A trapéz a négyszög speciális esete, ymelyik oldalpár párhuzamos. A "trapéz" kifejezés a görög τράπεζα szóból származik, jelentése "asztal", "asztal". Ebben a cikkben megvizsgáljuk a trapéz típusait és tulajdonságait. Ezenkívül kitaláljuk, hogyan lehet kiszámítani ennek a geometriai ábrának az egyes elemeit. Például egy egyenlő szárú trapéz átlója, a középvonal, a terület stb.
Általános információk
Először derítsük ki, mi vannégyszög. Ez az alak egy speciális esete a sokszögnek, amelynek négy oldala és négy csúcsa van. A négyszög két csúcsát, amelyek nem szomszédosak, egymással ellentétesnek nevezzük. Ugyanez elmondható két nem szomszédos oldalról is. A négyszögek fő típusai: paralelogramma, téglalap, rombusz, négyzet, trapéz és deltoid.
Tehát vissza a trapézokhoz.Mint mondtuk, ennek az ábrának két oldala párhuzamos. Bázisoknak hívják őket. A másik kettő (nem párhuzamos) az oldal. A vizsgák és különféle tesztek anyagaiban nagyon gyakran találhat olyan trapéziumokkal kapcsolatos feladatokat, amelyek megoldása gyakran megköveteli a hallgatótól olyan ismeretek birtoklását, amelyekről a program nem rendelkezik. Az iskola geometriai tanfolyama megismerteti a hallgatókat a szögek és átlós tulajdonságokkal, valamint az egyenlő szárú trapéz középvonalával. De emellett az említett geometriai ábrának más tulajdonságai is vannak. De róluk egy kicsit később ...
A trapéz típusai
Ennek az ábrának sokféle típusa van. Azonban leggyakrabban kettőt vesznek figyelembe - egyenlő szárúak és téglalap alakúak.
1. A téglalap alakú trapéz olyan ábra, amelyben az egyik oldalsó oldal merőleges az alapokra. Két szöge mindig egyenlő kilencven fokkal.
2. Az egyenlő szárú trapéz egyenlő oldalú geometriai ábra. Ez azt jelenti, hogy az alapoknál lévő szögek páronként egyenlőek.
A trapéz tulajdonságainak tanulmányozásának módszertanának fő alapelvei
A fő elv aaz úgynevezett feladat megközelítés. Valójában nincs szükség ennek az ábrának az új tulajdonságainak bevezetésére a geometria elméleti menetébe. Megnyithatók és megfogalmazhatók a különböző problémák megoldása során (jobbak, mint a rendszerbeli problémák). Ugyanakkor nagyon fontos, hogy a tanár tudja, milyen feladatokat kell adni az iskolásoknak az oktatási folyamat egyik vagy másik pontján. Ezenkívül mindegyik trapéz tulajdonság kulcsfontosságú feladatként ábrázolható a feladatrendszerben.
A második elv az úna trapéz "figyelemre méltó" tulajdonságainak vizsgálatának spirális szervezése. Ez azt jelenti, hogy a tanulási folyamat visszatér az adott geometriai ábra egyedi jellemzőihez. Ez megkönnyíti a tanulók számára a memorizálást. Például négy pont tulajdonsága. Mind a hasonlóság tanulmányozásával, mind a későbbiekben vektorok felhasználásával bizonyítható. Az ábra oldalsó oldalaival szomszédos háromszögek egyenlő nagysága pedig akkor bizonyítható, ha nemcsak az egyenes vonalú oldalakra húzott egyenlő magasságú háromszögek tulajdonságait alkalmazzuk, hanem az S = 1/2 képletet is felhasználjuk. (ab * sinα). Ezenkívül kidolgozhatja a szinuszok tételét egy felírt trapézon vagy egy derékszögű háromszögön egy leírt trapézon stb.
"Programon kívüli" funkciók alkalmazásaaz iskolai tanfolyam tartalmának geometriai ábrája feladattechnológia az oktatásukhoz. A vizsgált tulajdonságok állandó vonzereje más témák átadásakor lehetővé teszi a hallgatók számára a trapéz mélyebb megismerését, és biztosítja a kijelölt feladatok megoldásának sikerét. Na, térjünk rá ennek a csodálatos alaknak a tanulmányozására.
