Matematisk förväntan och varians hos en slumpmässig variabel

Sannolikhetsteori är en speciell gren av matematiken,som endast studeras av studenter vid högre lärosäten. Gillar du beräkningar och formler? Är du inte rädd för möjligheterna att bekanta dig med normalfördelningen, ensemblentropin, matematiska förväntan och spridningen av en diskret slumpvariabel? Då kommer detta ämne att vara mycket intressant för dig. Låt oss bekanta oss med flera av de viktigaste grundläggande begreppen inom denna vetenskapsgren.

Låt oss komma ihåg grunderna

Även om du kommer ihåg de enklaste teoribegreppensannolikhet, försumma inte artikelns första stycke. Poängen är att utan en tydlig förståelse av grunderna kommer du inte att kunna arbeta med formlerna som diskuteras nedan.

Så någon slumpmässig händelse inträffar,något slags experiment. Som ett resultat av de åtgärder vi vidtar kan vi få flera utfall - vissa av dem inträffar oftare, andra mindre ofta. Sannolikheten för en händelse är förhållandet mellan antalet faktiskt erhållna utfall av en typ och det totala antalet möjliga. Endast genom att känna till den klassiska definitionen av detta begrepp kan du börja studera den matematiska förväntan och spridningen av kontinuerliga slumpvariabler.

Genomsnitt

Tillbaka i skolan, på mattelektionerna, började duarbeta med det aritmetiska medelvärdet. Detta begrepp används flitigt inom sannolikhetsteorin och kan därför inte ignoreras. Det viktigaste för oss för tillfället är att vi kommer att stöta på det i formlerna för den matematiska förväntan och spridningen av en slumpvariabel.

Vi har en talföljd och vill hittagenomsnitt. Allt som krävs av oss är att summera allt tillgängligt och dividera med antalet element i sekvensen. Låt oss ha siffror från 1 till 9. Summan av elementen blir lika med 45, och vi delar detta värde med 9. Svar: – 5.

Dispersion

I vetenskapliga termer är variansen genomsnittetkvadraten på avvikelser för de erhållna karakteristiska värdena från det aritmetiska medelvärdet. Den betecknas med en latinsk stor bokstav D. Vad behövs för att beräkna den? För varje element i sekvensen beräknar vi skillnaden mellan det befintliga talet och det aritmetiska medelvärdet och kvadrerar det. Det kommer att finnas exakt lika många värden som det kan bli resultat för det evenemang vi överväger. Därefter summerar vi allt mottaget och dividerar med antalet element i sekvensen. Om vi ​​har fem möjliga utfall, dividera med fem.

Dispersion har också egenskaper som behövskom ihåg att använda när du löser problem. Till exempel, när man ökar en slumpmässig variabel med X gånger, ökar variansen X gånger i kvadrat (dvs X*X). Den är aldrig mindre än noll och är inte beroende av att värden flyttas upp eller ner lika mycket. Dessutom, för oberoende försök, är variansen av summan lika med summan av varianserna.

Nu måste vi definitivt överväga exempel på variansen hos en diskret slumpvariabel och den matematiska förväntan.

Låt oss säga att vi körde 21 experiment och fick 7 olika resultat. Vi observerade var och en av dem 1, 2, 2, 3, 4, 4 respektive 5 gånger. Vad blir variansen lika med?

Låt oss först beräkna det aritmetiska medelvärdet:summan av elementen är förstås 21. Dividera den med 7 och få 3. Subtrahera nu 3 från varje tal i den ursprungliga sekvensen, kvadrera varje värde och addera resultaten. Resultatet är 12. Nu behöver vi bara dividera talet med antalet element, och det verkar vara allt. Men det finns en hake! Låt oss diskutera det.

Beroende på antalet experiment

Det visar sig att när man beräknar variansen i nämnarendet kan finnas ett av två nummer: antingen N eller N-1. Här är N antalet utförda experiment eller antalet element i sekvensen (vilket i huvudsak är samma sak). Vad beror detta på?

Om antalet tester mäts i hundratals, alltsåvi måste sätta N i nämnaren. Om i enheter, då N-1. Forskare bestämde sig för att rita gränsen ganska symboliskt: idag passerar den genom numret 30. Om vi ​​genomförde mindre än 30 experiment, kommer vi att dela mängden med N-1, och om mer, då med N.

uppgift

Låt oss gå tillbaka till vårt exempel på problemlösningpå varians och matematiska förväntningar. Vi fick ett mellantal 12, som behövde delas med N eller N-1. Eftersom vi genomförde 21 experiment, vilket är mindre än 30, kommer vi att välja det andra alternativet. Så svaret är: variansen är 12/2 = 2.

Förväntat värde

Låt oss gå vidare till det andra konceptet, som viDu bör definitivt överväga den här artikeln. Den matematiska förväntan är resultatet av att addera alla möjliga utfall multiplicerade med motsvarande sannolikheter. Det är viktigt att förstå att det erhållna värdet, såväl som resultatet av att beräkna variansen, endast erhålls en gång för hela problemet, oavsett hur många utfall som beaktas i det.

