Okul matematiği boyunca, çocuk ilk kez "denklem" terimini duyar. Bu nedir, birlikte çözmeye çalışalım. Bu yazıda çözüm türlerini ve yöntemlerini ele alıyoruz.
Matematik. denklem
Для начала предлагаем разобраться с самим ne olduğu kavramı? Birçok matematik ders kitabında söylediği gibi, bir denklem, her zaman arasında eşit bir işareti olan bir ifadedir. Bu ifadelerde, değişkenleri olan, anlamları bulunmayan harfleri vardır.
Değişken nedir? Bu, anlamını değiştiren sistemin bir özelliğidir. Değişkenlere iyi bir örnek:
- hava sıcaklığı;
- çocuğun boyu;
- ağırlık vb.
Matematikte harflerle gösterilirler, örneğin,x, a, b, c ... Genellikle bir matematik ödevi şu şekildedir: denklemin değerini bulun. Bu, bu değişkenlerin değerini bulmanız gerektiği anlamına gelir.
tür
Denklem (nedir, önceki paragrafta tartıştık) aşağıdaki biçimde olabilir:
- doğrusal;
- kare;
- kübik;
- cebirsel;
- transandantal.
Tüm türlerle daha ayrıntılı bir tanıma için, her birini ayrı ayrı ele alacağız.
Doğrusal denklem
Bu, okul çocuklarının tanıdığı ilk türdür.Oldukça hızlı ve kolay bir şekilde çözülürler. Öyleyse, doğrusal denklem nedir? Bu şu formun bir ifadesidir: ah = c. Bu çok açık değil, bu yüzden birkaç örnek vereceğiz: 2x = 26; 5x = 40; 1,2x = 6.
Denklem örneklerine bakalım.Bunun için bir yandan bilinen tüm verileri diğer yandan bilinmeyenleri toplamamız gerekir: x = 26/2; x = 40/5; x = 6 / 1.2. Burada matematiğin temel kuralları kullanılmıştır: a * c = e, bundan c = e / a; a = e / c. Denklemin çözümünü tamamlamak için, bir eylem gerçekleştiriyoruz (bizim durumumuzda, bölme) x = 13; x = 8; x = 5. Bunlar çarpma örnekleriydi, şimdi çıkarma ve toplamaya bakalım: x + 3 = 9; 10x-5 = 15. Bilinen verileri tek yönde aktarıyoruz: x = 9-3; x = 20/10. Son eylemi gerçekleştiriyoruz: x = 6; x = 2.
Doğrusal denklemlerin çeşitleri de mümkündür, buradabirden fazla değişken kullanılır: 2x-2y = 4. Çözmek için her parçaya 2y eklemek gerekir, fark ettiğimiz gibi 2x-2y + 2y = 4-2y alırız, eşittir işaretinin sol tarafında -2y ve + 2y iptal edilirken hala sahip: 2x = 4 -2y. Son adım, her parçayı ikiye bölmek, cevabı alıyoruz: x eşittir iki eksi oyun.
Denklem problemleriyle bile karşılaşılıyorpapirüs Ahmes. İşte problemlerden biri: sayı ve dördüncü bölümün toplamı 15'e eşit. Bunu çözmek için aşağıdaki denklemi yazıyoruz: x artı dörtte bir x eşittir on beş. Doğrusal denklemin başka bir örneğini görüyoruz, çözümün bir sonucu olarak yanıtı alıyoruz: x = 12. Ancak bu sorun başka bir şekilde, yani Mısırlı veya başka bir şekilde adlandırıldığı gibi varsayım yöntemi ile çözülebilir. Papirüste aşağıdaki çözüm kullanılır: dört ve dördüncü kısmı, yani bir. Toplamda, beş verirler, şimdi on beş, toplama bölünmelidir, üç elde ederiz, son eylemde üçe dörde çarpıyoruz. Cevabı alıyoruz: 12. Çözümde neden on beşi beşe bölüyoruz? Yani on beşin kaç kere, yani elde etmemiz gereken sonucun beşten az olduğunu buluyoruz. Bu sayede Orta Çağ'da sorunlar çözülmüş, yanlış pozisyon yöntemi denilmeye başlanmıştır.
