Μαθηματική προσδοκία και διακύμανση μιας τυχαίας μεταβλητής

Η Θεωρία Πιθανοτήτων είναι ένας ειδικός κλάδος των μαθηματικών,η οποία μελετάται μόνο από φοιτητές ανώτερων εκπαιδευτικών ιδρυμάτων. Σας αρέσουν οι υπολογισμοί και οι τύποι; Δεν φοβάσαι την προοπτική να γνωρίσεις την κανονική κατανομή, την εντροπία του συνόλου, τις μαθηματικές προσδοκίες και τη διακύμανση μιας διακριτής τυχαίας μεταβλητής; Τότε αυτό το θέμα θα είναι πολύ ενδιαφέρον για εσάς. Ας γνωρίσουμε μερικές σημαντικές βασικές έννοιες αυτού του τμήματος της επιστήμης.

Ανακαλέστε τα βασικά

Ακόμα κι αν θυμάστε τις απλούστερες έννοιες μιας θεωρίαςπιθανότητες, μην παραλείψετε τις πρώτες παραγράφους του άρθρου. Το γεγονός είναι ότι χωρίς μια σαφή κατανόηση των βασικών, δεν μπορείτε να εργαστείτε με τους τύπους που συζητούνται παρακάτω.

Έτσι, συμβαίνει τυχαίο γεγονός,ένα είδος πειράματος. Ως αποτέλεσμα των δράσεων που έχουν αναληφθεί, μπορούμε να λάβουμε αρκετά αποτελέσματα - μερικά από αυτά είναι πιο κοινά, άλλα είναι λιγότερο κοινά. Η πιθανότητα ενός συμβάντος είναι ο λόγος του αριθμού των πραγματικών ληφθέντων αποτελεσμάτων ενός τύπου με τον συνολικό αριθμό πιθανών. Μόνο γνωρίζοντας τον κλασικό ορισμό αυτής της έννοιας, μπορείτε να αρχίσετε να μελετάτε τα μαθηματικά προσδοκία και τη διακύμανση των συνεχών τυχαίων μεταβλητών.

Αριθμητικός μέσος όρος

Πίσω στο σχολείο, ξεκινήσατε μαθήματα μαθηματικώνεργασία με τον αριθμητικό μέσο. Αυτή η έννοια χρησιμοποιείται ευρέως στη θεωρία των πιθανοτήτων και επομένως δεν μπορεί να αγνοηθεί. Το κύριο πράγμα για μας αυτή τη στιγμή είναι ότι θα το συναντήσουμε στους τύπους της μαθηματικής προσδοκίας και της διακύμανσης μιας τυχαίας μεταβλητής.

Мы имеем последовательность чисел и хотим найти αριθμητική μέση τιμή. Το μόνο που απαιτείται από εμάς είναι να συνοψίσουμε όλα τα διαθέσιμα και να χωρίσουμε από τον αριθμό των στοιχείων στην ακολουθία. Ας υποθέσουμε ότι έχουμε αριθμούς από το 1 έως το 9. Το άθροισμα των στοιχείων θα είναι 45 και θα διαιρούμε την τιμή αυτή με 9. Απάντηση: - 5.

Διασπορά

Από επιστημονική άποψη, η διακύμανση είναι μέσητο τετράγωνο των αποκλίσεων των ληφθέντων τιμών χαρακτηριστικών από τον αριθμητικό μέσο. Το ένα υποδηλώνεται από το γράμμα D της πρωτεύουσας της Λατινικής Αμερικής. Τι χρειάζεστε για να το υπολογίσετε; Για κάθε στοιχείο της ακολουθίας, υπολογίζουμε τη διαφορά μεταξύ του διαθέσιμου αριθμού και του αριθμητικού μέσου και τετράγωνου. Θα υπάρξουν ακριβώς όσες αξίες μπορούν να υπάρξουν για το γεγονός που εξετάζουμε. Στη συνέχεια, συνοψίζουμε τα πάντα που λαμβάνονται και διαιρούμε με τον αριθμό των στοιχείων στην ακολουθία. Εάν έχουμε πέντε πιθανά αποτελέσματα, τότε διαιρέστε με πέντε.