Den matematiska förväntansformeln är tillräckligär enkelt: vi tar resultatet, multiplicerar det med dess sannolikhet, lägger till detsamma för det andra, tredje resultatet, etc. Allt relaterat till detta koncept är inte svårt att beräkna. Till exempel är summan av förväntade värden lika med det förväntade värdet av summan. Detsamma gäller för arbetet. Inte varje kvantitet i sannolikhetsteorin tillåter dig att utföra sådana enkla operationer. Låt oss ta problemet och räkna ut innebörden av två begrepp vi har studerat samtidigt. Dessutom distraherades vi av teori - det är dags att öva.

Ännu ett exempel

Vi genomförde 50 tester och fick 10 typerutfall - siffror från 0 till 9 - visas i olika procentsatser. Dessa är respektive: 2 %, 10 %, 4 %, 14 %, 2 %, 18 %, 6 %, 16 %, 10 %, 18 %. Kom ihåg att för att få sannolikheter måste du dividera procentvärdena med 100. Således får vi 0,02; 0,1 osv. Låt oss presentera ett exempel på att lösa problemet för variansen av en slumpvariabel och den matematiska förväntan.

Vi beräknar det aritmetiska medelvärdet med formeln som vi kommer ihåg från grundskolan: 50/10 = 5.

Låt oss nu omvandla sannolikheterna till antalet utfall"i bitar" för att göra det lättare att räkna. Vi får 1, 5, 2, 7, 1, 9, 3, 8, 5 och 9. Från varje erhållet värde subtraherar vi det aritmetiska medelvärdet, varefter vi kvadrerar vart och ett av de erhållna resultaten. Se hur du gör detta med det första elementet som exempel: 1 – 5 = (-4). Nästa: (-4) * (-4) = 16. För andra värden, gör dessa operationer själv. Om du gjorde allt korrekt kommer du att få 90 efter att ha lagt till alla mellanresultat.

Låt oss fortsätta beräkna variansen och matematiskaförväntningar genom att dividera 90 med N. Varför väljer vi N snarare än N-1? Rätt, eftersom antalet utförda experiment överstiger 30. Så: 90/9 = 10. Vi fick variansen. Om du får ett annat nummer, misströsta inte. Troligtvis gjorde du ett enkelt misstag i beräkningarna. Dubbelkolla vad du skrev så faller nog allt på plats.

Slutligen, kom ihåg den matematiska formelnförväntningar. Vi kommer inte att ge alla beräkningar, vi kommer bara att skriva ett svar som du kan kontrollera med efter att ha genomfört alla nödvändiga procedurer. Det förväntade värdet blir 5,48. Låt oss bara komma ihåg hur man utför operationer, med de första elementen som exempel: 0*0,02 + 1*0,1... och så vidare. Som du kan se multiplicerar vi helt enkelt utfallsvärdet med dess sannolikhet.

Avvikelse

Ett annat begrepp som är nära relaterat till spridning ochmatematisk förväntan – standardavvikelse. Det betecknas antingen med de latinska bokstäverna sd eller med den grekiska gemena "sigma". Detta koncept visar hur mycket i genomsnitt värdena avviker från den centrala funktionen. För att hitta dess värde måste du beräkna kvadratroten av variansen.

Om du plottar det normaladistribution och vill se värdet av standardavvikelsen direkt på den kan detta göras i flera steg. Ta hälften av bilden till vänster eller höger om läget (centralt värde), rita en vinkelrät mot den horisontella axeln så att områdena på de resulterande figurerna är lika. Storleken på segmentet mellan mitten av fördelningen och den resulterande projektionen på den horisontella axeln kommer att representera standardavvikelsen.

programvara

Som framgår av beskrivningarna av formlerna och de presenteradeexempel, beräkning av varians och matematisk förväntan är inte den enklaste proceduren ur aritmetisk synvinkel. För att inte slösa tid är det vettigt att använda programmet som används i högre utbildningsanstalter - det kallas "R". Den har funktioner som låter dig beräkna värden för många begrepp från statistik och sannolikhetsteori.

Du anger till exempel en vektor med värden.Detta görs på följande sätt: vektor <-c(1,5,2...). Nu, när du behöver beräkna några värden för denna vektor, skriver du en funktion och ger den som ett argument. För att hitta variansen måste du använda var-funktionen. Ett exempel på dess användning: var(vektor). Därefter trycker du bara på "enter" och får resultatet.

Sammanfattningsvis

Varians och matematiska förväntningar är grundläggandebegrepp inom sannolikhetsteorin, utan vilka det är svårt att beräkna någonting i framtiden. I huvudkursen av föreläsningar vid universitet diskuteras de redan under de första månaderna av att studera ämnet. Det är just på grund av bristen på förståelse för dessa enkla begrepp och oförmågan att räkna ut dem som många elever omedelbart börjar halka efter i programmet och senare får dåliga betyg i slutet av passet, vilket berövar dem stipendier.

Träna i minst en vecka i en halvtimmedag, lösa uppgifter liknande de som presenteras i den här artikeln. Sedan, på vilket test som helst i sannolikhetsteori, kommer du att kunna klara av exemplen utan främmande tips och fuskblad.