Denklem sistemleri yaygın olarak kullanılmaktadır.çeşitli işlemlerin matematiksel modellemesinde ekonomik dal. Örneğin, yönetim ve üretim planlama sorunlarını çözerken, lojistik rotaları (taşıma sorunu) veya ekipman yerleştirme.
Denklem sistemleri sadece matematik alanında değil, aynı zamanda fizik, kimya ve biyoloji alanlarında da popülasyon büyüklüğünü bulma problemlerini çözerken kullanılır.
Doğrusal denklem sistemine iki veya daha fazla denir.ortak bir çözüm bulmanın gerekli olduğu birkaç değişkenli denklemler. Tüm denklemlerin gerçek eşitlikler haline geldiği veya bir dizilimin olmadığını ispatlayan böyle bir sayı dizisi.
Doğrusal denklem
Ax + ile = c biçimindeki denklemlere doğrusal denir. X, y notaları, değerlerinin bulunması gereken bilinmeyenlerdir, b, a değişkenlerinin katsayıları, c denklemin serbest terimidir.
Grafiğini çizerek bir denklemi çözmek, bütün noktaları bir polinomun çözümü olan bir çizgi biçimine sahip olacaktır.
Doğrusal denklem sistemleri türleri
En basit örnekler, iki değişken X ve Y olan doğrusal denklem sistemleri olarak kabul edilir.
F1 (x, y) = 0 ve F2 (x, y) = 0, burada F1,2 fonksiyonlardır ve (x, y) fonksiyon değişkenleridir.
Denklem sistemini çöz - bu, sistemin gerçek bir eşitliğe dönüştüğü bu tür değerleri (x, y) bulmak veya x ve y için uygun değerlerin olmadığını saptamak anlamına gelir.
Bir noktanın koordinatları olarak yazılan bir çift değer (x, y), bir doğrusal denklem sistemine bir çözüm olarak adlandırılır.
Sistemlerin ortak bir çözümü varsa veya çözümleri yoksa, bunlara eşdeğer denir.
Homojen doğrusal denklem sistemleri, sağ tarafı sıfıra eşit olan sistemlerdir. "Eşit" işaretinden sonraki sağ kısım bir değere sahipse veya bir fonksiyonla ifade ediliyorsa, böyle bir sistem heterojendir.
Değişkenlerin sayısı ikiden çok daha fazla olabilir, o zaman üç veya daha fazla değişkenli bir doğrusal denklem sistemi örneğinden bahsetmeliyiz.
Sistemlerle karşılaştıklarında okul çocuklarıdenklemlerin sayısının bilinmeyenlerin sayısı ile çakışması gerektiği, ancak bu böyle değil. Sistemdeki denklemlerin sayısı değişkenlere bağlı değildir; istediğiniz kadar çok olabilir.
Denklem sistemlerini çözmek için basit ve karmaşık yöntemler
Genel bir analitik yol yokturbenzer sistemlerin çözümleri, tüm yöntemler sayısal çözümlere dayanmaktadır. Okul matematiği dersi permütasyon, cebirsel toplama, ikame gibi yöntemlerin yanı sıra grafik ve matris yöntemi, Gauss yöntemiyle çözümü ayrıntılı olarak açıklar.
Çözümleri öğretmedeki ana görevsistemin nasıl doğru şekilde analiz edileceğini ve her örnek için en uygun çözüm algoritmasının nasıl bulunacağını öğretmektir. Önemli olan, her yöntem için kurallar ve eylemler sistemini ezberlemek değil, bunu veya bu yöntemi uygulama ilkelerini anlamaktır.
Doğrusal denklem sistem örneklerini çözme 7Ana okul müfredatı oldukça basittir ve çok detaylı bir şekilde açıklanmıştır. Matematikle ilgili herhangi bir ders kitabında bu bölüme yeterince dikkat edilir. Doğrusal denklem sistemi örneklerinin Gauss ve Cramer yöntemiyle çözümü, yüksek öğrenimin ilk yıllarında daha ayrıntılı olarak incelenmiştir.
