חישוב דיפרנציאלי של פונקציה של משתנים אחד ומספר משתנים

חשבון דיפרנציאלי הוא ענף של ניתוח מתמטי החוקר את הנגזרת, ההפרשים והשימוש בהם בחקר פונקציה.

היסטוריה של הופעה

חשבון דיפרנציאלי בלטדיסציפלינה עצמאית במחצית השנייה של המאה ה-17, הודות לעבודותיהם של ניוטון ולייבניץ, שניסחו את ההוראות העיקריות בחשבון ההפרשים והבחינו בקשר בין אינטגרציה להבחנה. מאותו רגע התפתחה הדיסציפלינה יחד עם חשבון האינטגרלים, ובכך היוותה את הבסיס לניתוח מתמטי. הופעתם של חשבונות אלו פתחה תקופה מודרנית חדשה בעולם המתמטי וגרמה להופעתם של דיסציפלינות חדשות במדע. זה גם הרחיב את האפשרות ליישם מדע מתמטי במדעי הטבע והטכנולוגיה.

מושגים בסיסיים

חשבון דיפרנציאלי מבוסס עלמושגי יסוד במתמטיקה. הם: מספר ממשי, המשכיות, פונקציה וגבול. עם הזמן, הם לבשו צורה מודרנית, הודות לחשבון אינטגרלי ודיפרנציאלי.

תהליך הבריאה

היווצרות חשבון דיפרנציאלי בטופסמיושם, ואז השיטה המדעית התרחשה לפני הופעתה של התיאוריה הפילוסופית, שנוצרה על ידי ניקולאי קוזנסקי. עבודותיו נחשבות לפיתוח אבולוציוני משיפוטיו של המדע העתיק. למרות העובדה שהפילוסוף עצמו לא היה מתמטיקאי, אין להכחיש את תרומתו לפיתוח המדע המתמטי. קוזנסקי היה מהראשונים שנטשו את שיקול החשבון כתחום המדויק ביותר במדע, והעמיד את המתמטיקה של אז בסימן שאלה.

למתמטיקאים עתיקים יש קריטריון אוניברסליהיה יחידה, בעוד שהפילוסוף הציע אינסוף כמדד חדש במקום מספר מדויק. בהקשר זה, ייצוג הדיוק במדע המתמטי הוא הפוך. הידע המדעי, לדעתו, מתחלק לרציונלי ואינטלקטואלי. השני מדויק יותר, לדברי המדען, שכן הראשון נותן רק תוצאה משוערת.

רעיון

רעיון ותפיסה בסיסית בדיפרנציאלחשבון הקשור לפונקציה בשכונות קטנות של נקודות מסוימות. לשם כך, יש צורך ליצור מנגנון מתמטי לחקירת פונקציה, שהתנהגותה בשכונה קטנה של הנקודות המבוססות קרובה להתנהגות של פולינום או פונקציה לינארית. זה מבוסס על ההגדרה של הנגזרת והדיפרנציאל.

הופעת המושג נגזרת נגרמה ממספר רב של בעיות ממדעי הטבע והמתמטיקה, שהובילו למציאת ערכי גבולות מאותו סוג.

אחת המשימות העיקריות שניתנות כדוגמה, החל מתיכון, היא לקבוע את המהירות של נקודה לאורך ישר ולצייר קו משיק לעקומה הזו. ההפרש קשור לכך, מכיוון שניתן לקירוב את הפונקציה בשכונה קטנה של הנקודה הנחשבת של הפונקציה הליניארית.

בהשוואה למושג הנגזרת של פונקציהמשתנה אמיתי, ההגדרה של דיפרנציאלים פשוט מועברת לפונקציה בעלת אופי כללי, בפרט, לדימוי של מרחב אוקלידי אחד על גבי אחר.

נגזר

תן לנקודה לנוע בכיוון ציר Oy, מעברזמן שאנחנו לוקחים x, שנספר מהתחלה כלשהי של הרגע. תנועה זו יכולה להיות מתוארת על ידי הפונקציה y = f (x), המיועדת לכל קואורדינטות של רגע זמן x של הנקודה שהוזזה. פונקציה זו במכניקה נקראת חוק התנועה. המאפיין העיקרי של תנועה, במיוחד תנועה לא אחידה, הוא מהירות מיידית. כאשר נקודה נעה לאורך ציר Oy לפי חוק המכניקה, אז ברגע זמן אקראי x היא רוכשת את הקואורדינטה f (x). ברגע הזמן x + Δx, שבו Δx מציין את תוספת הזמן, הקואורדינטה שלו תהיה f (x + Δx). כך נוצרת הנוסחה Δy = f (x + Δx) - f (x), שנקראת תוספת של הפונקציה. הוא מייצג את הנתיב שעוברת הנקודה בזמן מ-x ל-x + Δx.

