Ao estudar triângulos, a questão surge involuntariamentesobre como calcular a relação entre seus lados e ângulos. Em geometria, o teorema do cosseno e do seno fornece a resposta mais completa para resolver este problema. Na abundância de várias expressões e fórmulas matemáticas, leis, teoremas e regras, existem aquelas que se distinguem pela extraordinária harmonia, concisão e simplicidade na apresentação do significado nelas contido. O teorema do seno é um excelente exemplo dessa formulação matemática. Se na interpretação verbal também existe um certo obstáculo para a compreensão dessa regra matemática, então, quando você olha para a fórmula matemática, tudo se ajusta imediatamente.
A primeira informação sobre esse teorema foi encontrada na forma de uma prova dele no arcabouço da obra matemática de Nasir ad-Din At-Tusi, datada do século XIII.
Aproximando-se de considerar a relaçãolados e ângulos em qualquer triângulo, é importante notar que o teorema dos senos permite resolver muitos problemas matemáticos, enquanto esta lei da geometria encontra aplicação em vários tipos de prática humana.
O próprio teorema do seno diz que para qualquerum triângulo é caracterizado pela proporcionalidade dos lados aos senos de ângulos opostos. Há também a segunda parte desse teorema, segundo a qual a razão de qualquer lado de um triângulo com o seno do ângulo oposto é igual ao diâmetro de um círculo circunscrito ao triângulo em questão.
Na forma de uma fórmula, esta expressão se parece com
a / sinA = b / sinB = c / sinC = 2R
Possui um teorema da prova de senos, que em várias versões de livros didáticos é oferecido em uma rica variedade de versões.
Como exemplo, considere uma das provas que explicam a primeira parte do teorema. Para isso, propusemo-nos a provar a correcção da expressão um senC = com sinA.
Em um triângulo arbitrário ABC, construa a alturaBH. Em uma das opções de construção, H ficará no segmento AC, e na outra, fora dele, dependendo da magnitude dos ângulos nos vértices dos triângulos. No primeiro caso, a altura pode ser expressa em termos dos ângulos e lados do triângulo, como BH = a senC e BH = c senA, que é a prova necessária.
No caso em que o ponto H está fora do segmento AC, podemos obter as seguintes soluções:
VN = a senC e VN = c sen (180-A) = c senA;
ou VN = a sen (180-C) = a senC e VN = c senA.
Como você pode perceber, independente das opções construtivas, chegamos ao resultado desejado.
A prova da segunda parte do teorema requerpara descrever um círculo ao redor do triângulo. Através de uma das alturas do triângulo, por exemplo B, construa o diâmetro do círculo. Conectamos o ponto obtido no círculo D com um da altura do triângulo, seja o ponto A do triângulo.
Se considerarmos os triângulos resultantes ABD eABC, então você pode ver a igualdade dos ângulos C e D (eles repousam no mesmo arco). E considerando que o ângulo A é igual a noventa graus, então sen D = c / 2R, ou sen C = c / 2R, o que era necessário para provar.
O teorema do seno é o ponto de partida pararesolver uma ampla gama de tarefas diferentes. O seu apelo especial reside na sua aplicação prática, como consequência do teorema, temos a oportunidade de relacionar os valores dos lados do triângulo, ângulos opostos e o raio (diâmetro) do círculo circunscrito ao triângulo. A simplicidade e acessibilidade da fórmula que descreve esta expressão matemática tornou possível usar amplamente este teorema para resolver problemas com a ajuda de vários dispositivos de cálculo mecânico (régua de cálculo, tabelas, etc.), mas mesmo a chegada de dispositivos de computação poderosos a serviço de uma pessoa não reduziu a relevância deste teorema.
Este teorema não está apenas incluído no curso obrigatório de geometria do ensino médio, mas é posteriormente aplicado em alguns ramos da prática.