Egy egyenlő szárú trapéz elemei és tulajdonságai
Mint már megjegyeztük, ez a geometriaiaz oldalakon lévő számok megegyeznek. Szabályos trapézként is ismert. És miért olyan figyelemre méltó, és miért kapta ilyen nevet? Ennek az ábrának a sajátosságai közé tartozik az a tény, hogy nemcsak az oldalak és az alapok szöge, hanem az átló is megegyezik. Ezenkívül az egyenlő szárú trapéz szögeinek összege 360 fok. De ez még nem minden! Az összes ismert trapéz közül csak egy egyenlő szár körül lehet leírni egy kört. Ez annak a ténynek köszönhető, hogy ennek az ábrának az ellentétes szögeinek összege 180 fok, és csak ebben a feltételben írható le kör egy négyszög körül. A figyelembe vett geometriai ábra következő tulajdonsága, hogy az alap tetejétől a szemközti csúcs vetületének az egyenesre, amely ezt az alapot tartalmazza, egyenlő lesz a középvonal.
Most találjuk ki, hogyan lehet megtalálni az egyenlő szárú trapéz szögeit. Vegyünk egy megoldást erre a problémára, feltéve, hogy ismertek az ábra oldalainak méretei.
döntés
Általában a négyszöget szokták jelölniA, B, C, D betűk, ahol a BS és a HELL az alapja. Egy egyenlő szárú trapézban az oldalak egyenlőek. Feltételezzük, hogy méretük megegyezik X-szel, az alapok mérete pedig Y és Z (kisebb, illetve nagyobb). A számítás elvégzéséhez meg kell rajzolni az N. magasságot a B szögből. Az eredmény egy derékszögű ABN háromszög, ahol AB a hipotenusz, BN és AH pedig a lábak. Kiszámoljuk az AH láb méretét: vonjuk ki a kisebbet a nagyobb alapból, és osszuk el az eredményt 2-vel. Írjuk a következő képlet formájában: (ZY) / 2 = F. Most az éles szög kiszámításához a háromszög közül a cos függvényt használjuk. A következő rekordot kapjuk: cos (β) = X / F. Most kiszámoljuk a szöget: β = arcos (X / F). Továbbá az egyik szöget ismerve meghatározhatjuk a másodikat is, ehhez egy elemi számtani műveletet hajtunk végre: 180 - β. Minden szög meghatározva van.
Van egy második megoldás is erre a problémára.Az elején a sarokból leeresztjük az N. magasságát. Számolja ki a láb BN értékét. Tudjuk, hogy a derékszögű háromszög hipotenuszának négyzete megegyezik a lábak négyzetének összegével. Megkapjuk: BN = √ (X2-F2). Ezután a tg trigonometrikus függvényt használjuk. Ennek eredményeként: β = arctan (BN / F). Éles sarkot találtak. Ezután definiálunk egy tompaszöget ugyanúgy, mint az első módszerben.
Egy egyenlő szárú trapéz átlóinak tulajdonsága
Először írjunk fel négy szabályt. Ha az egyenlő szárú trapéz átlói merőlegesek, akkor:
- az ábra magassága megegyezik az alapok összegével, osztva kettővel;
- magassága és középvonala egyenlő;
- a trapéz területe megegyezik a magasság négyzetével (középvonal, az alapok összegének fele);
- az átló négyzete megegyezik az alapok összegének négyzetének felével vagy a középvonal négyzetének kétszeresével (magasság).
Most vegyük figyelembe azokat a képleteket, amelyek meghatározzák az egyenlő szárú trapéz átlóját. Ez az információtömb nagyjából négy részre osztható:
1. Az átló hosszának képlete az oldalát tekintve.
Feltételezzük, hogy A az alsó alap, B a teteje, C egyenlő oldalak, D az átló. Ebben az esetben a hossz a következőképpen határozható meg:
D = √ (C2 + A * B).
