O método de Cramer é um dos métodos exatossoluções de sistemas de equações algébricas lineares (SLAE). Sua precisão se deve ao uso de determinantes da matriz do sistema, bem como a algumas restrições impostas durante a prova do teorema.
Um sistema de equações algébricas lineares com coeficientes pertencentes, por exemplo, ao conjunto R - números reais, em incógnitas x1, x2, ..., xn é um conjunto de expressões da forma
ai2 x1 + ai2 x2 + ... ain xn = bi para i = 1, 2, ..., m, (1)
onde aij, bi são números reais. Cada uma dessas expressões é chamada de equação linear, aij - coeficientes de incógnitas, coeficientes bi-livres de equações.
O vetor n-dimensional x ° = (x1 °, x2 °, ..., xn °) é chamado de solução para o sistema (1), quando substituído no sistema em vez das incógnitas x1, x2, ..., xn , cada uma das linhas do sistema se torna a verdadeira igualdade ...
Um sistema é denominado consistente se tiver pelo menos uma solução e inconsistente se seu conjunto de soluções coincidir com o conjunto vazio.
Deve ser lembrado que, a fim de encontrarresolvendo sistemas de equações algébricas lineares usando o método de Cramer, as matrizes dos sistemas devem ser quadradas, o que significa essencialmente o mesmo número de incógnitas e equações no sistema.
Então, para usar o método de Cramer,é necessário pelo menos saber o que é uma matriz de sistemas de equações algébricas lineares e como ela é escrita. E em segundo lugar, entender o que se chama de determinante da matriz e ter as habilidades para calculá-lo.
Vamos supor que você tenha esse conhecimento.Excelente! Depois, basta lembrar as fórmulas que definem o método de Cramer. Para simplificar a memorização, usaremos a seguinte notação:
Det é o principal determinante da matriz do sistema;
deti é o determinante da matriz obtida a partir dea matriz principal do sistema, se substituirmos a i-ésima coluna da matriz por um vetor coluna, cujos elementos são os lados direitos dos sistemas de equações algébricas lineares;
n é o número de incógnitas e equações no sistema.
Então a regra de Cramer para calcular o i-ésimo componente xi (i = 1, .. n) de um vetor n-dimensional x pode ser escrita como
xi = deti / Det, (2).
Nesse caso, Det é estritamente diferente de zero.
A singularidade da solução para o sistema sobcompatibilidade fornece a condição de que o determinante principal do sistema não seja igual a zero. Caso contrário, se a soma (xi) ao quadrado for estritamente positiva, a SLAE com uma matriz quadrada será inconsistente. Isso pode acontecer, em particular, quando pelo menos um dos deti é diferente de zero.
Exemplo 1... Resolva o sistema LAU tridimensional usando as fórmulas de Cramer.
x1 + 2 x2 + 4 x3 = 31,
5 x1 + x2 + 2 x3 = 29,
3 x1 - x2 + x3 = 10.
Decisão. Vamos escrever a matriz do sistema linha por linha, onde Ai é a i-ésima linha da matriz.
A1 = (1 2 4), A2 = (5 1 2), A3 = (3 –1 1).
Coluna de probabilidades livres b = (31 29 10).
O principal determinante Det do sistema é
Det = a11 a22 a33 + a12 a23 a31 + a31 a21 a32 - a13 a22 a31 - a11 a32 a23 - a33 a21 a12 = 1 - 20 + 12 - 12 + 2 - 10 = –27.
Para calcular det1, usamos a substituição a11 = b1, a21 = b2, a31 = b3. Então
det1 = b1 a22 a33 + a12 a23 b3 + a31 b2 a32 - a13 a22 b3 - b1 a32 a23 - a33 b2 a12 = ... = –81.
Da mesma forma, para calcular det2, usamos a substituição a12 = b1, a22 = b2, a32 = b3 e, consequentemente, para calcular det3 - a13 = b1, a23 = b2, a33 = b3.
Então você pode verificar se det2 = –108 e det3 = - 135.
De acordo com as fórmulas de Cramer, encontramos x1 = -81 / (- 27) = 3, x2 = -108 / (- 27) = 4, x3 = -135 / (- 27) = 5.
Responda: x ° = (3,4,5).
Com base nas condições de aplicabilidade desta regra,O método de Cramer para resolver sistemas de equações lineares pode ser usado indiretamente, por exemplo, a fim de investigar o sistema para o número possível de soluções dependendo do valor de um determinado parâmetro k.
Exemplo 2. Determine para quais valores do parâmetro k a inequação | kx - y - 4 | + | x + ky + 4 | <= 0 tem exatamente uma solução.
Decisão.
Essa desigualdade, devido à definição do módulofunções podem ser executadas somente se ambas as expressões forem iguais a zero ao mesmo tempo. Portanto, este problema se reduz a encontrar uma solução para o sistema linear de equações algébricas.
kx - y = 4,
x + ky = –4.
A solução deste sistema é única se seu principal determinante
Det = k ^ {2} + 1 é diferente de zero. Obviamente, essa condição é satisfeita para todos os valores reais do parâmetro k.
Responda: para todos os valores reais do parâmetro k.
Muitos problemas práticos do campo da matemática, física ou química também podem ser reduzidos a problemas deste tipo.