İkinci dereceden denklemler
Daha önce tartışılan örneklere ek olarak, başkaları da var. Hangileri? İkinci dereceden denklem nedir? Onlar formda balta2+ bx + c = 0. Bunları çözmek için, bazı kavramlara ve kurallara aşina olmanız gerekir.
İlk olarak, aşağıdaki formüle göre ayırıcı bulmanız gerekir: b2-4ac. Kararın sonucu için üç seçenek vardır:
- ayırıcı sıfırdan büyüktür;
- Sıfırdan daha az;
- sıfırdır.
İlk seçenekte, cevabı şu formülle bulunan iki kökten alabiliriz: -b + -kök, ikiye katlanmış birinci katsayıya, yani 2a'ya bölünür.
İkinci durumda, denklemin kökü yoktur. Üçüncü durumda, kök şu formülle bulunur: -b / 2a.
Daha fazlası için ikinci dereceden bir denklem örneğini düşününayrıntılı tanıdık: üç x kare eksi on dört x eksi beş eşittir sıfır. Öncelikle, daha önce yazıldığı gibi, ayırıcı arıyoruz, bizim durumumuzda 256'ya eşittir. Ortaya çıkan sayının sıfırdan büyük olduğuna dikkat edin, bu nedenle, iki kökten oluşan bir cevap almalıyız. Ortaya çıkan diskriminantı kökleri bulmak için formülle değiştirin. Sonuç olarak, elimizde: x eşittir beş ve eksi üçte biri.
İkinci dereceden denklemlerdeki özel durumlar
Bunlar, bazı değerlerin sıfır (a, b veya c) ve muhtemelen birkaç olduğu örneklerdir.
Örneğin, aşağıdaki denklemi alın:kare: iki x kare sıfır, burada b ve c'nin sıfır olduğunu görüyoruz. Bunu çözmeye çalışalım, bunun için denklemin her iki tarafını ikiye böleriz, elimizde: x2= 0. Sonuç olarak, x = 0 elde ederiz.
Başka bir durum 16x2-9 = 0. Burada sadece b = 0. Denklemi çözelim, serbest katsayıyı sağ tarafa aktaralım: 16x2= 9, şimdi her parçayı on altıya böleriz: x2= on altıda dokuz. X'in karesine sahip olduğumuz için, 9 / 16'nın kökü negatif veya pozitif olabilir. Cevabı şu şekilde yazıyoruz: x eşittir artı / eksi üçte üç.
Denklemin hiç kökü olmadığı için böyle bir cevabın olmaması da mümkündür. Şu örneğe bakalım: 5x2+ 80 = 0, burada b = 0. Serbest terimi çözmek için, aşağıdaki eylemlerden sonra onu sağ tarafa atın: 5x2= -80, şimdi her parçayı beşe böleriz: x2= eksi on altı. Herhangi bir sayının karesini alırsak, negatif bir değer elde edemeyiz. Bu nedenle cevabımız şu şekildedir: Denklemin kökü yoktur.
Trinomial ayrışma
İkinci dereceden görev başka bir şekilde gelebilir: ikinci dereceden bir üç terimliyi çarpanlarına ayırın. Bu, aşağıdaki formül kullanılarak yapılabilir: a (x-x1) (x-x2). Bunun için, görevin diğer varyantında olduğu gibi, ayrımcıyı bulmak gerekir.
Şu örneği düşünün: 3x2-14x-5, üç terimliyi çarpanlarına ayır.Önceden bildiğimiz formülü kullanarak ayırt ediciyi bulduk, 256'ya eşit olduğu ortaya çıkıyor. 256'nın sıfırdan büyük olduğunu, bu nedenle denklemin iki köke sahip olacağını hemen not ediyoruz. Onları önceki paragrafta olduğu gibi buluyoruz, elimizde: x = beş ve eksi üçte biri. Üç terimliyi çarpanlara ayırmak için formülü kullanalım: 3 (x-5) (x + 1/3). İkinci parantezde, eşittir işaretimiz var, çünkü formül bir eksi işareti içeriyor ve kök de negatif, temel matematik bilgisini kullanarak, toplamda bir artı işaretimiz var. Basit olması için, kesirden kurtulmak için denklemin birinci ve üçüncü terimlerini çarpıyoruz: (x-5) (x + 1).
