Kognityviniai faktai apie viską / Išsilavinimas: / Lygiašonio trapecijos įstrižainė. Kokia yra trapecijos vidurinė linija. Trapecijos tipai. Trapecija yra ..

Lygiašonės trapecijos įstrižainė. Kokia yra trapecijos vidurinė linija. Trapecijos tipai. Trapecijos yra ..

Trapecija yra ypatingas keturkampio atvejis, ykuri viena šonų pora yra lygiagreti. Terminas „trapecija“ kilęs iš graikų kalbos žodžio τράπεζα, reiškiančio „stalas“, „stalas“. Šiame straipsnyje mes apžvelgsime trapecijos rūšis ir jos savybes. Be to, mes išsiaiškinsime, kaip apskaičiuoti atskirus šios geometrinės figūros elementus. Pavyzdžiui, lygiakraščio trapecijos įstrižainė, vidurio linija, plotas ir kt. Medžiaga pateikiama pagal elementarios populiariosios geometrijos stilių, tai yra lengvai prieinama forma.

Bendra informacija

Pirmiausia išsiaiškinkime, kas yraketurkampis. Ši forma yra ypatingas daugiakampio, kurio keturios kraštinės ir keturios viršūnės, atvejis. Dvi keturkampio viršūnės, kurios nėra gretimos, vadinamos priešingomis. Tą patį galima pasakyti ir apie dvi gretimas puses. Pagrindiniai keturkampių tipai yra lygiagretainis, stačiakampis, rombas, kvadratas, trapecija ir deltinė.

Taigi, grįžkime prie trapecijos.Kaip sakėme, šis skaičius turi dvi lygiagrečias puses. Jie vadinami bazėmis. Kiti du (nelygūs) yra šonai. Egzaminų ir įvairių testų medžiagoje labai dažnai galite rasti su trapecijomis susijusių užduočių, kurias sprendžiant studentas dažnai reikalauja žinių, kurių nenumato programa. Mokyklos geometrijos kursuose studentai supažindinami su kampų ir įstrižainių savybėmis, taip pat su lygiakraščio trapecijos vidurio linija. Bet be to, minėta geometrinė figūra turi ir kitų bruožų. Bet apie juos šiek tiek vėliau ...

Trapecijos tipai

Yra daugybė šio paveikslo tipų. Tačiau dažniausiai įprasta atsižvelgti į du iš jų - lygiašonius ir stačiakampius.

1. Stačiakampė trapecija yra figūra, kurioje viena iš šoninių pusių yra statmena pagrindams. Du jos kampai visada lygūs devyniasdešimt laipsnių.

2. Lygiašonė trapecija yra geometrinė figūra, kurios kraštinės yra lygios viena kitai. Tai reiškia, kad kampai prie pagrindų taip pat poromis lygūs.

Pagrindiniai trapecijos savybių tyrimo metodikos principai

Pagrindinis principas yravadinamasis užduočių metodas. Tiesą sakant, į teorinę geometrijos eigą nereikia įvesti naujų šios figūros savybių. Jas galima atidaryti ir suformuluoti sprendžiant įvairias problemas (geriau nei sistemines). Tuo pačiu metu labai svarbu, kad mokytojas žinotų, kokias užduotis reikia skirti moksleiviams vienu ar kitu ugdymo proceso metu. Be to, kiekviena trapecijos savybė gali būti pateikiama kaip pagrindinė užduotis užduočių sistemoje.

Antrasis principas yra vadinamasisspiralinis „puikių“ trapecijos savybių tyrimo organizavimas. Tai reiškia, kad mokymosi procese grįžtama prie tam tikros geometrinės figūros atskirų savybių. Tai padeda besimokantiesiems juos lengviau įsiminti. Pavyzdžiui, keturių taškų savybė. Tai galima įrodyti tiek tiriant panašumą, tiek vėliau naudojant vektorius. Trikampių, esančių greta šoninių paveikslo kraštų, vienodą dydį galima įrodyti taikant ne tik vienodo aukščio trikampių, nubrėžtų į šonus, esančius vienoje tiesėje, savybes, bet ir naudojant formulę S = 1/2 (ab * sinα). Be to, galite išsiaiškinti sinusų teoremą ant užrašyto trapecijos arba stačiakampio trikampio ant aprašyto trapecijos ir kt.