İkame yöntemiyle sistemlerin çözümü
İkame yöntemi,bir değişkenin değerinin ikinciye ifadesi. İfade kalan denkleme ikame edilir, ardından tek değişkenli bir forma indirgenir. Sistemdeki bilinmeyenlerin sayısına bağlı olarak işlem tekrarlanır
İkame yöntemi ile 7. sınıfın doğrusal denklem sisteminin bir örneğinin çözümünü verelim:
Örnekten de görebileceğiniz gibi, x değişkeni ifade edildiF (X) = 7 + Y ile X yerine sistemin 2. denklemine ikame edilen ortaya çıkan ifade, 2. denklemde bir değişken Y elde edilmesine yardımcı oldu. Bu örneğin çözümü herhangi bir zorluğa neden olmayıp Y değerini almanızı sağlar.Son adım elde edilen değerlerin kontrol edilmesidir.
Bir doğrusal denklem sistemi örneği çözünikame her zaman mümkün değildir. Denklemler karmaşık olabilir ve bir değişkenin ikinci bilinmeyen açısından ifadesi, daha sonraki hesaplamalar için çok külfetli olacaktır. Sistemde 3'ten fazla bilinmeyen olduğunda, ikame yoluyla çözüm de pratik değildir.
Doğrusal homojen olmayan denklem sistemi örneğinin çözümü:
Cebirsel toplama çözümü
Toplama yöntemi ile sistemlere bir çözüm ararken, denklemlerin terime göre toplanması ve çeşitli sayılarla çarpılması gerçekleştirilir. Matematiksel işlemlerin nihai amacı, tek değişkenli bir denklemdir.
Bu yöntemi uygulamak için pratik yapmak gerekir.ve gözlem. Bir doğrusal denklem sistemini 3 veya daha fazla değişkenle toplama yöntemiyle çözmek kolay değildir. Denklemlerde kesirler ve ondalık sayılar olduğunda cebirsel toplama uygundur.
Çözüm eylem algoritması:
- Denklemin her iki tarafını da bir sayı ile çarpın. Aritmetik işlemin bir sonucu olarak, değişkenin katsayılarından birinin 1'e eşit olması gerekir.
- Ortaya çıkan ifade terimini terime göre ekleyin ve bilinmeyenlerden birini bulun.
- Kalan değişkeni bulmak için elde edilen değeri sistemin 2. denklemine koyun.
Yeni bir değişken sunarak çözüm
Sistemin ikiden fazla denklem için bir çözüm bulması gerekiyorsa yeni bir değişken eklenebilir, bilinmeyenlerin sayısı da ikiden fazla olmamalıdır.
Yöntem, aşağıdakilerden birini basitleştirmek için kullanılır:yeni bir değişken ekleyerek denklemler. Yeni denklem girilen bilinmeyene göre çözülür ve elde edilen değer orijinal değişkeni belirlemek için kullanılır.
Örnek, yeni bir t değişkeni ekleyerek, sistemin 1. denklemini standart bir ikinci dereceden üç terimliye indirmenin mümkün olduğunu göstermektedir. Polinomu ayırıcıyı bularak çözebilirsiniz.
Ayrımcının değerini şu şekilde bulmak gerekir:bilinen formül: D = b2 - 4 * a * c, burada D gerekli ayırıcıdır, b, a, c polinomun faktörleridir. Verilen örnekte, a = 1, b = 16, c = 39, dolayısıyla D = 100. Ayırıcı sıfırdan büyükse, iki çözüm vardır: t = -b ± √D / 2 * a, eğer ayırıcı sıfırdan küçükse, o zaman bir çözüm vardır: x = -b / 2 * a.
Ortaya çıkan sistemler için çözüm, toplama yöntemi ile bulunur.
Sistemleri çözmek için görsel yöntem
3 denklemli sistemler için uygundur.Yöntem, sisteme dahil olan her denklemin grafiklerinin koordinat eksenini çizmekten oluşur. Eğrilerin kesişme noktalarının koordinatları sistemin genel çözümü olacaktır.
