरे समीकरण में प्रतिस्थापित, ने दूसरे समीकरण में एक चर वाई प्राप्त करने में मदद की। इस उदाहरण का समाधान किसी भी कठिनाई का कारण नहीं बनता है और आपको Y मान प्राप्त करने की अनुमति देता है। अंतिम चरण प्राप्त मूल्यों की जांच करना है।

रैखिक समीकरणों की प्रणाली का एक उदाहरण हल करेंप्रतिस्थापन हमेशा संभव नहीं होता है। समीकरण जटिल हो सकते हैं और दूसरे अज्ञात के संदर्भ में एक चर की अभिव्यक्ति आगे की गणना के लिए बहुत बोझिल होगी। जब सिस्टम में 3 से अधिक अज्ञात होते हैं, तो प्रतिस्थापन द्वारा समाधान भी अव्यावहारिक होता है।

रैखिक अमानवीय समीकरणों की एक प्रणाली के उदाहरण का समाधान:

बीजीय जोड़ समाधान

जोड़ विधि द्वारा सिस्टम के समाधान की खोज करते समय, टर्म-बाय-टर्म जोड़ और विभिन्न संख्याओं द्वारा समीकरणों का गुणन किया जाता है। गणितीय संक्रियाओं का अंतिम लक्ष्य एक चर में एक समीकरण है।

इस पद्धति को लागू करने के लिए अभ्यास की आवश्यकता होती है।और अवलोकन। 3 या अधिक चरों की संख्या के साथ योग विधि द्वारा रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली को हल करना आसान नहीं है। समीकरणों में भिन्न और दशमलव संख्याएँ मौजूद होने पर बीजीय योग का उपयोग करना सुविधाजनक होता है।

समाधान क्रिया एल्गोरिथ्म:

1. समीकरण के दोनों पक्षों को किसी संख्या से गुणा करें। अंकगणितीय ऑपरेशन के परिणामस्वरूप, चर के गुणांक में से एक 1 के बराबर होना चाहिए।
2. परिणामी व्यंजक पद को पद के अनुसार जोड़ें और अज्ञात में से एक का पता लगाएं।
3. शेष चर को खोजने के लिए प्राप्त मान को सिस्टम के दूसरे समीकरण में रखें।

एक नया चर पेश करके समाधान

एक नया चर पेश किया जा सकता है यदि सिस्टम को दो से अधिक समीकरणों के लिए समाधान खोजने की आवश्यकता होती है, तो अज्ञात की संख्या भी दो से अधिक नहीं होनी चाहिए।

विधि का प्रयोग इनमें से किसी एक को सरल बनाने के लिए किया जाता हैएक नया चर पेश करके समीकरण। नया समीकरण दर्ज अज्ञात के संबंध में हल किया जाता है, और परिणामी मूल्य का उपयोग मूल चर को निर्धारित करने के लिए किया जाता है।

उदाहरण से पता चलता है कि एक नया चर टी पेश करके, सिस्टम के पहले समीकरण को मानक द्विघात त्रिपद में कम करना संभव था। आप विभेदक ज्ञात करके बहुपद को हल कर सकते हैं।

के संबंध में विवेचक का मूल्य ज्ञात करना आवश्यक हैज्ञात सूत्र: D = b2 - 4 * a * c, जहाँ D आवश्यक विवेचक है, b, a, c बहुपद के गुणनखंड हैं। दिए गए उदाहरण में, a = 1, b = 16, c = 39, इसलिए, D = 100। यदि विवेचक शून्य से बड़ा है, तो दो समाधान हैं: t = -b ± D / 2 * a, यदि विवेचक शून्य से कम है, तो एक समाधान है: x = -b / 2 * a।

परिणामी प्रणालियों का समाधान अतिरिक्त विधि द्वारा पाया जाता है।

सिस्टम को हल करने के लिए दृश्य विधि

3 समीकरणों वाले सिस्टम के लिए उपयुक्त।इस पद्धति में समन्वय अक्ष पर प्रणाली में शामिल प्रत्येक समीकरण के आलेखों को आलेखित करना शामिल है। वक्रों के प्रतिच्छेदन बिंदुओं के निर्देशांक निकाय का सामान्य समाधान होंगे।

चित्रमय विधि में कई बारीकियाँ हैं। आइए एक दृश्य तरीके से रैखिक समीकरणों की प्रणालियों को हल करने के कई उदाहरणों पर विचार करें।

जैसा कि आप उदाहरण से देख सकते हैं, प्रत्येक सीधी रेखा के लिए थादो बिंदु बनाए गए थे, चर x के मान मनमाने ढंग से चुने गए थे: 0 और 3. x के मानों के आधार पर, y के मान पाए गए: 3 और 0. निर्देशांक वाले अंक (0, 3 ) और (3, 0) को ग्राफ पर चिह्नित किया गया और एक रेखा से जोड़ा गया ...