„Ne programos“ funkcijų taikymasgeometrinė figūra mokyklos kurso turinyje yra užduočių technologija jiems mokyti. Nuolatinis patrauklumas tirtoms savybėms, kai perduodamos kitos temos, leidžia studentams giliau suprasti trapeciją ir užtikrina pavestų užduočių sprendimo sėkmę. Taigi, pradėkime studijuoti šią nuostabią figūrą.

Lygiašonio trapecijos elementai ir savybės

Kaip jau pažymėjome, ši geometrinėskaičiai šonuose yra lygūs. Jis taip pat žinomas kaip įprastas trapecijos formos. Kodėl jis toks nuostabus ir kodėl gavo tokį vardą? Šios figūros ypatumai yra tai, kad jis turi vienodus kraštus ir kampus prie pagrindų, bet ir įstrižas. Be to, lygiakraščio trapecijos kampų suma yra 360 laipsnių. Bet tai dar ne viskas! Iš visų žinomų trapecijų apskritimą galima apibūdinti tik aplink lygiašonį. Taip yra dėl to, kad priešingų šios figūros kampų suma yra 180 laipsnių, ir tik esant šiai sąlygai galima apibūdinti apskritimą aplink keturkampį. Kita nagrinėjamos geometrinės figūros savybė yra ta, kad atstumas nuo pagrindo viršaus iki priešingos viršūnės projekcijos tiesėje, kurioje yra ši pagrindas, bus lygus vidurinei linijai.

Dabar išsiaiškinkime, kaip rasti lygiašonio trapecijos kampus. Apsvarstykite šios problemos sprendimą, jei žinomi paveikslo šonų matmenys.

Sprendimas

Paprastai keturkampis paprastai žymimasraidės A, B, C, D, kur BS ir AD yra pagrindai. Lygiašonio trapecijos kraštinės yra lygios. Mes manysime, kad jų dydis yra lygus X, o pagrindų dydžiai yra lygūs Y ir Z (atitinkamai mažesni ir didesni). Norint atlikti skaičiavimą, reikia nupiešti aukštį N. nuo kampo B. Rezultatas yra stačiakampis trikampis ABN, kur AB yra hipotenuzė, o BN ir AH yra kojos. Apskaičiuojame kojos AH dydį: iš didesnio pagrindo atimame mažesnįjį ir padalijame rezultatą iš 2. Parašome jį formulės forma: (ZY) / 2 = F. Dabar, norėdami apskaičiuoti aštrųjį kampą trikampio, mes naudojame cos funkciją. Gauname tokį įrašą: cos (β) = X / F. Dabar apskaičiuojame kampą: β = arcos (X / F). Toliau, žinodami vieną kampą, galime nustatyti antrąjį, tam atliekame elementarią aritmetinę operaciją: 180 - β. Visi kampai yra apibrėžti.

Taip pat yra antras šios problemos sprendimas.Pradžioje nuo kampo nuleidžiame N. aukštį.Suskaičiuokite kojos BN vertę. Mes žinome, kad stačiakampio trikampio hipotenuzės kvadratas yra lygus kojų kvadratų sumai. Gauname: BN = √ (X2-F2). Toliau mes naudojame trigonometrinę funkciją tg. Dėl to turime: β = arktanas (BN / F). Rastas aštrus kampas. Toliau mes apibrėžiame tylų kampą taip pat, kaip ir pirmuoju metodu.

Lygiašonio trapecijos įstrižainių savybė

Pirmiausia surašykime keturias taisykles. Jei lygiakraščio trapecijos įstrižainės yra statmenos, tada:

- figūros aukštis bus lygus pagrindų sumai, padalytai iš dviejų;

- jo aukštis ir vidurinė linija yra vienodi;

- trapecijos plotas bus lygus aukščio kvadratui (vidurinė linija, pusė pagrindų sumos);

- įstrižainės kvadratas yra lygus pusei pagrindų sumos kvadrato arba dvigubai vidurinės linijos (aukščio) kvadratui.

Dabar apsvarstykite formules, kurios nustato lygiašonio trapecijos įstrižainę. Šį informacijos bloką galima apytiksliai suskirstyti į keturias dalis:

1. Įstrižainės ilgio formulė pagal šonus.