Grafik yöntemde birkaç nüans vardır. Doğrusal denklem sistemlerinin birkaç örneğini görsel bir şekilde ele alalım.
Örnekten de görebileceğiniz gibi, her düz çizgi içiniki nokta oluşturuldu, x değişkeninin değerleri rastgele seçildi: 0 ve 3. x'in değerlerine göre, y için değerler bulundu: 3 ve 0. Koordinatlı noktalar (0, 3 ) ve (3, 0) grafikte işaretlendi ve bir çizgi ile birleştirildi ...
İkinci denklem için adımlar tekrarlanmalıdır. Çizgilerin kesişme noktası sistemin çözümüdür.
Aşağıdaki örnekte, bir doğrusal denklem sistemi için grafiksel bir çözüm bulmanız gerekir: 0.5x-y + 2 = 0 ve 0.5x-y-1 = 0.
Örnekten de görebileceğiniz gibi, sistemin çözümü yoktur, çünkü grafikler paraleldir ve tüm uzunlukları boyunca kesişmez.
Örnek 2 ve 3'teki sistemler benzerdir, ancakinşaat, çözümlerinin farklı olduğu ortaya çıkıyor. Unutulmamalıdır ki, bir sistemin bir çözümü olup olmadığını söylemenin her zaman mümkün olmadığı, her zaman bir grafiğin oluşturulması gerektiği unutulmamalıdır.
Matris ve çeşitleri
Matrisler, kısaca bir doğrusal denklem sistemi yazmak için kullanılır. Bir matrise, sayılarla dolu özel bir tür tablo denir. Bir n * m matrisin n - satırı ve m - sütunu vardır.
Matris, miktarsütunlar ve satırlar birbirine eşittir. Bir vektör matrisi, sonsuz sayıda satıra sahip tek sütunlu bir matristir. Köşegenlerden biri boyunca olanları ve diğer sıfır elemanlarını içeren bir matrise, kimlik matrisi denir.
Ters bir matris, orijinal matrisin bir özdeşlik matrisine dönüştüğü çarpıldığında böyle bir matristir, böyle bir matris yalnızca orijinal kare matris için mevcuttur.
Bir denklem sistemini matrise dönüştürmek için kurallar
Denklem sistemlerine uygulandığında, katsayılar ve serbest denklem terimleri matris numaraları olarak yazılır, bir denklem matrisin bir satırıdır.
Bir matris satırına sıfırdan farklı denir, en azındandizenin bir öğesi sıfırdan farklıdır. Bu nedenle, denklemlerin herhangi birinde değişken sayısı farklıysa, eksik bilinmeyen yerine sıfır yazmak gerekir.
Matris sütunları kesinlikle eşleşmelidirdeğişkenler. Bu, x değişkeninin katsayılarının yalnızca bir sütuna, örneğin birincisi, bilinmeyen y'nin katsayısı - yalnızca ikinci sütuna yazılabileceği anlamına gelir.
Bir matris çarpılırken, matrisin tüm öğeleri sırayla bir sayıyla çarpılır.
Ters matrisi bulmanın çeşitleri
Ters matrisi bulmanın formülü oldukça basittir: K-1= 1 / | K |, burada K-1 ters matris ve | K | - matris determinantı. | K | sıfır olmamalıdır, o zaman sistemin bir çözümü vardır.
Determinant, ikiye iki matris için kolayca hesaplanır; sadece köşegen üzerindeki öğeleri birbiriyle çarpmanız gerekir. "Üçe üç" seçeneği için bir | K | = a formülü vardır1b2c3 + a1b3c2 + a3b1c2 + ve2b3c1 + a2b1c3 + a3b2c1... Formülü kullanabilirsin veya yapabilirsinHer satırdan ve her sütundan bir öğe almanız gerektiğini unutmayın, böylece sütun sayıları ve öğe satırları çalışmada tekrarlanmaz.
