אחד הנושאים הגיאומטריים המעניינים ביותר מקורס בית הספר הוא "מרובעים" (כיתה ח '). אילו סוגים של דמויות כאלה קיימים, אילו מאפיינים מיוחדים יש להם? מה ייחודו של רביעים בתשעים מעלות? בואו נסתכל על כל זה.
איזו צורה גיאומטרית נקראת רביעית
מצולעים, המורכבים מארבעה צדדים ובהתאם לארבעה קודקודים (פינות), נקראים רבועים בגיאומטריה האוקלידית.
ההיסטוריה של שם דמויות מסוג זה מעניינת.ברוסית, שם העצם "מרובע" נוצר מהביטוי "ארבע פינות" (ממש כמו "משולש" - שלוש זוויות, "מחומש" - חמש פינות וכו ').
עם זאת, בלטינית (דרכההגיעו מונחים גיאומטריים רבים ברוב שפות העולם) זה נקרא רבוע. מילה זו נוצרת מהספרה quadri (ארבע) ושם העצם latus (צד). אז אנו יכולים להסיק כי הקדמונים כינו את המצולע הזה כ"ארבע צדדי ".
אגב, שם זה (עם דגש על נוכחותו שלדמויות מסוג זה של ארבעה צדדים, ולא פינות) שרדו בכמה שפות מודרניות. לדוגמא, באנגלית הוא רביעי ובצרפתית הוא רביעי.
יתר על כן, ברוב השפות הסלאביותסוג הדמויות המדובר עדיין מזוהה על ידי מספר הפינות ולא הצדדים. לדוגמא, בסלובקית (štvoruholník), בבולגרית ("chetirig'lnik"), בבלארוסית ("chatyrohkutnik"), באוקראינית ("chotirikutnik"), בצ'כית (čtyřúhelník), אבל בפולנית נקרא הרביע על ידי מספר צדדים - cz.
אילו סוגים של רבועים נלמדים בתכנית הלימודים בבית הספר
בגיאומטריה המודרנית ישנם 4 סוגים של מצולעים בעלי ארבעה צדדים.
- מַקבִּילִית הצדדים המנוגדים של ריבוע שכזה מקבילים זה לזה, ובהתאם, הם גם שווים בזוגות.
- טרפז (טרפז או טרפז). רבוע זה מורכב משני צדדים מנוגדים, מקבילים זה לזה. עם זאת, לזוג הצדדים האחרים אין תכונה זו.
סוגי מרובעים שלא נלמדים בקורס גיאומטריה בבית הספר
בנוסף לאמור לעיל, ישנם שני סוגים נוספים של רבועים שתלמידי בית הספר אינם מתוודעים אליהם בשיעורי גאומטריה, בשל מורכבותם המיוחדת.
- דלטואיד (עפיפון) - דמות בה כל אחד משני זוגות של סמוכיםהצדדים שווים באורכם זה לזה. רביע כזה קיבל את שמו בשל העובדה שבמראה שלו הוא די דומה לאות האלף-בית היווני - "דלתא".
- אנטי-מקבילית - נתון זה מורכב כשמו.בו שני צדדים מנוגדים שווים, אך יחד עם זאת הם אינם מקבילים זה לזה. בנוסף, הצדדים המנוגדים הארוכים של רבוע זה מצטלבים, וכך גם הרחבות של שני הצדדים האחרים, הקצרים יותר.
סוגי מקבילית
לאחר שהתמודדת עם הסוגים העיקריים של הרביעים, עליך לשים לב לתתי המינים שלו. אז, כל מקביליות, בתורן, מחולקות גם לארבע קבוצות.
- מקבילית קלאסית.
- מעוין (מעוין) - דמות מרובעת עם צדדים שווים. אלכסוניו מצטלבים בזווית ישרה ומחלקים את המעוין לארבעה משולשים ישרים.
- מַלבֵּן השם מדבר בעד עצמו. מכיוון שמדובר במלבן עם זוויות ישרות (כל אחד מהם שווה לתשעים מעלות). הצדדים המנוגדים שלה לא רק מקבילים זה לזה, אלא גם שווים.
