Maclaurinserie och sönderdelning av vissa funktioner

Studenter i högre matematik borde vetaatt summan av en viss kraftserie som tillhör intervallet för konvergens för den givna serien är ett kontinuerligt och oändligt antal gånger differentierad funktion. Frågan uppstår: är det möjligt att hävda att en given godtycklig funktion f (x) är summan av en viss kraftserie? Det vill säga under vilka förhållanden kan f-ija f (x) representeras av en kraftserie? Vikten av en sådan fråga ligger i det faktum att det är möjligt att ungefär ersätta f-yu f (x) med summan av de första få termerna i kraftserien, det vill säga med ett polynom. En sådan ersättning av en funktion med ett ganska enkelt uttryck - ett polynom - är också bekvämt för att lösa vissa problem med matematisk analys, nämligen: när man löser integraler, vid beräkning av differentiallekvationer etc.

Det bevisas att för vissa f-u och f (x), där det är möjligt att beräkna derivat upp till (n + 1): e ordning, inklusive den senare, i grannskapet (α - R; x₀ + R) av någon punkt х = α, är följande formel giltig:

Denna formel bär namnet på den berömda forskaren Brook Taylor. Serien som erhålls från den tidigare kallas Maclaurin-serien:

Regeln som gör det möjligt att utföra expansionen i Maclaurin-serien:

1. Bestäm derivaten för den första, andra, tredje ... ordern.
2. Beräkna vad derivaten vid x = 0 är lika med.
3. Skriv ner Maclaurin-serien för den här funktionen och bestäm sedan intervallet för dess konvergens.
4. Bestäm intervallet (-R; R), där den återstående delen av Maclaurin-formeln

R_n(x) -> 0 som n -> oändlighet. Om sådan finns måste funktionen f (x) i den sammanfalla med summan av Maclaurin-serien.

Låt oss nu överväga Maclaurin-serien för enskilda funktioner.

1. Så den första blir f (x) = e^x... Naturligtvis har en sådan funktion av dess singulariteter derivat av mycket olika ordningar, och f^(k)(x) = e^med, där k är lika med alla naturliga tal. Ersättare x = 0. Vi får f^(k)(0) = e⁰= 1, k = 1,2 ... Baserat på ovanstående, serien e^x kommer att se ut så här:

2. Maclaurin-serien för funktionen f (x) = sin x. Låt oss omedelbart klargöra att funktionen för alla okända kommer att ha derivat, dessutom f^"(x) = cos x = sin (x + n / 2), f^""(x) = -sin x = sin (x + 2 * n / 2) ..., f^(k)(x) = sin (x + k * n / 2), där k är lika med vilket naturligt tal som helst. Efter att ha gjort enkla beräkningar kan vi dra slutsatsen att serien för f (x) = sin x kommer att vara av denna form:

3. Låt oss nu överväga f-yu f (x) = cos x. För alla okända har den derivat av godtycklig ordning och | f^(k)(x) | = | cos (x + k * n / 2) | <= 1, k = 1.2 ... Återigen, efter att ha gjort vissa beräkningar, får vi att serien för f (x) = cos x kommer att se ut så här:

Så vi har listat de viktigaste funktionerna somkan utökas till en Maclaurin-serie, men de kompletteras med Taylor-serien för vissa funktioner. Nu kommer vi att lista dem också. Det är också värt att notera att Taylor- och Maclaurin-serierna är en viktig del av workshopen för att lösa serier i högre matematik. Så Taylor rankas.

1. Den första kommer att vara en serie för f-ii f (x) = ln (1 + x). Som i de föregående exemplen, för en given f (x) = ln (1 + x), kan vi lägga till serien med den allmänna formen av Maclaurin-serien. men för denna funktion kan Maclaurin-serien erhållas mycket lättare. Genom att integrera en viss geometrisk serie får vi en serie för f (x) = ln (1 + x) av ett sådant prov:

2. Och den andra, som kommer att vara sista i vår artikel, blir serien för f (x) = arctan x. För x som tillhör intervallet [-1; 1] är nedbrytningen giltig:

Det är allt. Denna artikel undersökte de mest använda Taylor- och Maclaurin-serierna i högre matematik, särskilt i ekonomi och tekniska universitet.