Manome, kad A yra apatinė bazė, B yra viršutinė dalis, C yra lygios pusės, D yra įstrižainė. Tokiu atveju ilgį galima nustatyti taip:

D = √ (C2 + A * B).

2. Formos įstrižainės ilgiui pagal kosinuso teoremą.

Mes pripažįstame, kad A yra apatinė bazė, B yra viršutinė,C - lygios kraštinės, D - įstrižainės, α (apatinėje dalyje) ir β (viršutinėje dalyje) - trapecijos kampai. Gauname šias formules, kurias galima naudoti norint apskaičiuoti įstrižainės ilgį:

- D = √ (A2 + C2-2A * C * cosα);

- D = √ (A2 + C2-2A * C * cosβ);

- D = √ (B2 + C2-2B * C * cosβ);

- D = √ (B2 + C2-2B * C * cosα).

3. Lygiašonio trapecijos įstrižainių ilgio formulės.

Manome, kad A yra apatinė bazė, B yra viršutinė dalis, D yra įstrižainė, M yra vidurinė linija, H yra aukštis, P yra trapecijos plotas, α ir β yra kampai tarp įstrižainių. Mes nustatome ilgį pagal šias formules:

- D = √ (M2 + H2);

- D = √ (H2 + (A + B) 2/4);

- D = √ (H (A + B) / sinα) = √ (2P / sinα) = √ (2M * H / sinα).

Šiuo atveju lygybė yra teisinga: sinα = sinβ.

4. Įstrižainės ilgio formulės pagal kraštus ir aukštį.

Manome, kad A yra apatinis pagrindas, B yra viršus, C yra šonai, D yra įstrižainė, H yra aukštis, α yra kampas apačioje.

Mes nustatome ilgį pagal šias formules:

- D = √ (H2 + (A-P * ctgα) 2);

- D = √ (H2 + (B + P * ctgα) 2);

- D = √ (A2 + C2-2A * √ (C2-H2)).

Stačiakampio trapecijos elementai ir savybės

Pažvelkime, kas įdomu šioje geometrinėje figūroje. Kaip sakėme, stačiakampio formos trapecija turi du stačius kampus.

Be klasikinio apibrėžimo, yra irkiti. Pavyzdžiui, stačiakampė trapecija yra trapecija, kurios viena pusė yra statmena jos pagrindams. Arba figūra stačiu kampu šoninėje pusėje. Šio tipo trapecijos aukštis lygus šoninei pusei, kuri yra statmena pagrindams. Vidurinė linija yra linijos segmentas, jungiantis abiejų pusių vidurio taškus. Minėto elemento savybė yra ta, kad jis yra lygiagretus pagrindams ir yra lygus pusei jų sumos.

Pažvelkime į pagrindines formules,apibrėždamas šią geometrinę figūrą. Tam manome, kad A ir B yra pamatai; C (statmenas pagrindams) ir D - stačiakampio trapecijos kraštai, M - vidurinė linija, α - aštrusis kampas, P - plotas.

vienas.Šoninė kraštinė, statmena pagrindams, yra lygi figūros aukščiui (C = H) ir lygi antrosios šoninės D ilgio ir kampo α sinuso sandaugai su didesniu pagrindu ( C = D * sinα). Be to, ji lygi ūmaus kampo α liestinės ir bazių skirtumo sandaugai: C = (A-B) * tgα.

2. Šoninė kraštinė D (ne statmena pagrindams) yra lygi aštriojo kampo skirtumo tarp A ir B ir kosinumo (α) dalijimui arba paveikslo H aukščio ir sinuso daliniui. smailusis kampas: D = (AB) / cos α = C / sinα.

3. Šoninė kraštinė, statmena pagrindams, lygi kvadrato D kvadrato šaknei - antroji kraštinė - ir skirtumo tarp pagrindų kvadratui:

C = √ (D2- (A-B) 2).

4. Stačiakampio trapecijos D kraštas lygus kraštinės C kvadrato ir skirtumo tarp geometrinės figūros pagrindų sumos kvadrato šaknei: D = √ (C2 + (A-B) 2).

5. C kraštas lygus dvigubo ploto padalijimo iš jo bazių sumai dalimi: C = P / M = 2P / (A + B).

6. Plotas nustatomas sandauga M (stačiakampio trapecijos vidurinė linija) pagal aukštį arba šoną, statmeną pagrindams: P = M * H = M * C.

