При изучении треугольников невольно встаёт вопрос על חישוב היחסים בין הצדדים שלהם וזוויות. בגיאומטריה, משפט הקוסינוס והסינוס מספק את התשובה המלאה ביותר לפתרון הבעיה. בשפע של ביטויים מתמטיים שונים נוסחאות, חוקים, משפטים וכללים נמצאים כך שהם נבדלים על ידי הרמוניה יוצאת דופן, תמציתיות וקלות של הצגת המשמעות הכלולה בהם. משפט הסינוס הוא דוגמה מובהקת לניסוח מתמטי דומה. אם בפרשנות המילולית יש גם מכשול מסוים בהבנת הכלל המתמטי הזה, אז כשאתה מסתכל על הנוסחה המתמטית, הכל מיד נופל למקומו.
המידע הראשון על משפט זה נמצא בצורה של ראיות במסגרת העבודה המתמטית של נאסר א-דין א-טוסי, שתחילתה במאה השלוש עשרה.
מתקרב אל היחסצדדים וזוויות בכל משולש, ראוי לציין כי משפט סינוס מאפשר לך לפתור הרבה בעיות מתמטיות, ואת חוק זה של הגיאומטריה מוצא היישום שלה סוגים שונים של פעילות אנושית מעשית.
משפט הסינוס עצמו קובע כי עבור כלהמשולש מאופיין במידתיותם של הצדדים על פינות הפינות הנגדיות. יש גם את החלק השני של משפט זה, לפיה היחס של שני הצדדים של המשולש אל הסינוס של הזווית ההפוכה שווה לקוטר המעגל המתואר סביב המשולש נחשב.
כנוסחה, הביטוי הזה נראה
a / sinA = b / sinB = c / sinC = 2R
משפט סינוס יש הוכחה, אשר בגרסאות שונות של ספרי הלימוד מוצע במגוון עשיר של גרסאות.
לדוגמה, שקול אחת ההוכחות כי לתת הסבר על החלק הראשון של המשפט. לשם כך, יצאנו להוכיח את נכונות הביטוי א חטא = עם חטא.
В произвольном треугольнике ABC построим высоту בה. באחת האפשרויות לבניית, H ישכב על קטע AC, ובשני, מעבר לו, בהתאם לגודל של זוויות לעבר הקודקודים של המשולשים. במקרה הראשון, גובה יכול לבוא לידי ביטוי במונחים של זוויות הצדדים של המשולש, כמו BH = סינק ו- BH = c sinA, המהווה את ההוכחה הנדרשת.
במקרה שבו הנקודה H נמצאת מחוץ למקטע AC, אנו יכולים לקבל את הפתרונות הבאים:
VN = sinC ו- VN = c sin (180-A) = c sinA;
או VN = חטא (180-C) = sinC ו- VN = c sinA.
כפי שאתה יכול לראות, ללא קשר לאפשרויות הבנייה, אנו מגיעים לתוצאה הרצויה.
הוכחת החלק השני של המשפט דורשתאותנו לתאר מעגל סביב המשולש. דרך אחד מגבהי המשולש, למשל B, בנה את קוטר המעגל. אנו מחברים את הנקודה המתקבלת על המעגל D עם אחד מגובה המשולש, שיהיה נקודה A של המשולש.
אם ניקח בחשבון את המשולשים שנוצרו ABD ו-ABC, אז אתה יכול לראות את שוויון הזוויות C ו- D (הן מונחות על אותה קשת). ובהתחשב בכך שהזווית A שווה לתשעים מעלות, אז החטא D = c / 2R, או החטא C = c / 2R, שנדרש להוכיח.
משפט הסינוס הוא נקודת המוצא שלפתרון מגוון רחב של משימות שונות. משיכתו המיוחדת נעוצה ביישומה המעשי, כתוצאה מהמשפט, אנו מקבלים את ההזדמנות להתייחס לערכי צלעות המשולש, לזוויות מנוגדות ולרדיוס (קוטר) המעגל המסביב למשולש. הפשטות והנגישות של הנוסחה המתארת ביטוי מתמטי זה אפשרה שימוש נרחב במשפט זה כדי לפתור בעיות בעזרת מכשירי חישוב מכניים שונים (כללי שקופיות, טבלאות וכו '), אך אפילו הגעתם של מכשירי מחשוב רבי עוצמה שירות של אדם לא צמצם את הרלוונטיות של משפט זה.
משפט זה לא נכלל רק בחובה של גאומטריה בתיכון, אלא הוא מיושם עוד בכמה ענפי עיסוק.