עקב התרחשות מהירות זו כרגעמוצגת נגזרת זמן. בפונקציה שרירותית, הנגזרת בנקודה קבועה נקראת הגבול (בתנאי שהיא קיימת). זה יכול להיות מסומן על ידי סמלים מסוימים:

f '(x), y', ý, df / dx, dy / dx, Df (x).

תהליך חישוב הנגזרת נקרא דיפרנציאציה.

חשבון דיפרנציאלי של פונקציה של מספר משתנים

שיטת חישוב זו מיושמת כאשרבחינת פונקציה עם מספר משתנים. בנוכחות שני משתנים x ו-y, הנגזרת החלקית ביחס ל-x בנקודה A נקראת הנגזרת של פונקציה זו ביחס ל-x עם y קבוע.

ניתן לציין זאת באמצעות הסמלים הבאים:

f '(x) (x, y), u' (x), ∂u / ∂x, או ∂f (x, y) '/ ∂x.

מיומנויות נדרשות

כדי ללמוד בהצלחה ולהיות מסוגל לפתור דיפוזיה,נדרשות כישורים באינטגרציה ובידול. כדי להקל על הבנת משוואות דיפרנציאליות, עליך להבין היטב את נושא הנגזרת והאינטגרל הבלתי מוגדר. זה גם לא מזיק ללמוד איך לחפש את הנגזרת של פונקציה מוגדרת במרומז. זאת בשל העובדה שבתהליך הלימוד תצטרך לא פעם להשתמש באינטגרלים ובידול.

סוגי משוואות דיפרנציאליות

כמעט בכל עבודות הבקרה הקשורות למשוואות דיפרנציאליות מהסדר הראשון, ישנם 3 סוגים של משוואות: הומוגנית, עם משתנים ניתנים להפרדה, לא הומוגנית ליניארית.

ישנם גם סוגים נדירים יותר של משוואות: עם דיפרנציאלים מוחלטים, משוואות ברנולי ואחרות.

יסודות הפתרון

ראשית, זכור את האלגברימשוואות מהקורס בבית הספר. הם מכילים משתנים ומספרים. כדי לפתור משוואה רגילה, אתה צריך למצוא קבוצה של מספרים שעומדים בתנאי נתון. ככלל, למשוואות כאלה היה שורש אחד, וכדי לבדוק את נכונותו, היה צורך רק להחליף ערך זה במקום הלא נודע.

המשוואה הדיפרנציאלית דומה לזה. באופן כללי, משוואה כזו מסדר ראשון כוללת:

• משתנה בלתי תלוי.
• נגזרת של הפונקציה הראשונה.
• פונקציה או משתנה תלוי.

במקרים מסוימים, אחד מהלא ידועים, x או y, אבל זה לא כל כך חשוב, שכן נוכחותה של הנגזרת הראשונה, ללא נגזרות מסדרים גבוהים יותר, נחוצה כדי שהפתרון וחשבון הדיפרנציאלי יהיו נכונים.

פתרון משוואת דיפרנציאלית פירושו למצוא את קבוצת כל הפונקציות התואמות לביטוי נתון. קבוצה דומה של פונקציות מכונה לעתים קרובות פתרון DE כללי.

חשבון אינטגרלי

חשבון אינטגרלי הוא אחד מענפי הניתוח המתמטי החוקר את מושג האינטגרל, תכונות ושיטות חישובו.

לעתים קרובות נתקלים בחישוב האינטגרל כאשרחישוב השטח של דמות מעוקלת. שטח זה פירושו הגבול שאליו השטח של מצולע הכתוב באיור נתון נוטה לעלייה הדרגתית בצלע שלו, בעוד שצלעות אלו יכולות להתבצע פחות מכל ערך קטן שרירותי שצוין קודם לכן.