7. C kraštas yra lygus dvigubo paveikslo ploto dalijimo iš smailiojo kampo sinuso ir jo pagrindų sumos sandaugai: C = P / M * sinα = 2P / ((A + B) * sinα).

8. Stačiakampio trapecijos šoninės pusės per įstrižas ir kampo tarp jų formulės:

- sinα = sinβ;

- C = (D1 * D2 / (A + B)) * sinα = (D1 * D2 / (A + B)) * sinβ,

kur D1 ir D2 yra trapecijos įstrižainės; α ir β yra kampai tarp jų.

9. Šoninės pusės per kampą apatinėje pagrindo ir kitų pusių formulės: D = (A-B) / cosα = C / sinα = H / sinα.

Kadangi stačiojo kampo trapecija yra ypatingas trapecijos atvejis, likusios šias figūras apibrėžiančios formulės atitiks stačiakampę.

Užrašytos apskritimo savybės

Jei sąlyga sako, kad apskritimas įbrėžtas stačiakampio formos trapecijoje, galima naudoti šias savybes:

- pagrindų suma lygi šonų sumai;

- atstumai nuo stačiakampio formos viršaus iki įbrėžto apskritimo liestinės taškų visada yra vienodi;

- trapecijos aukštis lygus šoninei pusei, statmenai pagrindams, ir lygus apskritimo skersmeniui;

- apskritimo centras yra taškas, kuriame susikerta kampų puslankiai;

- jei šoninė pusė prisilietimo tašku padalijama į segmentus H ir M, tada apskritimo spindulys yra lygus šių segmentų sandaugos kvadratinei šakniai;

- keturkampis, suformuotas sąlyčio taškų, trapecijos viršūnės ir įbrėžto apskritimo centro - tai kvadratas, kurio kraštinė lygi spinduliui;

- figūros plotas yra lygus pagrindų sandaugai ir pagrindų pusės sumos sandaugai pagal jo aukštį.

Panaši trapecija

Ši tema yra labai patogu tirti savybes.šią geometrinę figūrą. Pavyzdžiui, įstrižainės padalija trapeciją į keturis trikampius, o gretimi pagrindai yra panašūs, o šonai lygūs. Šį teiginį galima pavadinti trikampių, į kuriuos trapecija padalijama įstrižainėmis, savybe. Pirmoji šio teiginio dalis įrodoma per panašumo ženklą dviem kampais. Norėdami įrodyti antrąją dalį, geriau naudoti žemiau pateiktą metodą.

Teoremos įrodymas

Mes sutinkame, kad ABSD skaičius (BP ir BS yra pagrindaitrapecija) dalijama iš VD ir AC įstrižainių. Jų susikirtimo taškas yra O. Gauname keturis trikampius: AOS - apatinėje, BOS - viršutinėje, ABO ir SOD šoninėse pusėse. Trikampiai SOD ir BFB turi bendrą aukštį, jei jų pagrindai yra segmentai BO ir OD. Gauname, kad skirtumas tarp jų plotų (P) yra lygus skirtumui tarp šių segmentų: PBOS / PSOD = BO / OD = K. Todėl PSOD = PBOS / K. Taip pat trikampiai BFB ir AOB turi bendrą aukštį. Mes imame segmentus SB ir OA pagal jų bazes. Gauname PBOS / PAOB = SO / OA = K ir PAOB = PBOS / K. Iš to seka, kad PSOD = PAOB.

Norėdami konsoliduoti medžiagą, rekomenduojama studentamssuraskite santykį tarp gautų trikampių, į kuriuos trapecija padalijama įstrižainėmis, plotų, išsprendžiant šią problemą. Yra žinoma, kad biologinio grįžtamojo ryšio ir AOD trikampių plotai yra vienodi; būtina rasti trapecijos plotą. Kadangi PSOD = PAOB, tai reiškia, kad PABSD = PBOS + PAOD + 2 * PSOD. Iš trikampių BFB ir AOD panašumo matyti, kad BO / OD = √ (PBOS / PAOD). Todėl PBOS / PSOD = BO / OD = √ (PBOS / PAOD). Gauname PSOD = √ (PBOS * PAOD). Tada PABSD = PBOS + PAOD + 2 * √ (PBOS * PAOD) = (√ PSOS + √ PAOD) 2.

