Para começar, vale lembrar o que é um diferencial e que significado matemático ele carrega.
O diferencial de uma função é o produto da derivada de uma função do argumento pelo diferencial do próprio argumento. Matematicamente, este conceito pode ser escrito como uma expressão: dy = y "* dx.
Por sua vez, por definição da derivadafunção, a igualdade y "= lim dx-0 (dy / dx) é verdadeira, e por definição do limite, a expressão dy / dx = x" + α, onde o parâmetro α é um valor matemático infinitesimal.
Portanto, ambas as partes da expressão devem ser multiplicadaspor dx, que em última análise dá dy = y "* dx + α * dx, onde dx é uma mudança infinitamente pequena no argumento, (α * dx) é um valor que pode ser desprezado, então dy é o incremento da função, e ( y * dx) é a parte principal do incremento ou diferencial.
O diferencial de uma função é o produto da derivada de uma função pelo diferencial do argumento.
Agora, vale a pena considerar as regras básicas de diferenciação, que costumam ser usadas em análises matemáticas.
Teorema. A derivada da soma é igual à soma das derivadas obtidas dos termos: (a + c) "= a" + c ".
Esta regra será aplicada de maneira semelhante para encontrar a derivada da diferença.
Uma consequência dessa regra de diferenciação é a afirmação de que a derivada de um certo número de termos é igual à soma das derivadas obtidas a partir desses termos.
Por exemplo, se você precisar encontrar a derivada da expressão (a + c-k) ", o resultado será a expressão a" + c "-k".
Teorema. Derivada do produto de funções matemáticas,diferenciável em um ponto, é igual à soma que consiste no produto do primeiro fator pela derivada do segundo e o produto do segundo fator pela derivada do primeiro.
Matematicamente, o teorema será escrito da seguinte formaforma: (a * c) "= a * c" + a "* c. A consequência do teorema é a conclusão de que o fator constante na derivada do produto pode ser tomado como a derivada da função.
Na forma de uma expressão algébrica, esta regra será escrita da seguinte forma: (a * c) "= a * c", onde a = const.
Por exemplo, se você precisar encontrar a derivada da expressão (2à3) ", o resultado será a resposta: 2 * (à3)" = 2 * 3 * a2 = 6 * a2.
Teorema. A derivada da razão das funções é igual à razão entre a diferença entre a derivada do numerador multiplicada pelo denominador e o numerador multiplicado pela derivada do denominador e o quadrado do denominador.
Matematicamente, o teorema será escrito da seguinte forma: (a / c) "= (a" * c-a * c ") / c2.
Em conclusão, é necessário considerar as regras para diferenciar funções complexas.
Teorema. Se a função y = f (x), onde x = c (t), for dada, a função y, em relação à variável m, é chamada de complexa.
Assim, na análise matemáticaa derivada de uma função complexa é interpretada como a derivada da própria função, multiplicada pela derivada de sua subfunção. Por conveniência, as regras para diferenciar funções complexas são apresentadas na forma de uma tabela.
f (x) | f"(x) |
| (1 / s) " | - (1 / s2)*a partir de" |
| (ecom) " | umcom* (ln a) * c " |
| (ecom) " | ecom*a partir de" |
| (ln c) " | (1 / s) * s " |
| (log acom) " | 1 / (c * lg a) * c " |
| (sin c) " | cos c * c " |
| (cos c) " | -sin c * c " |
Com o uso regular desta tabeladerivados são fáceis de lembrar. O resto das derivadas de funções complexas podem ser encontradas aplicando-se as regras para funções de diferenciação, que foram apresentadas nos teoremas e seus corolários.