दूसरे समीकरण के लिए चरणों को दोहराया जाना चाहिए। लाइनों का प्रतिच्छेदन बिंदु प्रणाली का समाधान है।

निम्नलिखित उदाहरण में, आपको रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली के लिए एक ग्राफिकल समाधान खोजने की आवश्यकता है: 0.5x-y + 2 = 0 और 0.5x-y-1 = 0।

जैसा कि आप उदाहरण से देख सकते हैं, सिस्टम का कोई हल नहीं है, क्योंकि ग्राफ़ समानांतर हैं और उनकी पूरी लंबाई के साथ प्रतिच्छेद नहीं करते हैं।

उदाहरण 2 और 3 के सिस्टम समान हैं, लेकिन के लिएनिर्माण, यह स्पष्ट हो जाता है कि उनके समाधान अलग हैं। यह याद रखना चाहिए कि यह बताना हमेशा संभव नहीं होता है कि किसी सिस्टम के पास कोई समाधान है या नहीं, एक ग्राफ बनाना हमेशा आवश्यक होता है।

मैट्रिक्स और इसकी किस्में

रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली को संक्षिप्त रूप से लिखने के लिए मैट्रिक्स का उपयोग किया जाता है। एक मैट्रिक्स संख्याओं से भरी एक विशेष प्रकार की तालिका है। एक n * m मैट्रिक्स में n - पंक्तियाँ और m - कॉलम होते हैं।

मात्रा होने पर मैट्रिक्स वर्गाकार होता हैस्तंभ और पंक्तियाँ एक दूसरे के बराबर हैं। एक वेक्टर मैट्रिक्स एक-स्तंभ मैट्रिक्स है जिसमें अनंत संख्या में पंक्तियाँ होती हैं। एक विकर्ण और अन्य शून्य तत्वों के साथ एक मैट्रिक्स को पहचान मैट्रिक्स कहा जाता है।

व्युत्क्रम मैट्रिक्स एक ऐसा मैट्रिक्स होता है, जिसे गुणा करने पर मूल एक पहचान मैट्रिक्स में बदल जाता है, ऐसा मैट्रिक्स केवल मूल वर्ग एक के लिए मौजूद होता है।

समीकरणों की प्रणाली को मैट्रिक्स में बदलने के नियम

जैसा कि समीकरणों की प्रणालियों पर लागू होता है, समीकरणों के गुणांक और मुक्त पदों को मैट्रिक्स की संख्या के रूप में लिखा जाता है, एक समीकरण मैट्रिक्स की एक पंक्ति होती है।

एक मैट्रिक्स पंक्ति को गैर-शून्य कहा जाता है यदि कम से कमस्ट्रिंग का एक तत्व गैर-शून्य है। इसलिए, यदि किसी भी समीकरण में चर की संख्या भिन्न होती है, तो लापता अज्ञात के बजाय शून्य लिखना आवश्यक है।

मैट्रिक्स कॉलम सख्ती से मेल खाना चाहिएचर। इसका मतलब है कि चर x के गुणांक केवल एक कॉलम में लिखे जा सकते हैं, उदाहरण के लिए, पहला, अज्ञात y का गुणांक - केवल दूसरे में।

मैट्रिक्स को गुणा करते समय, मैट्रिक्स के सभी तत्वों को क्रमिक रूप से एक संख्या से गुणा किया जाता है।

व्युत्क्रम मैट्रिक्स को खोजने के प्रकार

उलटा मैट्रिक्स खोजने का सूत्र काफी सरल है: K^-1= 1 / | के |, जहां के^-1 व्युत्क्रम मैट्रिक्स है, और | K | मैट्रिक्स का निर्धारक है। | के | शून्य नहीं होना चाहिए, तो सिस्टम के पास समाधान है।

निर्धारक की गणना दो-दो-दो मैट्रिक्स के लिए आसानी से की जाती है, आपको केवल विकर्ण पर तत्वों को एक दूसरे से गुणा करने की आवश्यकता होती है। "तीन बटा तीन" विकल्प के लिए, एक सूत्र है | K | = a₁ख₂से₃ + ए₁ख₃से₂ + ए₃ख₁से_{2 +} और₂ख₃से₁ + ए₂ख₁से₃ + ए₃ख₂से₁... आप सूत्र का उपयोग कर सकते हैं, या आप कर सकते हैंयाद रखें कि आपको प्रत्येक पंक्ति और प्रत्येक स्तंभ से एक तत्व लेने की आवश्यकता है ताकि स्तंभों की संख्या और तत्वों की पंक्तियाँ कार्य में न दोहराएँ।

मैट्रिक्स विधि द्वारा रैखिक समीकरणों के सिस्टम के उदाहरणों का समाधान

समाधान खोजने की मैट्रिक्स विधि बड़ी संख्या में चर और समीकरणों के साथ सिस्टम को हल करते समय बोझिल रिकॉर्ड को कम करने की अनुमति देती है।