הרעיון המרכזי בחישוב השטח של שרירותידמות גיאומטרית מורכבת בחישוב שטחו של מלבן, כלומר, הוכחה שהשטח שלו שווה למכפלת האורך והרוחב. כשזה מגיע לגיאומטריה, אז כל הקונסטרוקציות נעשות באמצעות סרגל ומצפן, ואז היחס בין אורך לרוחב הוא ערך רציונלי. בעת חישוב השטח של משולש ישר זווית, אתה יכול לקבוע שאם אתה שם את אותו משולש לידו, אז נוצר מלבן. במקבילית מחשבים את השטח בשיטה דומה, אך מעט יותר מסובכת, דרך מלבן ומשולש. במצולעים, השטח נספר במונחים של המשולשים הכלולים בו.

בעת קביעת השטח של עקומה שרירותית, זההשיטה לא תעבוד. אם נפרק אותו לריבועים של יחידות, אז יהיו חללים ריקים. במקרה זה מנסים להשתמש בשני כיסויים, עם מלבנים בחלק העליון והתחתון, כתוצאה מכך הם כוללים את גרף הפונקציה ולא כוללים אותו. שיטת הפיצול למלבנים הללו נותרה חשובה כאן. כמו כן, אם ניקח מחיצות שהולכות ופוחתות, אז השטח שמעל ומתחת אמור להתכנס בערך מסוים.

כדאי לחזור לשיטת הפיצול למלבנים. ישנן שתי שיטות פופולריות.

רימן קבע את ההגדרה של האינטגרל,נוצר על ידי לייבניץ וניוטון כאזורי תת-גרף. במקרה זה, נשקלו הדמויות, המורכבות ממספר מלבנים אנכיים ומתקבלות על ידי חלוקת הקטע. כאשר, עם ירידה בחלוקה, יש גבול אליו מצטמצם השטח של דמות כזו, הגבול הזה נקרא אינטגרל רימן של הפונקציה בקטע נתון.

השיטה השנייה היא בניית האינטגרללבגס, המורכב מהעובדה שלמקום חלוקת האזור שנקבע לחלקי האינטגרנד ולאחר מכן הרכבת הסכום האינטגרלי מהערכים המתקבלים בחלקים אלה, טווח הערכים שלו מחולק למרווחים, ולאחר מכן זה מסוכם עם המידות המקבילות של התמונות ההפוכות של אינטגרלים אלה.

מדריכים מודרניים

אחד ממדריכי הלימוד המרכזייםחשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי נכתב על ידי פיכטנגולטס - "קורס חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי". ספר הלימוד שלו הוא ספר יסוד לחקר הניתוח המתמטי, שעבר מהדורות ותרגומים רבים לשפות אחרות. נוצר עבור סטודנטים באוניברסיטה ומשמש זמן רב במוסדות חינוך רבים כאחד ממדריכי הלימוד העיקריים. מספק נתונים תיאורטיים ומיומנויות מעשיות. פורסם לראשונה ב-1948.

אלגוריתם מחקר פונקציות

כדי לחקור פונקציה באמצעות שיטות של חשבון דיפרנציאלי, יש צורך לעקוב אחר האלגוריתם שניתן כבר:

1. מצא את התחום של הפונקציה.
2. מצא את השורשים של המשוואה הנתונה.
3. חשב קיצוניות. לשם כך, חשב את הנגזרת ואת הנקודות שבהן היא שווה לאפס.
4. החליפו את הערך המתקבל במשוואה.

זנים של משוואות דיפרנציאליות

DE מהסדר הראשון (אחרת, חשבון דיפרנציאלי של משתנה אחד) וסוגיהם:

• משוואה ניתנת להפרדה: f (y) dy = g (x) dx.
• המשוואות הפשוטות ביותר, או חשבון דיפרנציאלי של פונקציה של משתנה אחד, בעלות הנוסחה: y "= f (x).
• DE ליניארי לא הומוגנית מהסדר הראשון: y "+ P (x) y = Q (x).
• משוואת ברנולי דיפרנציאלית: y "+ P (x) y = Q (x) y^א .
• משוואה עם סך כל ההפרשים: P (x, y) dx + Q (x, y) dy = 0.