Η απόκλιση έχει επίσης ιδιότητες που χρειάζεστε.θυμηθείτε να εφαρμόζετε όταν επιλύετε προβλήματα. Για παράδειγμα, εάν η τυχαία μεταβλητή αυξάνεται κατά Χ φορές, η διακύμανση αυξάνεται κατά Χ τετραγωνικούς χρόνους (δηλ. Χ * Χ). Ποτέ δεν είναι μικρότερο από το μηδέν και δεν εξαρτάται από τη μετατόπιση των τιμών με ίση τιμή προς τα πάνω ή προς τα κάτω. Επιπλέον, για ανεξάρτητες δοκιμές, η διακύμανση του αθροίσματος είναι ίση με το άθροισμα των διακυμάνσεων.

Τώρα πρέπει σίγουρα να εξετάσουμε παραδείγματα της διακύμανσης μιας διακριτής τυχαίας μεταβλητής και μαθηματικής προσδοκίας.

Ας υποθέσουμε ότι διεξήγαμε 21 πειράματα και λάβαμε 7 διαφορετικά αποτελέσματα. Παρατηρήσαμε καθένα από αυτά, αντίστοιχα, 1,2,2,3,4,4 και 5 φορές. Ποια θα είναι η διακύμανση;

Κατ 'αρχάς, υπολογίστε τον αριθμητικό μέσο όρο:το άθροισμα των στοιχείων, φυσικά, είναι 21. Χωρίστε το με 7, παίρνοντας 3. Τώρα αφαιρούμε 3 από κάθε αριθμό της αρχικής ακολουθίας, τετράγωνο κάθε τιμή, και προσθέτουμε τα αποτελέσματα μαζί. Θα φανεί 12. Τώρα μένει να διαιρέσουμε τον αριθμό με τον αριθμό των στοιχείων και, φαίνεται, αυτό είναι όλο. Αλλά υπάρχει μια παγίδα! Ας το συζητήσουμε.

Εξάρτηση από πειράματα

Αποδεικνύεται ότι κατά τον υπολογισμό της διακύμανσης στον παρονομαστήένας από τους δύο αριθμούς μπορεί να σταθεί: είτε N είτε N-1. Εδώ N είναι ο αριθμός των πειραμάτων που πραγματοποιήθηκαν ή ο αριθμός των στοιχείων της ακολουθίας (πράγμα που στην πραγματικότητα είναι το ίδιο). Από τι εξαρτάται;

Αν ο αριθμός των δοκιμών μετρηθεί σε εκατοντάδες, τότεπρέπει να βάλουμε τον παρονομαστή Ν. Αν μονάδες, τότε Ν-1. Οι επιστήμονες αποφάσισαν να σχεδιάσουν τα σύνορα αρκετά συμβολικά: σήμερα πηγαίνουν από τον αριθμό 30. Εάν διεξήγαμε λιγότερα από 30 πειράματα, τότε θα διαιρέσουμε το άθροισμα με το Ν-1 και, αν είναι μεγαλύτερο, με τον Ν.

Στόχος

Ας επιστρέψουμε στο παράδειγμα μας για την επίλυση ενός προβλήματος.σχετικά με τη διακύμανση και την προσδοκία. Έχουμε έναν ενδιάμεσο αριθμό 12, ο οποίος έπρεπε να χωριστεί με Ν ή Ν-1. Εφόσον πραγματοποιήσαμε 21 πειράματα, τα οποία είναι λιγότερα από 30, θα επιλέξουμε τη δεύτερη επιλογή. Έτσι η απάντηση είναι: η διαφορά είναι 12/2 = 2.

Μαθηματική προσδοκία

Ας προχωρήσουμε στη δεύτερη έννοια, την οποία εμείςΝα είστε βέβαιος να εξετάσει αυτό το άρθρο. Η μαθηματική προσδοκία είναι το αποτέλεσμα της συγκέντρωσης όλων των πιθανών αποτελεσμάτων πολλαπλασιασμένων με τις αντίστοιχες πιθανότητες. Είναι σημαντικό να καταλάβουμε ότι η ληφθείσα τιμή, καθώς και το αποτέλεσμα του υπολογισμού της διακύμανσης, λαμβάνονται μόνο μία φορά για όλο το πρόβλημα, ανεξάρτητα από το πόσα αποτελέσματα θεωρεί.

