Непрерывная функция представляет собой функцию ללא "קפיצות", כלומר, עבורו מתקיים התנאי: שינויים קטנים בארגומנט מלווה בשינויים קטנים בערכים המתאימים של הפונקציה. התרשים של פונקציה זו הוא עקומה חלקה או מתמשכת.
המשכיות בנקודת הגבול עבור חלקקבוצות ניתן להגדיר באמצעות מושג הגבול, כלומר: הפונקציה חייבת להיות גבול בשלב זה, אשר שווה לערכו בנקודת הגבול.
אם תנאים אלה מופרים בשלב מסוים,הם אומרים כי הפונקציה בשלב זה סובל חוסר רציפות, כלומר, המשכיות שלה מופרת. בשפת המגבלות ניתן לתאר את נקודת האי-רציפות כפונקציה בין ערך הפונקציה בנקודת ההפסקה לבין גבול הפונקציה (אם היא קיימת).
נקודת השבירה יכולה להיות חד פעמית, לשם כךקיומה של גבול הפונקציה הוא הכרחי, אך אינו עולה בקנה אחד עם ערכו בנקודה נתונה. במקרה זה ניתן "לתקן" בנקודה זו, כלומר ניתן להגדיר אותה מחדש עד כדי המשכיות.
תמונה אחרת לחלוטין מתפתחת אם גבול הפונקציה בנקודה נתונה לא קיים. ישנן שתי נקודות הפסקה אפשריות:
- מהסוג הראשון - שניהם המגבלות החד-צדדיות קיימים וסופיים, והערך של אחד מהם או שניהם אינו עולה בקנה אחד עם ערך הפונקציה בנקודה נתונה;
- מהסוג השני, כאשר הגבול החד-צדדי או שניהם אינם קיימים, או שערכיהם הם אינסופיים.
מאפיינים של פונקציות רציפות
- הפונקציה המתקבלת כתוצאה מניתוחים אריתמטיים, כמו גם מצבת-על של פונקציות רציפות בתחום ההגדרה שלהם, היא גם רציפה.
- אם ניתנת לך פונקציה רציפה שהיא חיובית בשלב כלשהו, אז אתה תמיד יכול למצוא שכונה קטנה מספיק שלה, עליה היא שומרת על סימן.
- באופן דומה, אם ערכיו בשתי נקודות A ו- Bשווים, בהתאמה, a ו- b, ו- a שונה מ- b, אז עבור נקודות ביניים זה ייקח את כל הערכים מהמרווח (a; b). מסקנה מעניינת ניתן להסיק מכך: אם תאפשרו לפס אלסטי מתוח להתכווץ כך שהוא לא ישקע (יישאר ישר), אז אחת מנקודותיו תישאר ללא תנועה. מבחינה גיאומטרית זה אומר שיש קו ישר העובר דרך כל נקודת ביניים בין A ל B, המצטלבת בין גרף הפונקציה.
נצביע על כמה מהפונקציות האלמנטריות הרצופות (בתחום ההגדרה שלהן):
- קָבוּעַ;
- רַצִיוֹנָלִי;
- טריגונומטרי.
Между двумя фундаментальными понятиями в מתמטיקה - המשכיות ודיפרנציאליות - יש קשר בלתי ניתן להרחבה. די רק בכדי לזכור שעל מנת שפונקציה תהיה שונה, יש צורך שזו תהיה פונקציה רציפה.
אם הפונקציה נבדלת בשלב מסוים, אז היא רציפה שם. עם זאת, אין זה הכרחי שהנגזרת שלו תהיה רציפה.
פונקציה שיש באיזו סטנגזרת רציפה שייכת למחלקה נפרדת של פונקציות חלקות. במילים אחרות, זוהי פונקציה המובחנת ברציפות. אם לנגזרת יש מספר מוגבל של נקודות אי רציפות (רק מהסוג הראשון), אז פונקציה כזו נקראת חלק חלקית.
מושג חשוב נוסף של חשבוןהיא המשכיות אחידה של פונקציה, כלומר יכולתה להיות רצופה באותה מידה בכל נקודה בתחום ההגדרה שלה. לפיכך, זהו מאפיין הנחשב במספר רב של נקודות, ולא באף אחד בנפרד.
אם אתה מתקן את הנקודה, אז אתה לא מקבל כלוםמלבד ההגדרה של המשכיות, כלומר מהימצאותה של המשכיות אחידה נובע שיש לנו פונקציה רציפה. באופן כללי, ההיפך אינו נכון. עם זאת, על פי משפט קנטור, אם פונקציה רציפה במערך קומפקטי, כלומר במרווח סגור, אז היא רציפה באופן אחיד.