उदाहरण में a_एनएम समीकरणों के गुणांक हैं, मैट्रिक्स वेक्टर है x_n - चर, और बी_n - मुक्त सदस्य।

इसके बाद, आपको व्युत्क्रम मैट्रिक्स को खोजने और इसके द्वारा मूल को गुणा करने की आवश्यकता है। परिणामी इकाई मैट्रिक्स में चर के मूल्यों को खोजना एक आसान काम है।

सिस्टम का गाऊसी समाधान

उच्च गणित में गॉस विधि का अध्ययन किया जाता हैक्रैमर की विधि के साथ, और सिस्टम का समाधान खोजने की प्रक्रिया को गॉस - क्रैमर समाधान विधि कहा जाता है। इन विधियों का उपयोग बड़ी संख्या में रैखिक समीकरणों के साथ चर प्रणालियों को खोजने के लिए किया जाता है।

गाऊसी विधि समाधान के समान हैप्रतिस्थापन और बीजीय जोड़, लेकिन अधिक व्यवस्थित। स्कूल के पाठ्यक्रम में, गाऊसी समाधान का उपयोग 3 और 4 समीकरणों के सिस्टम के लिए किया जाता है। विधि का लक्ष्य सिस्टम को एक उल्टे ट्रेपोजॉइड की तरह दिखाना है। सिस्टम के समीकरणों में से एक में एक चर का मान बीजीय परिवर्तनों और प्रतिस्थापनों द्वारा पाया जाता है। दूसरा समीकरण 2 अज्ञात के साथ एक अभिव्यक्ति है, लेकिन 3 और 4 - क्रमशः 3 और 4 चर के साथ।

सिस्टम को वर्णित रूप में लाने के बाद, सिस्टम के समीकरणों में ज्ञात चर के अनुक्रमिक प्रतिस्थापन के लिए और समाधान कम हो जाता है।

कक्षा 7 की स्कूली पाठ्यपुस्तकों में गॉस विधि द्वारा समाधान का एक उदाहरण निम्नानुसार वर्णित है:

जैसा कि उदाहरण से देखा जा सकता है, चरण (3) में दो समीकरण प्राप्त हुए थे 3x₃-2x₄= 11 और 3x₃+ 2x₄= 7. किसी भी समीकरण का हल आपको x . में से किसी एक चर का पता लगाने की अनुमति देगा_n.

पाठ में उल्लिखित प्रमेय 5 में कहा गया है कि यदि सिस्टम के समीकरणों में से एक को समकक्ष से बदल दिया जाता है, तो परिणामी प्रणाली भी मूल के बराबर होगी।

छात्रों के लिए गॉस की विधि को समझना कठिन हैहाई स्कूल, लेकिन उन्नत गणित और भौतिकी कक्षाओं में बच्चों की बुद्धि विकसित करने के अधिक मजेदार तरीकों में से एक है।

गणनाओं को रिकॉर्ड करने में आसानी के लिए, यह निम्नलिखित करने के लिए प्रथागत है:

समीकरणों के गुणांक और मुफ़्त शर्तेंमैट्रिक्स के रूप में लिखा जाता है, जहां मैट्रिक्स की प्रत्येक पंक्ति सिस्टम के समीकरणों में से एक से संबंधित होती है। ऊर्ध्वाधर बार समीकरण के बाईं ओर को दाईं ओर से अलग करता है। रोमन अंक प्रणाली में समीकरणों की संख्या दर्शाते हैं।

सबसे पहले, उस मैट्रिक्स को लिखें जिसके साथ toकार्य, फिर सभी क्रियाओं को एक पंक्ति के साथ किया जाता है। परिणामी मैट्रिक्स को तीर चिह्न के बाद लिखा जाता है और परिणाम प्राप्त होने तक आवश्यक बीजगणितीय क्रियाएं जारी रहती हैं।

नतीजतन, एक मैट्रिक्स प्राप्त किया जाना चाहिए जिसमेंविकर्णों में से एक 1 है, और अन्य सभी गुणांक शून्य के बराबर हैं, अर्थात मैट्रिक्स को एक ही रूप में लाया जाता है। समीकरण के दोनों पक्षों की संख्याओं के साथ गणना करना न भूलें।

रिकॉर्डिंग की यह विधि कम बोझिल है और आपको कई अज्ञात की गणना से विचलित नहीं होने देती है।

किसी भी समाधान विधि का निःशुल्क अनुप्रयोगदेखभाल और कुछ अनुभव की आवश्यकता होगी। सभी विधियाँ अनुप्रयुक्त प्रकृति की नहीं होती हैं। मानव गतिविधि के इस अन्य क्षेत्र में समाधान खोजने के कुछ तरीके अधिक बेहतर हैं, जबकि अन्य प्रशिक्षण उद्देश्यों के लिए मौजूद हैं।