2. Az átló hosszának képletei a koszinusz-tétel szerint.
Elfogadjuk, hogy A az alsó alap, B a felső,C - egyenlő oldalak, D - átlós, α (az alsó alapon) és β (a felső alapon) - trapézszögek. A következő képleteket kapjuk, amelyekkel kiszámíthatja az átló hosszát:
- D = √ (A2 + C2-2A * C * cosα);
- D = √ (A2 + C2-2A * C * cosβ);
- D = √ (B2 + C2-2B * C * cosβ);
- D = √ (B2 + C2-2B * C * cosα).
3. Egy egyenlő szárú trapéz átlóinak hosszára vonatkozó képletek.
Feltételezzük, hogy A az alsó alap, B a felső, D az átló, M a középső vonal, H a magasság, P a trapéz területe, α és β az átlós szögek. A hosszúságot a következő képletekkel határozzuk meg:
- D = √ (M2 + H2);
- D = √ (H2 + (A + B) 2/4);
- D = √ (H (A + B) / sinα) = √ (2P / sinα) = √ (2M * H / sinα).
Ebben az esetben az egyenlőség igaz: sinα = sinβ.
4. Az átló hosszának képletei oldalak és magasság szempontjából.
Feltételezzük, hogy A az alsó alap, B a felső, C az oldalak, D az átló, H a magasság, α az alsó alap szöge.
A hosszúságot a következő képletekkel határozzuk meg:
- D = √ (H2 + (A-P * ctgα) 2);
- D = √ (H2 + (B + P * ctgα) 2);
- D = √ (A2 + C2-2A * √ (C2-H2)).
Téglalap alakú trapéz elemei és tulajdonságai
Nézzük meg, mi érdekes ebben a geometriai ábrában. Mint mondtuk, egy téglalap alakú trapéznak két derékszöge van.
A klasszikus meghatározás mellett vannak olyanok ismások. Például egy téglalap alakú trapéz olyan trapéz, amelynek egyik oldala merőleges az alapjaira. Vagy derékszögű ábra az oldaloldalon. Ebben a típusú trapézban a magasság megegyezik az oldalakkal, amelyek merőlegesek az alapokra. A középvonal az a vonalszakasz, amely összeköti a két oldal középpontját. Az említett elem tulajdonsága, hogy párhuzamos az alapokkal és megegyezik az összegük felével.
Most nézzük meg az alapvető képleteket,meghatározva ezt a geometriai ábrát. Ehhez feltételezzük, hogy A és B ok; C (merőleges az alapokra) és D - egy téglalap alakú trapéz oldala, M - középvonal, α - hegyes szög, P - terület.
egy.Az alapokra merőleges oldalsó oldal megegyezik az ábra magasságával (C = H), és megegyezik a második D oldaloldal hosszának és az α szög szinuszának szorzatával egy nagyobb talppal ( C = D * sinα). Ezenkívül egyenlő az α hegyesszög érintőjének és a bázisok különbségének szorzatával: C = (A-B) * tgα.
2. A D oldalirányú oldal (nem merőleges az alapokra) egyenlő az A és B és az éles szög koszinuszának (α) és a H ábra magasságának és a szinuszának a hányadosa. hegyes szög: D = (AB) / cos α = C / sinα.
3. Az oldalakra merőleges oldaloldal megegyezik a D négyzet - a második oldaloldal - és az alapok közötti különbség négyzetgyökével:
C = √ (D2- (A-B) 2).
4. Egy téglalap alakú trapéz D oldala megegyezik a C oldal négyzetének és a geometriai ábra alapjai közötti különbség négyzetgyökének négyzetgyökével: D = √ (C2 + (A-B) 2).
5. C oldala megegyezik a kettős terület osztásának hányadosa alapján a bázisok összegével: C = P / M = 2P / (A + B).
6. A területet az M szorzat (egy téglalap alakú trapéz középvonala) határozza meg az alapokra merőleges magassággal vagy oldallal: P = M * H = M * C.
7. A C oldal megegyezik az ábra megduplázott területének az egy hegyes szög szinuszának és az alapjainak szorzatával való elosztásának hányadosával: C = P / M * sinα = 2P / ((A + B) * sinα).
8. Képletek a téglalap alakú trapéz oldalirányú oldalának átlóin és a közöttük lévő szögön keresztül:
- sinα = sinβ;
- C = (D1 * D2 / (A + B)) * sinα = (D1 * D2 / (A + B)) * sinβ,
ahol D1 és D2 a trapéz átlói; α és β a közöttük lévő szögek.