משוואות דיפרנציאליות מהסדר השני וסוגיהן:

• משוואת דיפרנציאלית הומוגנית ליניארית מהסדר השני עם ערכים קבועים של המקדם: yⁿ+ py "+ qy = 0 p, q שייך ל-R.
• משוואה דיפרנציאלית לינארית לא הומוגנית מהסדר השני עם ערך קבוע של המקדמים: yⁿ+ py "+ qy = f (x).
• משוואת דיפרנציאלית הומוגנית לינארית: yⁿ+ p (x) y "+ q (x) y = 0, ומשוואה לא הומוגנית מסדר שני: yⁿ+ p (x) y "+ q (x) y = f (x).

משוואות דיפרנציאליות מסדרים גבוהים יותר וסוגיהן:

• משוואה דיפרנציאלית המאפשרת הפחתה לפי הסדר: F (x, y^(k), י^{(k + 1)}, .., י^(נ)= 0.
• המשוואה הליניארית מסדר גבוה יותר היא הומוגנית: ו^(נ)+ ו_(n-1)ו^(n-1)+ ... + ו₁y "+ f₀y = 0, והטרוגני: ו^(נ)+ ו_(n-1)ו^(n-1)+ ... + ו₁y "+ f₀y = f (x).

שלבי פתרון בעיה באמצעות משוואה דיפרנציאלית

בעזרת DE, לא רק מתמטיאו בעיות פיזיות, אבל גם בעיות שונות מביולוגיה, כלכלה, סוציולוגיה ואחרות. למרות המגוון הרחב של הנושאים, עליך לדבוק ברצף הגיוני אחד בעת פתרון בעיות כאלה:

1. שרטוט של שלט רחוק.אחד השלבים הקשים ביותר, הדורש דיוק מירבי, שכן כל טעות תוביל לתוצאות שגויות לחלוטין. יש לקחת בחשבון את כל הגורמים המשפיעים על התהליך ולקבוע את התנאים ההתחלתיים. אתה צריך גם להתבסס על עובדות ומסקנות.
2. הפתרון של המשוואה המורכבת. תהליך זה פשוט יותר מהשלב הראשון, מכיוון שהוא דורש רק חישובים מתמטיים קפדניים.
3. ניתוח והערכה של התוצאות שהתקבלו. יש להעריך את הפתרון הנגזר כדי לקבוע את הערך המעשי והתיאורטי של התוצאה.

דוגמה לשימוש במשוואות דיפרנציאליות ברפואה

השימוש ב-DU בתחום הרפואה עונהבעת בניית מודל מתמטי אפידמיולוגי. יחד עם זאת, אל תשכח שמשוואות אלו מצויות גם בביולוגיה ובכימיה, הקרובות לרפואה, כי חקר אוכלוסיות ביולוגיות שונות ותהליכים כימיים בגוף האדם משחק בה תפקיד חשוב.

בדוגמה לעיל עם מגיפה, אנו יכולים לשקול את התפשטות הזיהום בחברה מבודדת. התושבים מסווגים לשלושה סוגים:

• נגוע, מספר x (t), המורכב מפרטים, נשאי זיהום, שכל אחד מהם מדבק (תקופת הדגירה קצרה).
• הסוג השני כולל אנשים רגישים y(t) המסוגלים להידבק במגע עם נגועים.
• הסוג השלישי כולל אינדיבידואלים חסינים z (t), אשר חסינים או מתו עקב מחלה.

מספר הפרטים קבוע; לידות, מקרי מוות טבעיים והגירה אינם נלקחים בחשבון. זה יתבסס על שתי השערות.

אחוז התחלואה בזמן מסויםהרגע שווה ל-x (t) y (t) (ההנחה מבוססת על התיאוריה שמספר המקרים הוא פרופורציונלי למספר הצמתים בין חולים לנציגים רגישים, שבקירוב הראשון יהיה פרופורציונלי ל-x ( t) y (t)), בהקשר זה, מספר המקרים גדל, ומספר המקרים הרגישים יורד בקצב המחושב לפי הנוסחה ax (t) y (t) (a> 0).

מספר האנשים העמידים שרכשו חסינות או מתו גדל בשיעור פרופורציונלי למספר המקרים, bx (t) (b> 0).

כתוצאה מכך, ניתן לערוך מערכת משוואות תוך התחשבות בכל שלושת האינדיקטורים ולהסיק מסקנות על בסיסה.