Panašumo savybės

Toliau plėtojant šią temą galima įrodyti irkitos įdomios trapecijos savybės. Taigi, naudojant panašumą, galima įrodyti segmento, einančio per tašką, suformuotą susikirtus šios geometrinės figūros įstrižainėms, lygiagrečią pagrindams, savybę. Norėdami tai padaryti, išspręsime šią problemą: būtina rasti atkarpos RK ilgį, einantį per tašką O. Iš trikampių AOD ir BFB panašumo išplaukia, kad AO / OS = AD / BS . Iš trikampių AOR ir ASB panašumo išplaukia, kad AO / AC = RO / BS = HELL / (BS + HELL). Iš čia gauname, kad RO = BS * HELL / (BS + HELL). Panašiai iš trikampių DOK ir DBS panašumo daroma išvada, kad OK = BS * HELL / (BS + HELL). Iš čia gauname, kad RO = GERAI ir RK = 2 * BS * PRABAGA / (BS + PRABAGA). Segmentas, einantis per įstrižainių susikirtimo tašką, lygiagretus pagrindams ir jungiantis abi puses, susikirtimo tašku perpus sumažėja. Jo ilgis yra figūros pagrindo harmoninis vidurkis.

Apsvarstykite šią trapecijos kokybę, kurivadinama keturių taškų savybe. Įstrižainių (O) susikirtimo taškai, šoninių šonų pratęsimo sankirtos (E), taip pat pagrindų vidurio taškai (T ir G) visada yra toje pačioje tiesėje. Tai lengvai įrodo panašumo metodas. Gauti trikampiai BES ir AED yra panašūs, ir kiekviename iš jų medianos ET ir EZ kampą ties E viršūne padalija į lygias dalis. Taigi taškai E, T ir Ж yra vienoje tiesėje. Tuo pačiu būdu taškai T, O ir Zh yra vienoje tiesėje. Visa tai išplaukia iš trikampių BFB ir AOD panašumo. Iš to darome išvadą, kad visi keturi taškai - E, T, O ir F - bus tiesūs.

Naudojant tokius trapecijas, galima pasiūlytistudentų randa atkarpos ilgį (LF), kuris padalija figūrą į dvi panašias. Šis segmentas turi būti lygiagretus pagrindams. Kadangi gauti trapecijos ALPD ir LBSF yra panašūs, tada BS / LF = LF / BP. Iš to seka, kad LF = √ (BS * HELL). Gauname, kad trapeciją į dvi panašias dalijančio segmento ilgis lygus figūros pagrindų ilgių geometriniam vidurkiui.

Apsvarstykite šią panašumo savybę.Jis pagrįstas segmentu, kuris padalija trapeciją į dvi vienodo dydžio figūras. Darome prielaidą, kad ABSD trapecija yra padalyta segmentu ЕН į dvi panašias. Nuo B viršūnės nuleidžiamas aukštis, kuris padalinamas iš segmento EH į dvi dalis - B1 ir B2. Gauname: PABSD / 2 = (BS + EH) * B1 / 2 = (HELL + EH) * B2 / 2 ir PABSD = (BS + HELL) * (B1 + B2) / 2. Tada sukursime sistemą, kurios pirmoji lygtis yra (BS + EH) * B1 = (AD + EH) * B2, o antroji (BS + EH) * B1 = (BS + HELL) * (B1 + B2) / 2. Iš to seka, kad B2 / B1 = (BS + EH) / (AD + EH) ir BS + EH = ((BS + HELL) / 2) * (1 + B2 / B1). Gauname, kad segmento, dalijančio trapeciją į du vienodus dydžius, ilgis yra lygus pagrindų ilgių vidutiniam kvadratui: √ ((BS2 + AD2) / 2).

Panašumo išvados

Taigi mes įrodėme, kad:

1. Segmentas, jungiantis trapecijos šoninių pusių vidurio taškus, yra lygiagretus BP ir BS ir yra lygus BS ir BP aritmetiniam vidurkiui (trapecijos pagrindo ilgiui).

