מאפיינים ושיטות למציאת שורשי משוואה ריבועית

העולם מתוכנן כך שההחלטה של ​​מספר גדולהבעיה מצטמצמת למציאת שורשי משוואה ריבועית. שורשי המשוואות חשובים לתיאור דפוסים שונים. כך נודעו חוקרי השטח של בבל העתיקה. אסטרונומים ומהנדסים נאלצו גם הם לפתור בעיות כאלה. כבר במאה ה -6 לספירה, פיתח המדען ההודי אריאבהאטה את הבסיס למציאת שורשי משוואה ריבועית. פורמולות רכשו מראה מוגמר במאה ה- XIX.

מושגים כלליים

אנו מציעים להכיר את חוקי היסוד של שוויון ריבועי. באופן כללי ניתן לכתוב שוויון כ:

אה² + bx + c = 0,

מספר השורשים של משוואה ריבועית יכול להיות אחד או שניים. ניתן לבצע ניתוח מהיר תוך שימוש במושג מפלה:

ד = ב² - 4ac

בהתאם לערך המחושב אנו מקבלים:

• עבור D> 0, ישנם שני שורשים שונים. הנוסחה הכללית לקביעת שורשי משוואה ריבועית נראית כמו (-b ± √D) / (2a).
• D = 0, במקרה זה השורש הוא אחד ומתאים לערך x = -b / (2a)
• D <0, אין פיתרון למשוואה לערך שלילי של המפלה.

הערה: אם המפלה הוא שלילי, למשוואה אין שורשים רק בטווח המספרים האמיתיים. אם האלגברה מורחבת למושג שורשים מורכבים, אז למשוואה יש פיתרון.

הנה שרשרת פעולות המאשרת את הנוסחה למציאת השורשים.

מהצורה הכללית של המשוואה, זה נובע:

אה² + bx = -c

הכפל את הצד הימני והשמאלי ב- 4a והוסף b², אנחנו מקבלים

4 א²עם² + 4abx + b² = -4ac + b²

הפוך את הצד השמאלי לפולינום מרובע (2ax + b)²... קח את השורש הריבועי של שני צידי המשוואה 2ax + b = -b ± √ (-4ac + b²), אנו מעבירים את המקדם b לצד ימין, אנו מקבלים:

2ax = -b ± √ (-4ac + b²)

זה מרמז:

x = (-b ± √ (ב² - 4ac))

מה נדרש להציג.

מקרה מיוחד

בחלק מהמקרים ניתן לפשט את הפיתרון לבעיה. לכן, לקבלת מקדם אחיד אפילו, אנו מקבלים נוסחה פשוטה יותר.

אנו מציינים k = 1/2 b, ואז הנוסחה של הצורה הכללית של שורשי המשוואה הריבועית לובשת את הצורה:

x = (-k ± √ (k² - ac)) / א

עבור D = 0 נקבל x = -k / a

מקרה מיוחד נוסף יהיה הפתרון של המשוואה עבור a = 1.

למין x² + bx + c = 0 השורשים יהיו x = -k ± √ (k² - ג) אם המפלה גדול מ- 0. במקרה בו D = 0, השורש ייקבע על ידי נוסחה פשוטה: x = -k.

שימוש בתרשימים

כל אדם, מבלי לדעת זאת, מתמודד כל הזמן עם תופעות פיזיקליות, כימיות, ביולוגיות ואף חברתיות המתוארות היטב על ידי פונקציה ריבועית.

הערה: עקומה המבוססת על פונקציה ריבועית נקראת פרבולה.

הנה כמה דוגמאות.

1. בעת חישוב מסלול הקליע נעשה שימוש בתכונת התנועה לאורך פרבולה של גוף שנורה בזווית לאופק.
2. המאפיין של פרבולה להפצת העומס באופן אחיד נמצא בשימוש נרחב בארכיטקטורה.

מתוך הבנת החשיבות של פונקציה פרבולית, בואו ונבין כיצד להשתמש בגרף כדי לחקור את תכונותיו באמצעות המושגים "מפלה" ו"שורשי משוואה ריבועית ".

בהתאם לערך המקדמים a ו- b, ישנן רק שש אפשרויות למיקום העקומה:

1. המפלה הוא חיובי, ל- a ו- b יש סימנים שונים. ענפי הפרבולה מכוונים כלפי מעלה, למשוואה הריבועית יש שני פתרונות.
2. המפלה ומקדם b שווים לאפס, המקדם a גדול מאפס. הגרף נמצא באזור החיובי, למשוואה יש שורש אחד.
3. המפלה וכל המקדמים הם חיוביים. למשוואה הריבועית אין פיתרון.
4. המפלה והמקדם a הם שליליים, b גדול מאפס. ענפי הגרף מכוונים כלפי מטה, למשוואה שני שורשים.
5. המפלה ומקדם b שווים לאפס, המקדם a הוא שלילי. הפרבולה מסתכלת מטה, למשוואה יש שורש אחד.
6. המפלה וכל המקדמים הם שליליים. אין פתרונות, ערכי הפונקציה נמצאים לחלוטין באזור השלילי.

הערה: האפשרות a = 0 אינה נחשבת, מכיוון שבמקרה זה הפרבולה מתדרדרת לקו ישר.

כל האמור לעיל מודגם היטב על ידי האיור שלהלן.

דוגמאות לפתרון בעיות

מצב: השתמש בתכונות כלליות, צור משוואה ריבועית, ששורשיה שווים זה לזה.

פתרון:

לפי מצב הבעיה x₁ = x₂, או -b + √ (ב² - 4ac) / (2a) = -b + √ (b² - 4ac) / (2a). פישוט הערך:

-b + √ (ב² - 4ac) / (2a) - (-b - √ (b² - 4ac) / (2a)) = 0, פתח את הסוגריים ותן תנאים דומים. המשוואה לובשת את הצורה 2√ (ב² - 4ac) = 0. אמירה זו נכונה כאשר b² - 4ac = 0, ומכאן ב² = 4ac ואז הערך b = 2√ (ac) מוחלף במשוואה

אה² + 2√ (ac) x + c = 0, בצורה המוקטנת אנו מקבלים x² + 2√ (c / a) x + c = 0.

תשובה:

עבור לא שווה ל- 0 ולכל c, יש רק פתרון אחד אם b = 2√ (c / a).

משוואות ריבועיות על כל פשטותןיש חשיבות רבה בחישובים הנדסיים. ניתן לתאר כמעט כל תהליך פיזי בקירוב כלשהו באמצעות פונקציות חוק-כוח של סדר n. המשוואה הריבועית תהיה הקירוב הראשון כזה.