Človek si môže byť stopercentne istýpercent, že na otázku, aký je štvorec prepony, každý dospelý odvážne odpovie: „Súčet štvorcov nôh“. Táto veta je pevne zakorenená v mysliach každého vzdelaného človeka, ale stačí niekoho požiadať, aby to dokázal, a potom môžu nastať ťažkosti. Preto si zapamätajme a pouvažujme o rôznych spôsoboch dokazovania Pytagorovej vety.
Stručný prehľad biografie
Pytagorovu vetu pozná asi každý, alez nejakého dôvodu nie je biografia osoby, ktorá ju porodila, taká populárna. Toto je opraviteľné. Preto pred štúdiom rôznych spôsobov dokazovania Pytagorovej vety sa musíte stručne zoznámiť s jeho osobnosťou.
Pythagoras je filozof, matematik, mysliteľ zStaroveké Grécko. Dnes je veľmi ťažké rozlíšiť jeho životopis od legiend, ktoré sa vytvorili v pamäti tohto veľkého muža. Ale ako vyplýva zo spisov jeho nasledovníkov, Pythagoras zo Samosu sa narodil na ostrove Samos. Jeho otec bol obyčajný kamenár, ale jeho matka pochádzala zo šľachtickej rodiny.
Podľa legendy sa narodil Pythagoraspredpovedal ženu menom Pythia, na počesť ktorej bol chlapec pomenovaný. Podľa jej predpovede mal narodený chlapec priniesť ľudstvu mnoho výhod a dobra. Čo vlastne aj urobil.
Zrodenie vety
V mladosti sa Pythagoras presťahoval z ostrova Samos naEgypt tam stretne známych egyptských mudrcov. Po stretnutí s nimi bol prijatý na štúdium, kde sa naučil všetky veľké úspechy egyptskej filozofie, matematiky a medicíny.
Pravdepodobne v Egypte sa inšpiroval Pytagorasmajestátnosť a krása pyramíd a vytvoril jeho veľkú teóriu. Čitateľov to môže šokovať, ale moderní historici sa domnievajú, že Pythagoras svoju teóriu nedokázal. Svoje znalosti odovzdával iba svojim nasledovníkom, ktorí neskôr dokončili všetky potrebné matematické výpočty.
Nech je to akokoľvek, dnes nie je známy ani jedenspôsob dokazovania tejto vety, ale niekoľko naraz. Dnes zostáva len hádať, ako presne starovekí Gréci urobili svoje výpočty, takže tu zvážime rôzne spôsoby dokazovania Pytagorovej vety.
Pytagorova veta
Pred začatím akýchkoľvek výpočtov musíte zistiť, aká teória sa má dokázať. Pytagorova veta znie: „V trojuholníku s jedným z uhlov rovným 90o„súčet štvorcov nôh je rovný štvorcu prepony“.
Celkovo existuje 15 rôznych spôsobov, ako dokázať Pytagorovu vetu. Jedná sa o pomerne veľký údaj, takže venujme pozornosť tým najobľúbenejším z nich.
Metóda jedna
Najprv si určme, čo nám je dané. Tieto údaje budú platiť pre ďalšie metódy dokazovania Pytagorovej vety, takže by ste si mali okamžite zapamätať všetky dostupné notácie.
Predpokladajme, že je daný pravouhlý trojuholník s nohami a, b a preponou rovnajúcou sa c. Prvá metóda dokazovania je založená na skutočnosti, že musíte nakresliť štvorec z pravouhlého trojuholníka.
Na to potrebujete nohu s dĺžkou anakreslite segment rovný nohe c a naopak. To by malo vytvoriť dve rovnaké strany štvorca. Zostáva iba nakresliť dve rovnobežné čiary a štvorec je pripravený.
