İkinci dereceden bir denklemin köklerini bulmak için özellikleri ve yöntemleri

Dünya çok sayıda karar verecek şekilde tasarlanmıştırİkinci dereceden bir denklemin köklerini bulma problemi azalır. Denklemlerin kökleri, çeşitli kalıpları tanımlamak için önemlidir. Bu antik Babil'in arazi bilirkişileri tarafından biliniyordu. Gökbilimciler ve mühendisler de bu sorunları çözmek zorunda kaldılar. MS 6. yüzyılın başlarında, Hintli bilim adamı Aryabhata, ikinci dereceden bir denklemin köklerini bulmak için temelini geliştirdi. Formüller XIX. Yüzyılda bitmiş bir görünüm kazandı.

Genel kavramlar

Kuadratik eşitliklerin temel yasaları hakkında bilgi edinmeyi teklif ediyoruz. Genel olarak, eşitlik şöyle yazılabilir:

ah² + bx + c = 0,

İkinci dereceden bir denklemin kök sayısı bir veya iki olabilir. Ayrımcı kavramı kullanılarak hızlı bir analiz yapılabilir:

D = b² - 4ac

Hesaplanan değere bağlı olarak elde ederiz:

• D> 0 olduğunda, iki farklı kök vardır. İkinci dereceden bir denklemin köklerini belirlemeye yönelik genel formülü (-b ± √D) / (2a) 'ya benziyor.
• D = 0, bu durumda kök birdir ve x = -b / (2a) değerine karşılık gelir.
• D <0, negatif bir ayırt edici değer için, denklemin çözümü yoktur.

Not: Eğer ayırt edici negatif ise, denklemin sadece gerçek sayılarda kökleri yoktur. Cebiri karmaşık kök kavramına genişletirsek, denklemin bir çözümü vardır.

Kök bulma formülünü onaylayan bir eylemler zinciri sunuyoruz.

Denklemin genel biçiminden, şöyle:

ah² + bx = -c

Sağ ve sol taraflar 4a ile çarpılır ve b²olsun

ca²ile² + 4abx + b² = -4ac + b²

Sol tarafı bir kare polinom olarak dönüştürün (2ax + b)²... Denklemin her iki tarafının karekökünü alın 2ax + b = -b ± √ (-4ac + b²), b katsayısını sağ tarafa aktarıyoruz, şunu elde ediyoruz:

2ax = -b ± √ (-4ac + b²)

Bu şu anlama gelir:

x = (-b ± √ (b² - 4ac))

Gösterilmesi gerekenler.

Özel bir durum

Bazı durumlarda problemi çözmek basitleştirilebilir. Böylece, eşit bir b katsayısı için daha basit bir formül elde ederiz.

K = 1 / 2b'yi belirtiriz, ardından ikinci dereceden denklemin kökleri için genel formül şu şekli alır:

x = (-k ± √ (k² - ac)) / a

D = 0 için x = -k / a elde ederiz

Diğer bir özel durum, a = 1 denkleminin çözümü olacaktır.

X görünümü için² + bx + c = 0 kökler x = -k ± √ (k² - c) ayırıcı 0'dan büyük olduğunda, D = 0 olduğu durumda, kök basit bir formülle belirlenecektir: x = -k.

Grafikleri kullanma

Herhangi bir kişi, bilmeden bile, sürekli olarak ikinci dereceden bir işlev tarafından iyi tanımlanan fiziksel, kimyasal, biyolojik ve hatta sosyal fenomenlerle karşı karşıya kalır.

Not: İkinci dereceden bir fonksiyona dayalı bir eğriye parabol denir.

İşte bazı örnekler.

1. Bir merminin yörüngesini hesaplarken, ufka bir açıyla ateşlenen bir cismin parabolü boyunca hareket özelliği kullanılır.
2. Parabolün yükü eşit olarak dağıtma özelliği mimaride yaygın olarak kullanılmaktadır.

Bir parabolik fonksiyonun önemini kavrayarak, "ayırt edici" ve "ikinci dereceden bir denklemin kökleri" kavramlarını kullanarak özelliklerini incelemek için bir grafiğin nasıl kullanılacağını bulalım.

A ve b katsayılarının değerine bağlı olarak, eğrinin konumu için yalnızca altı seçenek vardır:

1. Ayrımcı pozitiftir, a ve b'nin farklı işaretleri vardır. Parabolün dalları yukarıya bakar, ikinci dereceden denklemin iki çözümü vardır.
2. Ayırıcı ve b katsayısı sıfıra eşittir, a katsayısı sıfırdan büyüktür. Grafik pozitif bölgede, denklemin 1 kökü var.
3. Ayrımcı ve tüm katsayılar pozitiftir. İkinci dereceden denklemin çözümü yoktur.
4. Ayırıcı ve katsayısı a negatiftir, b sıfırdan büyüktür. Grafiğin dalları aşağı doğru yönlendirilmiştir, denklemin iki kökü vardır.
5. Ayırıcı ve b katsayısı sıfıra eşittir, a katsayısı negatiftir. Parabol aşağı bakıyor, denklemin bir kökü var.
6. Ayırıcı ve tüm katsayılar negatiftir. Çözüm yok, fonksiyon değerleri tamamen negatif bölgede.

Not: a = 0 seçeneği dikkate alınmaz, çünkü bu durumda parabol düz bir çizgiye dönüşür.

Yukarıdakilerin tümü aşağıdaki şekil ile iyi bir şekilde gösterilmiştir.

Problem çözme örnekleri

Durum: genel özellikleri kullanarak, kökleri birbirine eşit olan ikinci dereceden bir denklem yapın.

çözüm:

problem ifadesiyle x₁ = x₂, veya -b + √ (b² - 4ac) / (2a) = -b + √ (b² - 4ac) / (2a). Girişin basitleştirilmesi:

-b + √ (b² - 4ac) / (2a) - (-b - √ (b² - 4ac) / (2a)) = 0, parantezleri açın ve benzer terimler verin. Denklem 2√ (b² - 4ac) = 0. Bu ifade, b² - 4ac = 0, dolayısıyla b² = 4ac, sonra denklemde b = 2√ (ac) değeri ikame edilir

ah² + 2√ (ac) x + c = 0, indirgenmiş formda x² + 2√ (c / a) x + c = 0.

Cevap:

a eşit değildir 0 ve herhangi bir c için, eğer b = 2√ (c / a) ise yalnızca bir çözüm vardır.

Tüm basitlikleri için ikinci dereceden denklemlermühendislik hesaplamalarında büyük önem taşımaktadır. Hemen hemen her fiziksel süreç, n derecesinin güç fonksiyonları kullanılarak bazı tahminlerle tanımlanabilir. İkinci dereceden denklem bu tür ilk yaklaşım olacaktır.