9. Az oldalsó oldal képletei az alsó alapszög és a többi oldal szögén keresztül: D = (A-B) / cosα = C / sinα = H / sinα.
Mivel a derékszögű trapéz a trapéz speciális esete, az ezeket az ábrákat meghatározó képletek többi része téglalap alakú lesz.
Beírt kör tulajdonságai
Ha a feltétel azt mondja, hogy egy kör be van írva egy téglalap alakú trapézba, akkor a következő tulajdonságok használhatók:
- az alapok összege megegyezik az oldalak összegével;
- a téglalap alakú alak tetejétől a beírt kör érintési pontjainak távolsága mindig egyenlő;
- a trapéz magassága megegyezik az oldalakkal, merőleges az alapokra és egyenlő a kör átmérőjével;
- a kör közepe az a pont, ahol a sarkok felezői metsződnek;
- ha az oldalsó oldalt a tangencia pontja H és M szakaszokra osztja, akkor a kör sugara megegyezik e szegmensek szorzatának négyzetgyökével;
- az érintkezési pontok, a trapéz csúcsa és a beírt kör közepe által alkotott négyszög - ez egy négyzet, amelynek oldala megegyezik a sugárral;
- az ábra területe megegyezik az alapok szorzatával és az alapok félösszegének szorzatával a magasságával.
Hasonló trapéz
Ez a téma nagyon kényelmes a tulajdonságok tanulmányozásához.ez a geometriai forma. Például az átlós négyszögre osztja a trapézot, és az alapokkal szomszédosak hasonlóak, az oldalak pedig egyenlőek. Ezt az állítást háromszögek tulajdonságának nevezhetjük, amelyekre a trapéz átlóival el van osztva. Ennek az állításnak az első részét a hasonlóság két szögben történő jele bizonyítja. A második rész bizonyításához jobb az alábbi módszert alkalmazni.
A tétel igazolása
Elfogadjuk, hogy az ABSD alakja (a BP és a BS az alaptrapéz) osztva van a VD és az AC átlóval. Metszéspontjuk O. A SOD és BFB háromszögek közös magassággal rendelkeznek, ha a BO és OD szegmensek az alapjaik. Megállapítjuk, hogy a területük közötti különbség (P) megegyezik a szegmensek közötti különbséggel: PBOS / PSOD = BO / OD = K. Hasonlóképpen, a BFB és AOB háromszögek közös magassággal rendelkeznek. Az SB és az OA szegmenseket vesszük alapul. PBOS / PAOB = SO / OA = K és PAOB = PBOS / K értékeket kapunk. Ebből következik, hogy PSOD = PAOB.
Az anyag megszilárdítása érdekében a hallgatóknak ajánlottkeresse meg a kapcsolatot a kapott háromszögek területei között, amelyekre a trapéz átlóival fel van osztva, megoldva a következő problémát. Ismert, hogy a biofeedback és az AOD háromszög területe egyenlő, meg kell találni a trapéz területét. Mivel a PSOD = PAOB, ez azt jelenti, hogy PABSD = PBOS + PAOD + 2 * PSOD. A BFB és AOD háromszögek hasonlóságából következik, hogy BO / OD = √ (PBOS / PAOD). Ezért PBOS / PSOD = BO / OD = √ (PBOS / PAOD). Megkapjuk a PSOD = √ (PBOS * PAOD) értéket. Ezután PABSD = PBOS + PAOD + 2 * √ (PBOS * PAOD) = (√ PSOS + √ PAOD) 2.
Hasonlósági tulajdonságok
Ennek a témának a továbbfejlesztésével bizonyítani lehet ésa trapéz egyéb érdekes jellemzői. Tehát a hasonlóság segítségével bizonyítani lehet annak a szegmensnek a tulajdonságát, amely áthalad e geometriai ábra átlóinak metszéspontjában kialakított ponton, az alapokkal párhuzamosan. Ehhez a következő problémát fogjuk megoldani: meg kell találni az RK szakasz hosszát, amely áthalad az O ponton. Az AOD és BFB háromszögek hasonlóságából következik, hogy AO / OS = AD / BS . Az AOR és ASB háromszögek hasonlóságából következik, hogy AO / AC = RO / BS = HELL / (BS + HELL). Innen kapjuk, hogy RO = BS * HELL / (BS + HELL). Hasonlóképpen, a DOK és DBS háromszögek hasonlóságából az következik, hogy OK = BS * HELL / (BS + HELL). Innen kapjuk, hogy RO = OK és RK = 2 * BS * HELL / (BS + HELL). Az átlós metszéspontján áthaladó, az alapokkal párhuzamos és a két oldalt összekötő szakaszt a metszéspont felezi. Hossza az ábra tövének harmonikus átlaga.