Vnútri výsledného tvaru musíte nakresliť viacjeden štvorec so stranou rovnajúcou sa prepone pôvodného trojuholníka. Aby ste to urobili, z vrcholov ac a sv musíte nakresliť dva rovnobežné segmenty rovnajúce sa c. Získame teda tri strany štvorca, z ktorých jedna je prepona pôvodného pravouhlého trojuholníka. Zostáva len dokončiť štvrtý segment.
Na základe výsledného obrázku môžeme dospieť k záveru, že plocha vonkajšieho štvorca je (a + b)2... Ak sa pozriete dovnútra obrázku, vidíte, že okrem vnútorného štvorca obsahuje štyri pravouhlé trojuholníky. Plocha každého z nich sa rovná 0,5 av.
Rozloha je preto: 4 * 0,5av + s2= 2av + s2
Preto (a + b)2= 2av + s2
A preto s2= a2+ v2
Veta je dokázaná.
Metóda dva: podobné trojuholníky
Tento vzorec na dôkaz Pytagorovej vetybol odvodený na základe tvrdenia z časti geometrie o podobných trojuholníkoch. Hovorí sa, že noha pravouhlého trojuholníka je proporcionálnym priemerom prepony a segmentu prepony pochádzajúcich z vrcholu uhla 90.o.
Počiatočné údaje zostávajú rovnaké, takže začnime hneď s dôkazom. Nakreslime segment SD kolmo na stranu AB. Na základe vyššie uvedeného tvrdenia sú nohy trojuholníkov:
AC = √AB * PEKLO, SV = √AB * DV.
Aby sa odpovedalo na otázku, ako dokázať Pytagorovu vetu, dôkaz je potrebné vyplniť tak, že obidve nerovnosti vyložíme.
AC2= AB * PEKLO a SV2= AB * DV
Teraz musíte sčítať výsledné nerovnosti.
AC2+ CB2= AB * (HELL * DV), kde HELL + DV = AB
Ukazuje sa, že:
AC2+ CB2= AB * AB
A preto:
AC2+ CB2= AB2
Dôkaz Pytagorovej vety a rôzne spôsoby jej riešenia vyžadujú všestranný prístup k tomuto problému. Táto možnosť je však jednou z najjednoduchších.
Ďalšia výpočtová technika
Popis rôznych spôsobov dokazovania vetyPythagoras nemusí nič hovoriť, kým nezačneš cvičiť sám. Mnoho techník poskytuje nielen matematické výpočty, ale aj konštrukciu nových figúr z pôvodného trojuholníka.
V tomto prípade je potrebné dokončiť ďalší pravouhlý trojuholník VSD z nohy BC. Teraz teda existujú dva trojuholníky so spoločnou nohou pred naším letopočtom.
S vedomím, že plochy takýchto čísel majú pomer k štvorcom ich podobných lineárnych rozmerov, potom:
Cabc * s2- S.avd* v2 = Savd*ale2- S.vsd*ale2
Cabc*(s2-v2) = a2* (S.avd-Svsd)
s2-v2= a2
s2= a2+ v2
Pretože táto možnosť je sotva vhodná z rôznych spôsobov dokazovania Pytagorovej vety pre 8. ročník, môžete použiť nasledujúcu techniku.
Najľahší spôsob, ako dokázať Pytagorovu vetu. Recenzie
Historici sa domnievajú, že táto metóda bola prvápoužíva sa na dokázanie vety v starovekom Grécku. Je to najjednoduchšie, pretože nevyžaduje absolútne žiadne výpočty. Ak je kresba správne nakreslená, potom dôkaz o tvrdení, že a2+ v2= s2 , bude jasne vidieť.
Podmienky pre túto metódu sa budú mierne líšiť od predchádzajúcej. Na dokázanie vety predpokladajme, že pravouhlý trojuholník ABC je rovnoramenný.
Prepona AC sa berie ako strana štvorca arozdelíme tri jeho strany. Okrem toho je vo výslednom štvorci potrebné nakresliť dve diagonálne čiary. Takže v ňom sú štyri rovnoramenné trojuholníky.