Ο μαθηματικός τύπος προσδοκίας είναι αρκετόςαπλό: παίρνουμε το αποτέλεσμα, πολλαπλασιάζουμε με την πιθανότητά του, προσθέτουμε το ίδιο για το δεύτερο, το τρίτο αποτέλεσμα κλπ. Όλα τα σχετικά με αυτή την έννοια είναι εύκολο να υπολογιστούν. Για παράδειγμα, το ποσό προσδοκίας είναι ίσο με την προσδοκία του ποσού. Το ίδιο ισχύει για την εργασία. Όχι κάθε ποσότητα στην θεωρία της πιθανότητας επιτρέπει την εκτέλεση τέτοιων απλών λειτουργιών με τον εαυτό της. Ας πάρουμε το καθήκον και να υπολογίσουμε την αξία δύο έννοιων που μελετήσαμε ταυτόχρονα. Επιπλέον, αποστασιοποιήθηκε από τη θεωρία - είναι καιρός να εξασκηθούμε.

Ένα άλλο παράδειγμα

Πραγματοποιήσαμε 50 δοκιμές και πήραμε 10 τύπουςαποτελέσματα - αριθμοί από 0 έως 9 - που εμφανίζονται σε διαφορετικά ποσοστά. Αυτό, αντίστοιχα: 2%, 10%, 4%, 14%, 2%, 18%, 6%, 16%, 10%, 18%. Θυμηθείτε ότι για να λάβετε τις πιθανότητες, είναι απαραίτητο να διαιρέσετε τις τιμές σε εκατοστιαία αναλογία κατά 100. Έτσι, έχουμε 0.02. 0,1 κ.λπ. Ας παρουσιάσουμε ένα παράδειγμα λύσης στη διακύμανση μιας τυχαίας μεταβλητής και της μαθηματικής προσδοκίας.

Υπολογίζουμε τον αριθμητικό μέσο με τον τύπο που θυμόμαστε από το δημοτικό σχολείο: 50/10 = 5.

Τώρα μεταφράστε τις πιθανότητες στον αριθμό των αποτελεσμάτων"Σε κομμάτια" για να καταστεί πιο βολικό να μετράνε. Παίρνουμε 1, 5, 2, 7, 1, 9, 3, 8, 5 και 9. Αφαιρούμε τον αριθμητικό μέσο όρο από κάθε ληφθείσα τιμή, μετά την οποία θα τετραγωνίσουμε τα αποτελέσματα. Δείτε πώς να το κάνετε αυτό, χρησιμοποιώντας το πρώτο στοιχείο ως παράδειγμα: 1 - 5 = (-4). Περαιτέρω: (-4) * (-4) = 16. Για τις υπόλοιπες τιμές, κάνετε αυτές τις πράξεις μόνοι σας. Εάν κάνατε τα πάντα σωστά, τότε μετά την προσθήκη όλων των ενδιάμεσων αποτελεσμάτων, θα πάρετε 90.

Продолжим расчёт дисперсии и математического , διαιρώντας το 90 με Ν. Γιατί επιλέγουμε το N, όχι το N-1; Αυτό είναι σωστό, επειδή ο αριθμός των πειραμάτων που εκτελέστηκαν υπερβαίνει τα 30. Έτσι: 90/9 = 10. Η διασπορά που έχουμε. Αν έχετε διαφορετικό αριθμό, μην απελπίζεστε. Πιθανότατα, κάνατε ένα τυχαίο λάθος στους υπολογισμούς. Ελέγξτε με δυο λόγια τι είναι γραμμένο και βεβαιωθείτε ότι όλα θα πέσουν στη θέση του.

Τέλος, υπενθυμίστε τον μαθηματικό τύποπροσδοκίες. Δεν θα δώσουμε όλους τους υπολογισμούς, θα γράψουμε μόνο την απάντηση με την οποία μπορείτε να ελέγξετε αφού ολοκληρώσετε όλες τις απαιτούμενες διαδικασίες. Η προσδοκία θα είναι ίση με 5,48. Υπενθυμίζουμε μόνο πώς να πραγματοποιούμε πράξεις, χρησιμοποιώντας το παράδειγμα των πρώτων στοιχείων: 0 * 0.02 + 1 * 0.1 ... και ούτω καθεξής. Όπως μπορείτε να δείτε, απλά πολλαπλασιάζουμε την αξία του αποτελέσματος με την πιθανότητα του.