Tekintsük a következő trapézminőséget, amelynégypontos tulajdonságnak nevezzük. Az átló (O) metszéspontjai, az oldalsó oldalak meghosszabbításának metszéspontjai (E), valamint az alapok középpontjai (T és G) mindig ugyanazon a vonalon fekszenek. Ezt a hasonlóság módszere könnyen bizonyítja. Az így kapott BES és AED háromszögek hasonlóak, és mindegyikükben az ET és EZ mediánok egyenlő részekre osztják az E csúcs szöget. Következésképpen az E, T és Ж pontok egy egyenesen helyezkednek el. Ugyanígy a T, O és Zh pontok ugyanazon az egyenesen helyezkednek el, mindez a BFB és AOD háromszögek hasonlóságából következik. Ebből arra következtetünk, hogy mind a négy pont - E, T, O és F - egy egyenesen fekszik.
Ilyen trapézokat használva fel lehet ajánlania hallgatók megtalálják a szegmens hosszát (LF), amely két hasonlóra osztja az ábrát. Ennek a szegmensnek párhuzamosnak kell lennie az alapokkal. Mivel a kapott trapéziumok ALPD és LBSF hasonlóak, akkor BS / LF = LF / BP. Ebből következik, hogy LF = √ (BS * HELL). Megkapjuk, hogy a trapézot két hasonlóra osztó szakasz hossza megegyezik az ábra alapjainak hosszának geometriai átlagával.
Vegye figyelembe a következő hasonlósági tulajdonságot.Olyan szegmensen alapul, amely a trapézot két azonos méretű alakra osztja. Feltételezzük, hogy az ABSD trapéz az ЕН szegmenssel két hasonlóra oszlik. A B csúcsból leesik a magasság, amelyet az EH szegmens két részre oszt - B1 és B2. Kapjuk: PABSD / 2 = (BS + EH) * B1 / 2 = (HELL + EH) * B2 / 2 és PABSD = (BS + HELL) * (B1 + B2) / 2. Ezután összeállítunk egy rendszert, amelynek első egyenlete (BS + EH) * B1 = (HELL + EH) * B2, a második (BS + EH) * B1 = (BS + HELL) * (B1 + B2) / 2. Ebből következik, hogy B2 / B1 = (BS + EH) / (AD + EH) és BS + EH = ((BS + HELL) / 2) * (1 + B2 / B1). Megállapítjuk, hogy a trapézot két egyenlő méretre osztó szakasz hossza megegyezik az alapok hosszának középértékének négyzetével: √ ((BS2 + AD2) / 2).
Hasonlósági megállapítások
Így bebizonyítottuk, hogy:
1. A trapéz oldalsó oldalainak középpontjait összekötő szakasz párhuzamos a BP-vel és a BS-szel, és megegyezik a BS és a BP aritmetikai átlagával (a trapéz alapjának hossza).
2. A HELL és a BS párhuzamos átlóinak O pontján áthaladó egyenes egyenlő lesz a HELL és BS számok harmonikus átlagával (2 * BS * HELL / (BS + HELL)).
3. A trapézot hasonlóakra osztó szegmensnek megvan a BS és a BP alapjainak geometriai átlagának hossza.
4. Az ábrát két egyenlő méretre osztó elemnek megvan a BP és a BS átlagos négyzetszámának hossza.
Az anyag megszilárdítása és a közötti kapcsolat megértésea vizsgált szegmenseket, a hallgatónak meg kell építenie egy adott trapéz számára. Könnyen megjelenítheti a középvonalat és a szegmenst, amely áthalad az O ponton - az ábra átlóinak metszéspontján - az alapokkal párhuzamosan. De hol lesz a harmadik és a negyedik? Ez a válasz arra készteti a tanulót, hogy felfedezze az átlagok közötti kívánt kapcsolatot.