Musíte tiež nakresliť štvorec k nohám AB a CB a do každej z nich nakresliť jednu diagonálnu čiaru. Prvý riadok je nakreslený z vrcholu A, druhý z C.
Teraz sa musíte podrobne pozrieť na výsledný výkres. Pretože na prepone AC sú štyri trojuholníky, ktoré sa rovnajú pôvodnému, a dvom na nohách, hovorí to o pravdivosti tejto vety.
Mimochodom, vďaka tejto metóde dokazovania Pytagorovej vety sa zrodila slávna fráza: „Pytagorské nohavice sú si rovné vo všetkých smeroch“.
Dôkaz J. Garfielda
James Garfield je 20. prezidentom Spojených štátov amerických. Okrem toho, že ako vládca USA zanechal svoju stopu v histórii, bol aj nadaným samoukom.
Na začiatku svojej kariéry bol obyčajnýučiteľ v ľudovej škole, ale čoskoro sa stal riaditeľom jednej z vysokých škôl. Túžba po vlastnom rozvoji mu umožnila navrhnúť novú teóriu na dokázanie Pytagorovej vety. Veta a príklad jej riešenia sú nasledujúce.
Najprv musíte nakresliť dvochpravouhlými trojuholníkmi, takže noha jedného z nich je pokračovaním druhého. Vrcholy týchto trojuholníkov je potrebné spojiť, aby nakoniec vytvorili lichobežník.
Ako viete, plocha lichobežníka sa rovná súčinu polovičného súčtu jeho základní a výšky.
S = a + b / 2 * (a + b)
Ak vezmeme výsledný lichobežník ako postavu pozostávajúcu z troch trojuholníkov, potom jeho plochu nájdete takto:
S = av / 2 * 2 + s2/ 2
Teraz musíte vyrovnať dva pôvodné výrazy
2av / 2 + s / 2 = (a + b)2/ 2
s2= a2+ v2
O Pytagorovej vete a metódach jej dokazovania je možné napísať viac ako jeden zväzok učebnice. Má to však zmysel, keď tieto znalosti nie je možné uplatniť v praxi?
Praktická aplikácia Pytagorovej vety
Bohužiaľ, v moderných školských programochpoužitie tejto vety je poskytnuté iba v geometrických problémoch. Absolventi čoskoro opustia školské múry bez toho, aby vedeli, ako môžu svoje znalosti a zručnosti uplatniť v praxi.
V skutočnosti použite Pythagorovu vetukaždý môže robiť svoj každodenný život. A to nielen pri profesionálnych činnostiach, ale aj pri bežných domácich prácach. Uvažujme o niekoľkých prípadoch, keď môže byť Pytagorova veta a metódy jej dôkazu mimoriadne nevyhnutné.
Spojenie vety a astronómie
Zdá sa, že je možné spájať hviezdy a trojuholníky na papieri. Astronómia je v skutočnosti vedný odbor, v ktorom sa široko používa Pytagorova veta.
Zoberme si napríklad pohyb svetelného lúča v priestore. Je známe, že svetlo sa pohybuje v oboch smeroch rovnakou rýchlosťou. Dráha AB, ktorou sa svetelný lúč pohybuje, sa nazýva l. A polovicu času, ktorý svetlo potrebuje na to, aby sa dostalo z bodu A do bodu B, zavolajme T... A rýchlosť lúča - z. Ukazuje sa, že: c * t = l
Ak sa pozriete na tento lúč z iného uhla pohľadulietadlo, napríklad z vesmírnej vložky, ktorá sa pohybuje rýchlosťou v, potom sa pri takom pozorovaní telies zmení ich rýchlosť. V tomto prípade sa dokonca stacionárne prvky budú pohybovať rýchlosťou v opačnom smere.
