Método de iteração simples para resolver sistemas de equações lineares (SLAE)

Método de iteração simples, também chamado de métodoaproximação sucessiva é um algoritmo matemático para encontrar o valor de uma quantidade desconhecida por seu refinamento gradual. A essência deste método é que, como o próprio nome indica, exprimindo gradativamente os subsequentes a partir da aproximação inicial, resultados cada vez mais apurados são obtidos. Este método é usado para encontrar o valor de uma variável em uma determinada função, bem como na resolução de sistemas de equações, tanto lineares quanto não lineares.

Vamos considerar como esse método é implementado ao resolver um SLAE. O método de iteração simples tem o seguinte algoritmo:

1.Verificar o cumprimento da condição de convergência na matriz original. Teorema de convergência: se a matriz inicial do sistema tem uma dominância diagonal (ou seja, em cada linha, os elementos da diagonal principal devem ser maiores em módulo do que a soma dos elementos do módulo das diagonais secundárias), então o método do simples iterações é convergente.

2A matriz do sistema original nem sempre tem uma predominância diagonal. Nesses casos, o sistema pode ser convertido. As equações que satisfazem a condição de convergência são deixadas intactas e, com aquelas que não as satisfazem, formam combinações lineares, ou seja, multiplique, subtraia, some as equações até que o resultado desejado seja obtido.

Se no sistema resultante na diagonal principal houver coeficientes inconvenientes, os termos da forma com_e* x_eu, cujos sinais devem coincidir com os sinais dos elementos diagonais.

3. Conversão do sistema resultante para sua forma normal:

com^-= β^-+ α * x^-

Isso pode ser feito de várias maneiras, por exemplo, como este: a partir da primeira equação, expresse x₁ através de outras incógnitas, a partir do segundo - x₂, do terceiro - x₃ etc. Nesse caso, usamos as fórmulas:

α_{eu j}= - (a_{eu j} / uma_ii)

_e= b_e/ uma_ii
Deve-se verificar novamente se o sistema resultante da forma normal atende à condição de convergência:

∑ (j = 1) | α_{eu j}| ≤ 1, enquanto i = 1,2, ... n

4. Começamos a aplicar, de fato, o próprio método das aproximações sucessivas.

com⁽⁰⁾é a aproximação inicial, expressamos por meio dela x⁽¹⁾, então através de x⁽¹⁾ expresso x⁽²⁾... A fórmula geral na forma de matriz é semelhante a esta:

com⁽ⁿ⁾= β^-+ α * x^(n-1)

Calculamos até atingirmos a precisão necessária:

max | x_e(k) -x_e(k + 1) ≤ ε

Portanto, vamos colocar o método de iteração simples em prática. Exemplo:
Resolva SLAE:

4,5x1-1,7x2 + 3,5x3 = 2
3,1x1 + 2,3x2-1,1x3 = 1
1,8x1 + 2,5x2 + 4,7x3 = 4 com precisão ε = 10^-3

Vamos ver se os elementos diagonais prevalecem no módulo.

Vemos que apenas a terceira equação satisfaz a condição de convergência. Transformamos o primeiro e o segundo, adicionamos o segundo à primeira equação:

7,6x1 + 0,6x2 + 2,4x3 = 3

Subtraia o primeiro do terceiro:

-2,7x1 + 4,2x2 + 1,2x3 = 2

Convertemos o sistema original em um equivalente:

7,6x1 + 0,6x2 + 2,4x3 = 3
-2,7x1 + 4,2x2 + 1,2x3 = 2
1,8x1 + 2,5x2 + 4,7x3 = 4

Agora vamos trazer o sistema de volta ao normal:

x1 = 0,3947-0,0789x2-0,3158x3
x2 = 0,4762 + 0,6429x1-0,2857x3
x3 = 0,8511-0,383x1-0,5319x2

Verificando a convergência do processo iterativo:

0,0789 + 0,3158 = 0,3947 ≤ 1
0,6429 + 0,2857 = 0,9286 ≤ 1
0,383+ 0,5319 = 0,9149 ≤ 1, ou seja a condição é atendida.

0,3947
Aproximação inicial x⁽⁰⁾ = 0,4762
0,8511

Substituindo esses valores na equação de forma normal, obtemos os seguintes valores:

0,08835
com⁽¹⁾= 0,486793
0,446639

Substituindo novos valores, obtemos:

0,215243
com⁽²⁾= 0,405396
0,558336

Continuamos os cálculos até chegar mais perto dos valores que satisfaçam a condição dada.

0,18813

com⁽⁷⁾= 0,441091

0,544319

0,188002

com^(oito) = 0,44164

0,544428

Vamos verificar a exatidão dos resultados obtidos:

4,5 * 0,1880 -1,7 * 0,441 + 3,5 * 0,544 = 2,0003
3,1 * 0,1880 + 2,3 * 0,441-1,1x * 0,544 = 0,9987
1,8 * 0,1880 + 2,5 * 0,441 + 4,7 * 0,544 = 3,9977

Os resultados obtidos substituindo os valores encontrados nas equações originais satisfazem totalmente as condições da equação.

Como podemos ver, o método de iteração simples fornece resultados bastante precisos, mas tivemos que gastar muito tempo e cálculos complicados para resolver essa equação.