2. Tiesė, einanti per įstrižainių sankirtos tašką O, lygiagreti HELL ir BS, bus lygi HELL ir BS skaičių harmoniniam vidurkiui (2 * BS * HELL / (BS + HELL)).

3. Trapeciją į panašias dalijantis segmentas turi BS ir BP pagrindų geometrinio vidurkio ilgį.

4. Elementas, padalijantis figūrą į du vienodus dydžius, turi vidutinių BP ir BS kvadratinių skaičių ilgį.

Norėdami įtvirtinti medžiagą ir suprasti ryšį tarptirtus segmentus, studentas turi juos pastatyti konkrečiam trapecijos formos. Jis gali lengvai parodyti vidurinę liniją ir atkarpą, einančią per tašką O - figūros įstrižainių sankirtą - lygiagrečią pagrindams. Bet kur bus trečias ir ketvirtas? Šis atsakymas paskatins studentą atrasti norimą santykį tarp vidurkių.

Segmentas, jungiantis trapecijos įstrižainių vidurio taškus

Apsvarstykite šią šio paveikslo savybę.Manome, kad segmentas MH yra lygiagretus pagrindams ir dalija įstrižas per pusę. Susikirtimo taškai bus vadinami Ш ir Ш. Šis segmentas bus lygus bazių pusės skirtumui. Pažvelkime į tai atidžiau. MSh - vidurinė ABS trikampio linija, ji lygi BS / 2. MCh yra ABD trikampio vidurinė linija, ji lygi BP / 2. Tada gauname, kad SHSH = MSH-MSH, todėl SHSH = HELL / 2-BS / 2 = (HELL + VS) / 2.

Gravitacijos centras

Pažiūrėkime, kaip tai nustatomašis elementas pagal pateiktą geometrinę figūrą. Norėdami tai padaryti, būtina išplėsti pagrindus priešingomis kryptimis. Ką tai reiškia? Apatinį būtina pridėti prie viršutinio pagrindo - iš abiejų pusių, pavyzdžiui, į dešinę. Ir pratęskite apatinę viršutinės dalies ilgiu į kairę. Tada mes sujungiame juos su įstriža. Šio segmento susikirtimo su vidurine paveikslo linija taškas yra trapecijos svorio centras.

Užrašyti ir aprašyti trapecijos

Išvardinkime tokių figūrų ypatybes:

1. Trapeciją galima įbrėžti į apskritimą tik tuo atveju, jei ji yra lygiašonis.

2. Trapeciją galima apibūdinti aplink apskritimą, jei jų pagrindų ilgių suma yra lygi šoninių kraštinių ilgių sumai.

Užrašyto apskritimo pasekmės:

1. Aprašyto trapecijos aukštis visada lygus dviem spinduliams.

2. Apibūdinto trapecijos šoninė pusė stebima nuo apskritimo centro stačiu kampu.

Pirmasis padarinys akivaizdus, bet įrodymuiantrasis reikalingas norint nustatyti, ar SOD kampas yra teisingas, o tai iš tikrųjų taip pat nebus sunku. Bet šios savybės žinojimas leis jums naudoti stačiakampį trikampį sprendžiant problemas.

Dabar konkretizuokime šias pasekmeslygiašonė trapecija, kuri užrašyta ratu. Gauname, kad aukštis yra geometrinis figūros pagrindo vidurkis: H = 2R = √ (BS * HELL). Praktikuodamas pagrindinę trapecijos problemų sprendimo techniką (dviejų aukščių laikymo principas), studentas turi išspręsti šią užduotį. Manome, kad BT yra ABSD lygiašonės figūros aukštis. Būtina rasti AT ir TD segmentus. Naudojant aukščiau aprašytą formulę, tai padaryti nebus sunku.

Dabar išsiaiškinkime, kaip nustatyti spindulįapskritimas, naudojant apipjaustyto trapecijos plotą. Mes mažiname aukštį nuo B viršaus iki kraujospūdžio pagrindo. Kadangi apskritimas užrašytas trapecijoje, tada BS + HELL = 2AB arba AB = (BS + HELL) / 2. Iš trikampio ABN randame sinα = BN / AB = 2 * BN / (BS + HELL). PABSD = (BS + HELL) * BN / 2, BN = 2R. Gauname PABSD = (BS + HELL) * R, vadinasi, R = PABSD / (BS + HELL).