דוגמה לשימוש בכלכלה

חשבון דיפרנציאלי משמש לעתים קרובות כאשרניתוח כלכלי. המשימה העיקרית בניתוח כלכלי היא חקר ערכים מהכלכלה, הנכתבים בצורה של פונקציה. זה משמש כאשר פותרים בעיות כמו שינוי הכנסה מיד לאחר הגדלת מיסים, הכנסת מכסים, שינוי הכנסות החברה כאשר עלות הייצור משתנה, באיזה פרופורציה ניתן להחליף עובדים שפרשו בציוד חדש. כדי לפתור שאלות כאלה, נדרש לבנות פונקציית חיבור מהמשתנים הנכנסים, שנלמדים לאחר מכן באמצעות חשבון דיפרנציאלי.

בתחום הכלכלי, לעתים קרובות יש צורך למצואהמדדים האופטימליים ביותר: פריון עבודה מקסימלי, ההכנסה הגבוהה ביותר, העלויות הנמוכות ביותר וכן הלאה. כל אינדיקטור כזה הוא פונקציה של ארגומנט אחד או יותר. לדוגמה, ניתן לראות את הייצור כפונקציה של תשומות עבודה והון. בהקשר זה, ניתן לצמצם מציאת ערך מתאים למציאת המקסימום או המינימום של פונקציה מתוך משתנה אחד או יותר.

בעיות מהסוג הזה יוצרות מעמד של קיצוניותבעיות בתחום הכלכלי, שלצורך פתרונן נדרש חשבון דיפרנציאלי. כאשר מחוון כלכלי נדרש למזער או למקסם כפונקציה של אינדיקטור אחר, אזי בנקודת המקסימום, היחס בין תוספת הפונקציה לארגומנטים ישטה לאפס אם תוספת הארגומנט שואפת לאפס. אחרת, כאשר יחס כזה נוטה לערך חיובי או שלילי מסוים, הנקודה המצוינת אינה מתאימה, כי עם הגדלת או הקטנת הארגומנט, ניתן לשנות את הערך התלוי בכיוון הנדרש. בטרמינולוגיה של חשבון דיפרנציאלי, זה אומר שהתנאי הנדרש למקסימום של פונקציה הוא הערך האפס של הנגזרת שלה.

בכלכלה, לעתים קרובות יש משימות עבורמציאת הקצה הקיצוני של פונקציה עם מספר משתנים, כי אינדיקטורים כלכליים מורכבים מגורמים רבים. שאלות כאלה נלמדות היטב בתורת הפונקציות של מספר משתנים, תוך שימוש בשיטות של חישוב דיפרנציאלי. משימות כאלה כוללות לא רק פונקציות ממוזערות וממוזערות, אלא גם אילוצים. שאלות כאלה נוגעות לתכנות מתמטי, והן נפתרות בשיטות שפותחו במיוחד, המבוססות גם הן על ענף מדעי זה.

בין השיטות של חשבון דיפרנציאלי,בשימוש בכלכלה, חלק חשוב הוא ניתוח שולי. בתחום הכלכלי, מונח זה מציין מערכת של שיטות ללימוד אינדיקטורים ותוצאות משתנים בעת שינוי נפחי היצירה, הצריכה, על סמך ניתוח מדדי הגבול שלהם. המדד המגביל הוא הנגזרות או הנגזרות החלקיות עם מספר משתנים.

חשבון דיפרנציאלי של מספר משתנים- נושא חשוב בתחום הניתוח המתמטי. ללימוד מפורט ניתן להיעזר בספרי הלימוד השונים למוסדות להשכלה גבוהה. אחד המפורסמים נוצר על ידי פיכטנגולטס - "קורס חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי". כפי שהשם מרמז, מיומנויות בעבודה עם אינטגרלים הם בעלי חשיבות ניכרת לפתרון משוואות דיפרנציאליות. כאשר מתבצע חשבון הדיפרנציאלי של פונקציה של משתנה אחד, הפתרון הופך לפשוט יותר. אם כי, יש לציין, הוא מציית לאותם כללים בסיסיים. על מנת לחקור פונקציה על ידי חשבון דיפרנציאלי בפועל, די לעקוב אחר האלגוריתם הקיים כבר, שניתן בכיתות הבכירות בבית הספר ומסובך רק במעט על ידי הכנסת משתנים חדשים.