Κατά τη μελέτη των τριγώνων, το ερώτημα προκύπτει ακούσιαγια τον υπολογισμό της σχέσης μεταξύ των πλευρών και των γωνιών τους. Στη γεωμετρία, το θεώρημα συνημίτονο και ημιτονοειδούς δίνει την πληρέστερη απάντηση για την επίλυση αυτού του προβλήματος. Σε αφθονία διαφόρων μαθηματικών εκφράσεων και τύπων, νόμων, θεωρημάτων και κανόνων, υπάρχουν εκείνοι που διακρίνονται από την εξαιρετική αρμονία, συνοπτικότητα και ευκολία παρουσίασης του νοήματος που περιέχεται σε αυτές. Το θεώρημα ημιτονοειδούς είναι ένα πρωταρχικό παράδειγμα μιας τέτοιας μαθηματικής διατύπωσης. Εάν στην προφορική ερμηνεία ένα συγκεκριμένο εμπόδιο προκύπτει επίσης στην κατανόηση αυτού του μαθηματικού κανόνα, τότε όταν κοιτάζετε τον μαθηματικό τύπο όλα αμέσως μπαίνουν στη θέση τους.
Οι πρώτες πληροφορίες σχετικά με αυτό το θεώρημα ανακαλύφθηκαν με τη μορφή απόδειξης του στο πλαίσιο του μαθηματικού έργου του Nasir ad-Din At-Tusi, με ημερομηνία 13ου αιώνα.
Πιο κοντά στη σχέσηπλευρές και γωνίες σε οποιοδήποτε τρίγωνο, αξίζει να σημειωθεί ότι το θεώρημα ημιτονοειδούς σάς επιτρέπει να λύσετε πολλά μαθηματικά προβλήματα, ενώ αυτός ο νόμος της γεωμετρίας βρίσκει εφαρμογή σε διάφορους τύπους πρακτικής ανθρώπινης δραστηριότητας.
Το ίδιο το θεώρημα ημιτονοειδούς δηλώνει ότι για οποιοδήποτεΤο τρίγωνο χαρακτηρίζεται από την αναλογικότητα των πλευρών προς τα ημίτονα αντίθετων γωνιών. Υπάρχει επίσης το δεύτερο μέρος αυτού του θεωρήματος, σύμφωνα με το οποίο η αναλογία εκατέρωθεν του τριγώνου προς το ημίτονο της αντίθετης γωνίας είναι ίση με τη διάμετρο του κύκλου που περιγράφεται γύρω από το εν λόγω τρίγωνο.
Με τη μορφή ενός τύπου, αυτή η έκφραση μοιάζει
a / sinA = b / sinB = c / sinC = 2R
Έχει μια ημιτονοειδής απόδειξη, η οποία προσφέρεται σε μια μεγάλη ποικιλία εκδόσεων σε διάφορες εκδόσεις βιβλίων.
Για παράδειγμα, θεωρούμε μία από τις αποδείξεις που παρέχουν μια εξήγηση του πρώτου μέρους του θεωρήματος. Για αυτό, θέτουμε τον εαυτό μας ως στόχο να αποδείξουμε την ορθότητα της έκφρασης α sinC = με sinA.
Σε ένα αυθαίρετο τρίγωνο ABC, κατασκευάζουμε το ύψοςΜπαχ. Σε μια παραλλαγή κατασκευής, το H θα βρίσκεται στο τμήμα AC, και στο άλλο, έξω από αυτό, ανάλογα με το μέγεθος των γωνιών στις κορυφές των τριγώνων. Στην πρώτη περίπτωση, το ύψος μπορεί να εκφραστεί σε όρους γωνιών και πλευρών του τριγώνου ως BH = a sinC και BH = c sinA, που είναι η απαιτούμενη απόδειξη.
Στην περίπτωση που το σημείο H είναι έξω από το τμήμα AC, μπορούμε να λάβουμε τις ακόλουθες λύσεις:
BH = a sinC και BH = c sin (180-A) = c sinA;
ή BH = a sin (180-C) = a sinC και BH = c sinA.
Όπως μπορείτε να δείτε, ανεξάρτητα από τις επιλογές κατασκευής, φτάνουμε στο επιθυμητό αποτέλεσμα.
Θα απαιτηθεί η απόδειξη του δεύτερου μέρους του θεωρήματοςνα περιγράψουμε έναν κύκλο γύρω από ένα τρίγωνο. Μέσω ενός από τα ύψη του τριγώνου, για παράδειγμα Β, κατασκευάζουμε τη διάμετρο του κύκλου. Συνδέστε το προκύπτον σημείο στον κύκλο D με ένα από το ύψος του τριγώνου, ας είναι το σημείο Α του τριγώνου.
Αν λάβουμε υπόψη τα προκύπτοντα τρίγωνα ABD καιABC, τότε μπορείτε να παρατηρήσετε την ισότητα των γωνιών C και D (βασίζονται στο ίδιο τόξο). Και δεδομένου ότι η γωνία Α είναι ενενήντα μοίρες, τότε sin D = c / 2R, ή sin C = c / 2R, όπως απαιτείται.
Το θεώρημα ημιτονοειδούς είναι το σημείο εκκίνησης γιαλύσεις σε ένα ευρύ φάσμα διαφορετικών εργασιών. Ιδιαίτερη ελκυστικότητα είναι η πρακτική εφαρμογή του, ως συνέπεια του θεωρήματος, έχουμε την ευκαιρία να συσχετίσουμε μεταξύ τους τις τιμές των πλευρών του τριγώνου, αντίθετων γωνιών και ακτίνας (διάμετρος) του κύκλου που περιβάλλεται γύρω από το τρίγωνο. Η απλότητα και η προσβασιμότητα του τύπου που περιγράφει αυτήν τη μαθηματική έκφραση κατέστησε δυνατή την ευρεία χρήση αυτού του θεωρήματος για την επίλυση προβλημάτων χρησιμοποιώντας διάφορες μηχανικές συσκευές μέτρησης (κανόνες διαφάνειας, πίνακες κ.λπ.), αλλά ακόμη και η άφιξη ισχυρών υπολογιστικών συσκευών στην ανθρώπινη υπηρεσία δεν μείωσε τη σημασία αυτού του θεωρήματος.
Αυτό το θεώρημα δεν περιλαμβάνεται μόνο στην υποχρεωτική πορεία της γεωμετρίας της δευτεροβάθμιας εκπαίδευσης, αλλά στη συνέχεια εφαρμόζεται επίσης σε ορισμένους κλάδους πρακτικής δραστηριότητας.