- כיכר כמו מלבן, הוא רבוע עםזוויות ישרות, אך כל הצדדים שווים זה לזה. זה הופך את הדמות הזאת לקרובה למעוין. אז אפשר לטעון כי ריבוע הוא צלב בין מעוין ומלבן.
תכונות מיוחדות של מלבן
בהתחשב בצורות בהן כל אחת מהפינותבין הצדדים, השווה לתשעים מעלות, כדאי לשכון מקרוב על המלבן. אז מהן התכונות המיוחדות המבדילות אותו ממקבילות מקבילות אחרות?
לטעון כי הנחשבמקבילית היא מלבן, האלכסונים שלה חייבים להיות שווים זה לזה, וכל אחת מהפינות חייבות להיות ישרות. בנוסף, ריבוע האלכסונים שלה חייב להתאים לסכום הריבועים של שני הצדדים הסמוכים לדמות זו. במילים אחרות, מלבן קלאסי מורכב משני משולשים ישרים, ובתוכם, כידוע, סכום ריבועי הרגליים שווה לריבוע ההיפוטנוזה. האלכסון של המשולש הנחשב משמש כמעשה ההיפוטנוזה.
האחרון של הסימנים המפורטים של דמות זוהוא גם רכושו המיוחד. חוץ מזה יש אחרים. לדוגמא, העובדה שכל צדי הריבוע שנחקר בזוויות ישרות נמצאים בו זמנית בגובהו.
בנוסף, אם אתה מצייר עיגול סביב מלבן כלשהו, קוטרו יהיה שווה לאלכסון של הדמות הכתובה.
בין שאר המאפיינים של רבוע זה, אם כן,שהיא שטוחה ואינה קיימת בגיאומטריה שאינה אוקלידית. זאת בשל העובדה שבמערכת כזו אין דמויות מרובעות, שסכום הזוויות שלהן שווה לשלוש מאות ושישים מעלות.
ריבוע ותכונותיו
לאחר שהתמודדנו עם הסימנים והתכונות של מלבן, כדאי לשים לב למרובע השני עם זוויות ישרות המוכרות למדע (זהו ריבוע).
היות ולמעשה אותו מלבן, אך עם צלעות שוות, לדמות זו יש את כל התכונות שלה. אך בניגוד אליו, הריבוע קיים בגיאומטריה שאינה אוקלידית.
בנוסף, לנתון זה יש אחריםתכונות ייחודיות משלו. למשל, העובדה שהאלכסונים של ריבוע אינם שווים זה לזה אלא גם מצטלבים בזווית ישרה. כך, כמו מעוין, הריבוע מורכב מארבעה משולשים ישרים, אליהם הוא מחולק באלכסונים.
בנוסף, דמות זו היא הסימטרית ביותר מבין כל המשולשים.
מהו סכום הזוויות של רבוע
בהתחשב בתכונות של רביעי הגיאומטריה האוקלידית, כדאי לשים לב לזוויות שלהם.
אז, בכל אחת מהנתונים לעיל,לא משנה אם יש לו זוויות ישרות או לא, הסכום הכולל שלהם תמיד זהה - שלוש מאות ושישים מעלות. זהו מאפיין ייחודי של דמות מסוג זה.
היקף מרובעים
לאחר שעסקנו במה ששווה סכום הזוויותרב-צדדיות ותכונות מיוחדות אחרות של דמויות מסוג זה, כדאי לברר באילו נוסחאות עדיף להשתמש כדי לחשב את היקפן ושטחן.
כדי לקבוע את ההיקף של כל מרובע, אתה רק צריך להוסיף את אורך כל הצדדים שלו יחד.
לדוגמא, בצורת KLMN ניתן לחשב את היקפו באמצעות הנוסחה: P = KL + LM + MN + KN. אם תחליף כאן מספרים, תקבל: 6 + 8 + 6 + 8 = 28 (ס"מ).
