Doğrusal denklem sistemlerinin çözümü için basit yineleme yöntemi (SLAE)

Yöntem olarak da adlandırılan basit yineleme yöntemiardışık yaklaşım, bilinmeyen bir miktarın değerini kademeli iyileştirme ile bulmak için matematiksel bir algoritmadır. Bu yöntemin özü, adından da anlaşılacağı gibi, ilk yaklaşımdan sonrakileri kademeli olarak ifade ederek, giderek daha rafine sonuçlar elde edilmesidir. Bu yöntem, belirli bir fonksiyondaki bir değişkenin değerini bulmak için ve hem doğrusal hem de doğrusal olmayan denklem sistemlerini çözerken kullanılır.

Bir SLAE çözerken bu yöntemin nasıl uygulandığını ele alalım. Basit yineleme yöntemi aşağıdaki algoritmaya sahiptir:

bir.Orijinal matristeki yakınsama koşulunun yerine getirilmesinin kontrol edilmesi. Yakınsama teoremi: Sistemin ilk matrisi köşegen bir baskınlığa sahipse (yani, her satırda ana köşegenin elemanları modül olarak ikincil köşegenlerin elemanlarının toplamından daha büyük olmalıdır), o zaman basit yöntem iterasyonlar yakınsaktır.

2.Orijinal sistemin matrisi her zaman çapraz bir baskınlığa sahip değildir. Bu gibi durumlarda, sistem dönüştürülebilir. Yakınsama koşulunu sağlayan denklemler olduğu gibi bırakılır ve sağlamayanlarla doğrusal kombinasyonlar oluştururlar, yani. çarpın, çıkarın, istenen sonuç elde edilene kadar denklemleri toplayın.

Ortaya çıkan sistemde ana diyagonalde uygunsuz katsayılar varsa, o zaman formun terimleri_ve* x_ben, işaretleri köşegen elemanların işaretleri ile çakışmalıdır.

3. Ortaya çıkan sistemin normal formuna dönüştürülmesi:

ile^-= β^-+ α * x^-

Bu, örneğin şu şekilde birçok şekilde yapılabilir: ilk denklemden x'i ifade edin.₁ diğer bilinmeyenler aracılığıyla, ikinciden - x₂, üçüncü - x₃ vb. Bu durumda, formülleri kullanırız:

α_ij= - (bir_ij / bir_ii)

_ve= b_ve/ve_ii
Ortaya çıkan normal form sisteminin yakınsama koşulunu karşıladığı tekrar doğrulanmalıdır:

∑ (j = 1) | α_ij| ≤ 1, iken i = 1,2, ... n

4. Aslında, ardışık yaklaşımların yöntemini uygulamaya başlıyoruz.

ile⁽⁰⁾ilk yaklaşımdır, x ile ifade ederiz⁽¹⁾, sonra x ile⁽¹⁾ x'i ifade etmek⁽²⁾... Matris formundaki genel formül şöyle görünür:

ile⁽ⁿ⁾= β^-+ α * x^(n-1)

Gerekli doğruluğa ulaşana kadar hesaplıyoruz:

maksimum | x_ve(k) -x_ve(k + 1) ≤ ε

Öyleyse basit yineleme yöntemini uygulamaya koyalım. Misal:
SLAE'yi çözün:

4.5x1-1.7x2 + 3.5x3 = 2
3.1x1 + 2.3x2-1.1x3 = 1
1.8x1 + 2.5x2 + 4.7x3 = 4 hassasiyetle ε = 10^-3

Bakalım diyagonal elemanlar modülde geçerli mi?

Sadece üçüncü denklemin yakınsama koşulunu sağladığını görüyoruz. Birinci ve ikinciyi dönüştürüyoruz, ikincisini ilk denkleme ekliyoruz:

7.6x1 + 0.6x2 + 2.4x3 = 3

İlkini üçüncüden çıkarın:

-2.7x1 + 4.2x2 + 1.2x3 = 2

Orijinal sistemi eşdeğer bir sisteme dönüştürdük:

7.6x1 + 0.6x2 + 2.4x3 = 3
-2.7x1 + 4.2x2 + 1.2x3 = 2
1.8x1 + 2.5x2 + 4.7x3 = 4

Şimdi sistemi normale döndürelim:

x1 = 0.3947-0.0789x2-0.3158x3
x2 = 0,4762 + 0,6429x1-0,2857x3
x3 = 0,8511-0,383x1-0,5319x2

Yinelemeli sürecin yakınsamasını kontrol etme:

0,0789 + 0,3158 = 0,3947 ≤ 1
0.6429 + 0.2857 = 0.9286 ≤ 1
0,383+ 0,5319 = 0,9149 ≤ 1, yani koşul karşılanır.

0,3947
İlk yaklaşım x⁽⁰⁾ = 0,4762
0,8511

Bu değerleri normal form denkleminde değiştirerek aşağıdaki değerleri elde ederiz:

0,08835
ile^(bir)= 0,486793
0,446639

Yeni değerleri değiştirerek şunu elde ederiz:

0,215243
ile⁽²⁾= 0,405396
0,558336

Verilen koşulu sağlayan değerlere yaklaşana kadar hesaplamalara devam ediyoruz.

0,18813

ile⁽⁷⁾= 0.441091

0,544319

0,188002

ile^(sekiz) = 0.44164

0,544428

Elde edilen sonuçların doğruluğunu kontrol edelim:

4.5 * 0.1880 -1.7 * 0.441 + 3.5 * 0.544 = 2.0003
3.1 * 0.1880 + 2.3 * 0.441-1.1x * 0.544 = 0.9987
1.8 * 0.1880 + 2.5 * 0.441 + 4.7 * 0.544 = 3.9977

Bulunan değerlerin orijinal denklemlere ikame edilmesiyle elde edilen sonuçlar, denklemin şartlarını tam olarak karşılamaktadır.

Gördüğümüz gibi, basit yineleme yöntemi oldukça doğru sonuçlar veriyor, ancak bu denklemi çözmek için çok zaman harcamak ve hantal hesaplamalar yapmak zorunda kaldık.