Απόκλιση

Ещё одно понятие, тесно связанное с дисперсией и η μαθηματική προσδοκία είναι η τυπική απόκλιση. Σηματοδοτείται είτε από τα λατινικά γράμματα sd, είτε από το ελληνικό πεζά "sigma". Αυτή η έννοια δείχνει πώς, κατά μέσον όρο, οι τιμές αποκλίνουν από το κεντρικό χαρακτηριστικό. Για να βρείτε την τιμή του, πρέπει να υπολογίσετε την τετραγωνική ρίζα της διακύμανσης.

Εάν σχεδιάζετε ένα κανονικόδιανομή και θέλετε να δείτε απευθείας την αξία της τυπικής απόκλισης, αυτό μπορεί να γίνει σε διάφορα στάδια. Πάρτε τη μισή εικόνα προς τα αριστερά ή δεξιά της λειτουργίας (κεντρική τιμή), σχεδιάστε κάθετα προς τον οριζόντιο άξονα έτσι ώστε οι περιοχές των σχημάτων που προκύπτουν να είναι ίσες. Το μέγεθος του τμήματος μεταξύ του μέσου της κατανομής και της προκύπτουσας προβολής στον οριζόντιο άξονα θα είναι η τυπική απόκλιση.

Λογισμικό

Όπως φαίνεται από τις περιγραφές των τύπων και παρουσιάζονταιπαραδείγματα, ο υπολογισμός της διακύμανσης και η μαθηματική προσδοκία δεν είναι η ευκολότερη διαδικασία από αριθμητική άποψη. Για να μην χάσουμε χρόνο, είναι λογικό να χρησιμοποιήσουμε το πρόγραμμα που χρησιμοποιείται στα ιδρύματα τριτοβάθμιας εκπαίδευσης - ονομάζεται "R". Έχει λειτουργίες που σας επιτρέπουν να υπολογίσετε τις τιμές για πολλές έννοιες από τις στατιστικές και τη θεωρία πιθανοτήτων.

Για παράδειγμα, καθορίζετε ένα διάνυσμα τιμών.Αυτό γίνεται ως εξής: διάνυσμα <-c (1,5,2 ...). Τώρα, όταν πρέπει να υπολογίσετε τυχόν τιμές για αυτό το διάνυσμα, γράφετε μια συνάρτηση και την ορίζετε ως όρισμα. Για να βρείτε τη διακύμανση, θα χρειαστεί να χρησιμοποιήσετε τη λειτουργία var. Παράδειγμα χρήσης: var (φορέας). Στη συνέχεια, πατήστε απλώς το πλήκτρο enter και λάβετε το αποτέλεσμα.

Συμπερασματικά

Η διασπορά και οι μαθηματικές προσδοκίες είναι βασικέςοι έννοιες της θεωρίας πιθανοτήτων, χωρίς τις οποίες είναι δύσκολο να υπολογίσουμε οτιδήποτε στο μέλλον. Στην κύρια πορεία των διαλέξεων στα πανεπιστήμια, εξετάζονται κατά τους πρώτους μήνες μελέτης του θέματος. Λόγω της έλλειψης κατανόησης αυτών των απλούστερων εννοιών και της αδυναμίας τους να υπολογίσουν ότι πολλοί μαθητές αρχίζουν αμέσως να υστερούν από το πρόγραμμα και αργότερα να λαμβάνουν κακή βαθμολογία σύμφωνα με τα αποτελέσματα της συνόδου, γεγονός που τους στερεί τις υποτροφίες.

Πρακτική τουλάχιστον μια εβδομάδα για μισή ώρα μέσαημέρα, επιλύοντας εργασίες παρόμοιες με εκείνες που παρουσιάζονται σε αυτό το άρθρο. Στη συνέχεια, σε οποιαδήποτε δοκιμασία στην θεωρία πιθανοτήτων μπορείτε να αντιμετωπίσετε τα παραδείγματα χωρίς εξωγενείς υποδείξεις και να εξαπατήσετε τα φύλλα.