Matris yöntemi ile doğrusal denklem sistemi örneklerinin çözümü
Bir çözüm bulmanın matris yöntemi, çok sayıda değişken ve denklem içeren sistemleri çözerken hantal kayıtların azaltılmasına izin verir.
Örnek anm denklemlerin katsayılarıdır, matris x vektörüdürn - değişkenler ve bn - ücretsiz üyeler.
Sonra, ters matrisi bulmanız ve orijinali bununla çarpmanız gerekir. Ortaya çıkan birim matristeki değişkenlerin değerlerini bulmak kolay bir iştir.
Sistemlerin Gauss çözümü
Daha yüksek matematikte Gauss yöntemi incelenirCramer'in yöntemiyle birlikte ve sistemlere çözüm bulma sürecine Gauss-Cramer çözüm yöntemi denir. Bu yöntemler, çok sayıda doğrusal denklem içeren değişken sistemleri bulmak için kullanılır.
Gauss yöntemi ile çözümlere çok benzerikameler ve cebirsel toplama, ancak daha sistematik. Okul dersinde, Gauss çözümü 3 ve 4 denklemli sistemler için kullanılır. Yöntemin amacı, sistemi ters çevrilmiş bir yamuk gibi göstermektir. Cebirsel dönüşümler ve ikamelerle, bir değişkenin değeri, sistemin denklemlerinden birinde bulunur. İkinci denklem, 2 bilinmeyenli, ancak 3 ve 4 - sırasıyla 3 ve 4 değişkenli bir ifadedir.
Sistemi tarif edilen forma getirdikten sonra, ilave çözüm, bilinen değişkenlerin sistem denklemlerine sıralı ikamesine indirgenir.
7. sınıf ders kitaplarında, Gauss yöntemiyle bir çözüm örneği şu şekilde açıklanmaktadır:
Örnekten de görülebileceği gibi, adım (3) 'te iki denklem elde edildi 3x3-2 kere4= 11 ve 3x3+ 2x4= 7. Denklemlerden herhangi birinin çözümü, x değişkenlerinden birini bulmanızı sağlayacaktır.n.
Metinde bahsedilen Teorem 5, sistemin denklemlerinden birinin eşdeğer bir denklemle değiştirilmesi durumunda ortaya çıkan sistemin de orijinaline eşdeğer olacağını söyler.
Gauss'un yöntemini öğrencilerin algılaması zorlise, ancak ileri matematik ve fizik derslerinde çocukların zekasını geliştirmenin daha eğlenceli yollarından biridir.
Hesaplamaları kaydetme kolaylığı için, aşağıdakileri yapmak gelenekseldir:
Denklem Katsayıları ve Serbest Terimlerbir matris biçiminde yazılır, burada matrisin her satırı sistemin denklemlerinden biriyle ilişkilidir. Dikey çubuk, denklemin sol tarafını sağ taraftan ayırır. Roma rakamları, sistemdeki denklem sayılarını gösterir.
Önce matrisi yazın.iş, sonra satırlardan biriyle gerçekleştirilen tüm eylemler. Elde edilen matris, ok işaretinden sonra yazılır ve sonuç elde edilene kadar gerekli cebirsel işlemler sürdürülür.
Sonuç olarak, içinde bir matris elde edilmelidir.köşegenlerden biri 1'dir ve diğer tüm katsayılar sıfıra eşittir, yani matris tek bir forma getirilir. Denklemin her iki tarafındaki sayılarla hesap yapmayı unutmayın.
Bu kayıt yöntemi daha az zahmetlidir ve birçok bilinmeyenleri listeleyerek dikkatinizin dağılmamasını sağlar.
Herhangi bir çözümün ücretsiz uygulamasıbakım ve biraz deneyim gerektirecektir. Tüm yöntemler uygulamalı nitelikte değildir. İnsan faaliyetinin bu diğer alanında çözüm bulmanın bazı yolları daha çok tercih edilirken, diğerleri eğitim amaçlı mevcuttur.
