יסודות של ניתוח מתמטי. איך למצוא את הנגזרת?

הנגזרת של פונקציה כלשהי f (x) בספציפינקודה x0 נקראת גבול היחס בין התוספת של הפונקציה לתוספת של הארגומנט, בתנאי ש-x מגיע ל-0, והגבול קיים. הנגזרת מסומנת בדרך כלל על ידי ראשוני, לפעמים על ידי נקודה או באמצעות דיפרנציאל. נגזרת מעבר לגבול היא לעתים קרובות מטעה, שכן ייצוג כזה משמש לעתים רחוקות.

פונקציה שיש לה נגזרת בנקודה מסוימתנקודה x0, נהוג לקרוא להבדיל בנקודה כזו. נניח ש-D1 היא קבוצת הנקודות שבהן הפונקציה f מובחנת. הקצאת לכל מספר את המספר x השייך ל-D f '(x), נקבל פונקציה עם שטח הסימון D1. פונקציה זו היא הנגזרת y = f (x). זה מסומן כך: f '(x).

יתר על כן, הנגזרת נמצאת בשימוש נרחב בפיזיקה וטכנולוגיה. בואו נסתכל על הדוגמה הפשוטה ביותר. נקודת החומר נעה לאורך ישר הקואורדינטה, וניתן חוק התנועה, כלומר קואורדינטת x של נקודה זו היא הפונקציה הידועה x (t). במהלך מרווח הזמן מ-t0 עד t0 + t, תזוזה של הנקודה היא x (t0 + t) -x (t0) = x, ומהירותה הממוצעת v (t) היא x / t.

לפעמים אופי התנועה מוצג בצורה כזו שבלפרקי זמן קצרים, המהירות הממוצעת אינה משתנה, כלומר תנועה ברמת דיוק גבוהה יותר נחשבת אחידה. או הערך של המהירות הממוצעת, אם t0 מגיע לערך מדויק לחלוטין, הנקרא המהירות המיידית v (t0) של נקודה זו ברגע מסוים של זמן t0. הוא האמין כי המהירות המיידית v (t) ידועה עבור כל פונקציה מובחנת x (t), לפיה v (t) יהיה שווה ל-x '(t). במילים פשוטות, מהירות היא נגזרת זמן של קואורדינטה.

למהירות המיידית יש גם חיובי וגםערכים שליליים, כמו גם הערך 0. אם הוא חיובי במרווח זמן כלשהו (t1; t2), אז הנקודה נעה באותו כיוון, כלומר, הקואורדינטה x (t) עולה עם הזמן, ואם v ( t) היא שלילית, ואז קואורדינטת x (t) יורדת.

במקרים קשים יותר, הנקודה נעה במישור או בחלל. אז המהירות היא כמות וקטורית וקובעת כל אחת מהקואורדינטות של הווקטור v (t).

באופן דומה ניתן להשוות עם תאוצהתנועה נקודתית. מהירות היא פונקציה של זמן, כלומר v = v (t). והנגזרת של פונקציה כזו היא האצת התנועה: a = v ’(t). כלומר, מסתבר שנגזרת הזמן של המהירות היא תאוצה.

נניח ש-y = f (x) הוא מובחן כלשהופוּנקצִיָה. אז אתה יכול לשקול את התנועה של נקודה חומרית לאורך קו קואורדינטות, המתרחשת מאחורי החוק x = f (t). התוכן המכני של הנגזרת מאפשר להציג פרשנות ויזואלית של משפטי החשבון הדיפרנציאלי.

איך אני מוצא את הנגזרת? מציאת הנגזרת של פונקציה כלשהי נקראת הבידול שלה.

בוא ניתן דוגמאות כיצד למצוא את הפונקציה הנגזרת:

הנגזרת של פונקציה קבועה היא אפס; הנגזרת של הפונקציה y = x שווה לאחד.

איך מוצאים את הנגזרת של שבר? לשם כך, שקול את החומר הבא:

עבור כל x0 <> 0, יש לנו

y / x = -1 / x0 * (x + x)

ישנם מספר כללים למציאת נגזרת. כלומר:

אם הפונקציות A ו-B מובדלות בנקודה x0,אז הסכום שלהם מובחן בנקודה: (A + B) '= A' + B '. במילים פשוטות, הנגזרת של סכום שווה לסכום הנגזרות. אם הפונקציה מובחנת בשלב מסוים, אז התוספת שלה מגיעה לאפס כאשר התוספת של הארגומנט מגיעה לאפס.

אם הפונקציות A ו-B מובדלות בנקודה x0,אז המוצר שלהם מובחן בנקודה: (A * B) '= A'B + AB'. (ערכי הפונקציות ונגזרותיהן מחושבים בנקודה x0). אם הפונקציה A (x) מובחנת בנקודה x0, ו-C קבועה, אזי הפונקציה CA מובחנת בנקודה זו ו-(CA) '= CA'. כלומר, גורם קבוע כזה נלקח מהסימן של הנגזרת.

אם הפונקציות A ו-B מובדלות בנקודה x0, והפונקציה B אינה שווה לאפס, אז היחס שלהן מובחן גם בנקודה: (A / B) '= (A'B-AB') / B *ב.