Kareye Küçültülen Denklemler
Bu noktada daha karmaşık denklemlerin nasıl çözüleceğini öğreneceğiz. Hemen bir örnekle başlayalım:
(x2 - 2 kere)2 - 2 kere2 - 2x) - 3 = 0. Yinelenen elemanları görebiliriz: (x2 - 2x), çözüm için onu değiştirmemiz uygundur.başka bir değişken ve sonra olağan ikinci dereceden denklemi çözün, hemen böyle bir görevde dört kök alacağımızı, bunun sizi korkutmaması gerektiğini hemen not ediyoruz. A değişkeninin tekrarını gösteriyoruz. Biz alırız: a2-2a-3 = 0.Bir sonraki adımımız, yeni denklemin ayırt edicisini bulmaktır. 16 alıyoruz, iki kök buluyoruz: eksi bir ve üç. İkame yaptığımızı, bu değerleri ikame ettiğimizi hatırlıyoruz, sonuç olarak şu denklemlere sahibiz: x2 - 2x = -1; x2 - 2x = 3.Bunları ilk cevapta çözüyoruz: x eşittir bir, ikincide: x eşittir eksi bir ve üç. Cevabı şu şekilde yazıyoruz: artı / eksi bir ve üç. Kural olarak, cevap artan sırada yazılır.
Kübik Denklemler
Başka bir olası seçeneği ele alalım. Kübik denklemlerle ilgili. Şuna benziyorlar: balta 3 + b x 2 + cx + d = 0. Denklem örneklerini daha ayrıntılı ve önce biraz teori ele alacağız. Üç köke sahip olabilirler ve ayrıca bir kübik denklem için ayırıcıyı bulmak için bir formül de vardır.
Bir örnek düşünün: 3x3+ 4x2+ 2x = 0. Nasıl çözeceksin? Bunu yapmak için, x'i köşeli parantezlerin dışına yerleştiririz: x (3x2+ 4x + 2) = 0. Tek yapmamız gereken denklemin köklerini parantez içinde hesaplamak. İkinci dereceden denklemin parantez içindeki ayırımı sıfırdan küçüktür, buna bağlı olarak ifadenin bir kökü vardır: x = 0.
Cebir. Denklemler
Bir sonraki görünüme geçelim. Şimdi cebirsel denklemlere hızlıca bakacağız. Görevlerden biri şu şekildedir: gruplama yöntemiyle 3x faktorize4+ 2x3+ 8x2+ 2x + 5. En uygun yol, aşağıdaki gruplama olacaktır: (3x4+ 3x2) + (2x3+ 2x) + (5x2+5). 8x olduğuna dikkat edin2 ilk ifadeden 3x toplamı olarak sunduk2 ve 5x2... Şimdi her bir parantezden 3x ortak faktörü çıkarıyoruz2(x2 + 1) + 2x (x2+1) +5 (x2+1). Ortak bir faktörümüz olduğunu görüyoruz: x kare artı bir, onu parantezlerin dışında alıyoruz: (x2+1) (3x2+ 2x + 5). Her iki denklemin de negatif bir ayırt edici özelliği olduğundan daha fazla genişletme imkansızdır.
Aşkın Denklemler
Aşağıdaki türle ilgilenmeyi öneriyoruz. Bunlar, logaritmik, trigonometrik veya üstel gibi aşkın fonksiyonları içeren denklemlerdir. Örnekler: 6sin2x + tgx-1 = 0, x + 5lgx = 3 vb. Trigonometri kursundan bunların nasıl çözüldüğünü öğreneceksiniz.
fonksiyon
Son aşamada, bir denklem kavramını düşününfonksiyonlar. Önceki seçeneklerin aksine, bu tür çözülmedi, ancak üzerine bir grafik oluşturuldu. Bunu yapmak için denklem iyi analiz edilmeli, inşaat için gerekli tüm noktaları bulun, minimum ve maksimum noktaları hesaplayın.