במקרה בו הדמות המדוברת היא מעויןאו ריבוע, כדי למצוא את ההיקף, אתה יכול לפשט את הנוסחה פשוט מכפיל את אורך אחד מצלעותיה בארבעה: P = KL x 4. לדוגמא: 6 x 4 = 24 (ס"מ).
נוסחאות מרובעות שטח
לאחר שהבנו כיצד למצוא את ההיקף של כל צורה עם ארבע פינות וצדדים, כדאי לבחון את הדרכים הפופולריות והפשוטות ביותר למצוא את האזור שלה.
- הדרך הקלאסית לחשב זאת היאהשתמש בנוסחה S = 1/2 KM x LN x SIN LON. מתברר כי השטח של כל מרובע שווה למחצית התוצר של האלכסונים שלו לפי סינוס הזווית ביניהם.
- אם הדמות שאפשר למצוא את השטח שלה היאמלבן או ריבוע (האלכסונים תמיד שווים זה לזה), תוכלו לפשט את הנוסחה על ידי ריבוע אורכו של אלכסון אחד והכפלתו בסינוס הזווית ביניהם וחלוקת הכל לשניים. לדוגמא: S = 1/2 KM 2 x SIN LON.
- כמו כן, כשמוצאים את השטח של המלבן,עזרה למידע על היקף הדמות המדוברת ואורך אחד מצלעותיה. במקרה זה, כדאי יהיה להשתמש בנוסחה S = KN x (P - 2 KN) / 2.
- במקרה של ריבוע, המאפיינים שלו מאפשרים לך להשתמש בכמה נוסחאות נוספות למציאת השטח. לדוגמה, לדעת את היקף האיור, אתה יכול להשתמש באפשרות זו: S = P 2/ 16. ואם ידוע על רדיוס המעגל שרשום בריבוע, שטח הריבוע נמצא בצורה דומה מאוד: S = 4r2... אם ידוע רדיוס המעגל המוגדר, נוסחה אחרת תעשה: S = 2R2... כמו כן, שטח הריבוע הוא פי 0.8 מאורך הקו הנמשך מפינת הדמות לאמצע הצד הנגדי.
- בנוסף לכל האמור לעיל, יש גםנוסחה נפרדת למציאת השטח, המחושבת במיוחד עבור מקבילית. ניתן ליישם אותו אם אתה יודע את אורך שני הגבהים של הדמות ואת גודל הזווית ביניהם. ואז יש להכפיל את הגבהים בינם לבין סינוס הזווית ביניהם. ראוי לציין כי ניתן להשתמש בנוסחה זו לכל הצורות השייכות למקביליות (כלומר למלבן, למעוין ולריבוע).
מאפיינים אחרים של רבועים: מעגלים רשומים ומוגדרים
בהתחשב בתכונות ובמאפיינים של ריבועי כדמות של גאומטריה אוקלידית, כדאי לשים לב ליכולת לתאר סביב או לרשום מעגלים בתוכו:
- אם סכומי הזוויות הנגדיות של הדמות הם מאה ושמונים מעלות כל אחד ושווים בזוגות, אז ניתן לתאר מעגל באופן חופשי סביב ריבוע כזה.
- על פי משפט תלמי, אם בחוץשל מצולע עם ארבעה צדדים, מתואר מעגל, ואז תוצר האלכסונים שלו שווה לסכום התוצרים של הצדדים הנגדיים של דמות זו. לפיכך, הנוסחה תיראה כך: KM x LN = KL x MN + LM x KN.
- אם אתה בונה רביע בו סכומי הצדדים הנגדים שווים זה לזה, אז ניתן לרשום לתוכו מעגל.
לאחר שהבנתי מה זה רביע,איזה סוגים קיימים, לאילו מהם יש רק זוויות ישרות בין הצדדים ואילו תכונות יש להם, כדאי לזכור את כל החומר הזה. בפרט הנוסחה למציאת ההיקף והשטח של המצולעים הנחשבים. אחרי הכל, דמויות של צורה זו הן מהנפוצות ביותר, וידע זה יכול להיות שימושי לחישובים בחיים האמיתיים.