Povedzme, že komiksová vložka sa plaví doprava.Potom sa body A a B, medzi ktorými je vrhaný lúč, presunú doľava. Navyše, keď sa lúč pohybuje z bodu A do bodu B, bod A má čas na pohyb, a preto svetlo už dorazí do nového bodu C. Na zistenie polovičnej vzdialenosti, o ktorú sa bod A posunul, musíte vynásobiť rýchlosť vložky o polovicu času jazdy lúča (t ").
d = t "* v
A aby ste zistili, akú vzdialenosť by mohol svetelný lúč za tento čas prejsť, musíte označiť polovicu cesty novým písmenom s a získať nasledujúci výraz:
s = c * t "
Ak si predstavíme, že svetelné body C a B, ako ajpriestorová vložka je vrcholom rovnoramenného trojuholníka, potom ju segment od bodu A k vložke rozdelí na dva pravouhlé trojuholníky. Vďaka Pytagorovej vete preto dokážete nájsť vzdialenosť, ktorú by mohol prejsť lúč svetla.
s2 = l2 + d2
Tento príklad, samozrejme, nie je najlepší, pretože len málokto môže mať šťastie a vyskúšať si ho v praxi. Preto zvážime pozemské aplikácie tejto vety.
Polomer prenosu mobilného signálu
Bez existencie smartfónov si už nemožno predstaviť moderný život. Ale boli by veľmi užitočné, keby sa nemohli spojiť s predplatiteľmi prostredníctvom mobilnej komunikácie?
Kvalita mobilnej komunikácie priamo závisí odv akej výške sa nachádza anténa mobilného operátora. Na výpočet, ako ďaleko môže telefón prijímať signál z mobilnej veže, môžete použiť Pytagorovu vetu.
Povedzme, že musíte nájsť približnú výšku stacionárnej veže, aby mohla šíriť signál v okruhu 200 kilometrov.
AB (výška veže) = x;
Lietadlo (polomer prenosu signálu) = 200 km;
OS (polomer zemegule) = 6380 km;
Odtiaľto
OB = OA + ABOV = r + x
Použitím Pythagorovej vety zistíme, že minimálna výška veže by mala byť 2,3 kilometra.
Pytagorova veta v každodennom živote
Napodiv, Pytagorova veta sa môže ukázať akoužitočné aj pri domácich prácach, ako je napríklad určenie výšky šatníka. Na prvý pohľad nie je potrebné používať také komplexné výpočty, pretože merania môžete jednoducho vykonávať pomocou zvinovacieho metra. Mnohí sú však prekvapení, prečo počas procesu montáže vznikajú určité problémy, ak boli všetky merania urobené viac ako presne.
Faktom je, že šatník sa chystávodorovnej polohe a až potom stúpa a inštaluje sa k stene. Strana skrinky v procese zdvíhania konštrukcie by preto mala voľne prechádzať výškou aj uhlopriečkou miestnosti.
Predpokladajme, že máte šatník s hĺbkou 800 mm.Vzdialenosť od podlahy k stropu je 2 600 mm. Skúsený výrobca nábytku vám povie, že výška skrinky by mala byť o 126 mm menšia ako výška miestnosti. Ale prečo práve 126 mm? Pozrime sa na príklad.
Pri ideálnych rozmeroch skrinky kontrolujeme pôsobenie Pytagorovej vety:
AC = √AB2+ √VS2
AC = √ 24742+8002= 2600 mm - všetko sa zbieha.
Povedzme, že výška skrinky nie je 2474 mm, ale 2505 mm. Potom:
AC = √ 25052+ √ 8002= 2629 mm.
Táto skrinka preto nie je vhodná na inštaláciu v tejto miestnosti. Pretože jeho zdvihnutie do vzpriamenej polohy môže poškodiť jeho telo.
Možno po zvážení rôznych spôsobov dokazovaniateóriu Pythagoras od rôznych vedcov, môžeme konštatovať, že je viac ako pravdivá. Teraz môžete použiť informácie prijaté vo svojom každodennom živote a byť si úplne istí, že všetky výpočty budú nielen užitočné, ale aj správne.