A trapéz átlóinak középpontjait összekötő szakasz
Vegye figyelembe az ábra következő tulajdonságát.Feltételezzük, hogy az MH szakasz párhuzamos az alapokkal, és az átlókat felére osztja. A metszéspontokat Ш-nek és called-nek fogjuk hívni. Ez a szakasz egyenlő lesz az alapok fele különbségével. Vizsgáljuk meg ezt közelebbről. MSh - az ABS háromszög középvonala, egyenlő a BS / 2-vel. Az MCh az ABD háromszög középvonala, egyenlő a BP / 2-vel. Ekkor megkapjuk, hogy SHSH = MSH-MSH, tehát SHSH = HELL / 2-BS / 2 = (HELL + VS) / 2.
Gravitáció középpontja
Lássuk, hogyan határozzák megez az elem az adott geometriai alakra. Ehhez az alapokat ellentétes irányban kell meghosszabbítani. Mit jelent? Az alsó részt hozzá kell adni a felső alaphoz - például mindkét oldalra jobbra. És nyújtsa az alsót a felső hosszával balra. Ezután átlóval kapcsoljuk össze őket. Ennek a szegmensnek az ábra középvonalával való metszéspontja a trapéz súlypontja.
Felírt és leírt trapéz
Soroljuk fel az ilyen alakzatok jellemzőit:
1. Egy trapéz csak akkor írható körbe, ha egyenlő szárú.
2. Egy kör körül trapéz írható le, feltéve, hogy alapjaik hosszának összege megegyezik az oldaloldalak hosszának összegével.
Beírt kör következményei:
1. A leírt trapéz magassága mindig egyenlő két sugárral.
2. A leírt trapéz oldalirányú oldala a kör közepétől derékszögben figyelhető meg.
Az első következmény nyilvánvaló, de bizonyítékkénta második, meg kell állapítani, hogy a SOD szöge megfelelő-e, ami valójában szintén nem lesz nehéz. De ennek a tulajdonságnak az ismerete lehetővé teszi a derékszögű háromszög használatát a problémák megoldásakor.
Most konkretizáljuk ezeket a következményeketegyenlő szárú trapéz, amely körbe van írva. Megállapítjuk, hogy a magasság az ábra alapjának geometriai átlaga: H = 2R = √ (BS * HELL). A trapézek problémamegoldásának alapvető technikájának gyakorlása (két magasság megtartásának elve) során a hallgatónak meg kell oldania a következő feladatot. Feltételezzük, hogy a BT az ABSD egyenlő szárú alakjának magassága. Meg kell találni az AT és a TD szegmenseket. A fent leírt képletet használva ezt nem lesz nehéz megtenni.
Most találjuk ki, hogyan lehet meghatározni a sugaratkör a körülírt trapéz területének felhasználásával. Csökkentjük a magasságot a B felső részétől a pokol alapjáig. Mivel a kör be van írva a trapézba, akkor BS + HELL = 2AB vagy AB = (BS + HELL) / 2. Az ABN háromszögből sinα = BN / AB = 2 * BN / (BS + HELL) találunk. PABSD = (BS + HELL) * BN / 2, BN = 2R. PABSD = (BS + HELL) * R-t kapunk, ebből következik, hogy R = PABSD / (BS + HELL).
.
A trapéz középvonalának összes képlete
Itt az ideje áttérni ennek a geometriai alakzatnak az utolsó elemére. Kitaláljuk, hogy a trapéz (M) középvonala mekkora:
1. A bázisokon keresztül: M = (A + B) / 2.
2. A magasságon, az alapon és a sarkokon keresztül:
M = A-H * (ctgα + ctgβ) / 2;
M = B + H * (ctgα + ctgβ) / 2.
3. A magasságon, az átlón és a közöttük lévő szögön keresztül. Például D1 és D2 a trapéz átlói; α, β - szögek közöttük:
M = D1 * D2 * sinα / 2H = D1 * D2 * sinβ / 2H.
4. A terület és a magasság révén: M = P / N.
