छेदक, स्पर्श रेखाएँ - यह सब ज्यामिति पाठों में सैकड़ों बार सुना जा सकता है। लेकिन स्कूल से स्नातक खत्म हो गया है, साल बीत चुके हैं, और यह सब ज्ञान भुला दिया गया है। क्या याद रखना चाहिए?
सार
शब्द "एक वृत्त की स्पर्शरेखा" हैशायद हर कोई। लेकिन शायद ही हर कोई इसकी परिभाषा जल्दी से तैयार कर पाएगा। इस बीच, एक स्पर्श रेखा को एक वृत्त के साथ एक ही तल में पड़ी एक सीधी रेखा कहा जाता है, जो इसे केवल एक बिंदु पर काटती है। उनमें से एक विशाल विविधता हो सकती है, लेकिन उन सभी में समान गुण होते हैं, जिनके बारे में नीचे चर्चा की जाएगी। जैसा कि आप अनुमान लगा सकते हैं, स्पर्शरेखा बिंदु वह स्थान है जहाँ वृत्त और रेखा प्रतिच्छेद करते हैं। प्रत्येक विशिष्ट मामले में, यह एक है, लेकिन यदि उनमें से अधिक हैं, तो यह पहले से ही एक सेकेंट होगा।
खोज और अध्ययन का इतिहास
स्पर्शरेखा रेखा की अवधारणा प्राचीन काल से चली आ रही है।इन सीधी रेखाओं का निर्माण, पहले एक वृत्त तक, और फिर एक शासक और कम्पास का उपयोग करके दीर्घवृत्त, परवलय और अतिपरवलय तक, ज्यामिति के विकास के प्रारंभिक चरणों में किया गया था। बेशक, इतिहास ने खोजकर्ता के नाम को संरक्षित नहीं किया, लेकिन यह स्पष्ट है कि उस समय भी लोग वृत्त की स्पर्शरेखा के गुणों से काफी परिचित थे।
आधुनिक समय में, इस घटना में रुचि बढ़ गईफिर से - इस अवधारणा के अध्ययन का एक नया दौर नए वक्रों की खोज के साथ शुरू हुआ। इसलिए, गैलीलियो ने एक चक्रवात की अवधारणा पेश की, और फ़र्मेट और डेसकार्टेस ने इसके लिए एक स्पर्शरेखा का निर्माण किया। मंडलियों के लिए, ऐसा लगता है कि इस क्षेत्र में पूर्वजों के लिए कोई रहस्य नहीं बचा था।
गुण
चौराहे पर खींची गई त्रिज्या रेखा के लंबवत होगी। आईटी
उपरोक्त का एक महत्वपूर्ण परिणाम है।वृत्त के प्रत्येक बिंदु के लिए, आप एक स्पर्श रेखा खींच सकते हैं, लेकिन केवल एक। इसका प्रमाण काफी सरल है: सैद्धांतिक रूप से, इस पर त्रिज्या से लंबवत को गिराने पर, हम पाते हैं कि गठित त्रिभुज मौजूद नहीं हो सकता है। और इसका मतलब है कि केवल स्पर्शरेखा ही है।
इमारत
ज्यामिति में अन्य समस्याओं के बीच, एक विशेष श्रेणी है, आमतौर पर नहीं
तो, एक वृत्त और उसके बाहर स्थित एक बिंदु दिया गया हैसीमाओं। और आपको उनके माध्यम से एक स्पर्शरेखा खींचनी होगी। यह कैसे किया जा सकता है? सबसे पहले, आपको वृत्त O के केंद्र और दिए गए बिंदु के बीच एक खंड बनाना होगा। फिर, एक कंपास का उपयोग करके, आपको इसे आधा में विभाजित करना चाहिए। ऐसा करने के लिए, आपको एक त्रिज्या सेट करने की आवश्यकता है - मूल सर्कल के केंद्र और इस बिंदु के बीच की आधी दूरी। उसके बाद, आपको दो प्रतिच्छेदन चाप बनाने की आवश्यकता है। इसके अलावा, कम्पास की त्रिज्या को बदलने की आवश्यकता नहीं है, और सर्कल के प्रत्येक भाग का केंद्र क्रमशः प्रारंभिक बिंदु और ओ होगा। चापों के चौराहों को जोड़ने की जरूरत है, जो लाइन को आधे में विभाजित कर देगा। इस दूरी के बराबर कम्पास पर त्रिज्या सेट करें। फिर, चौराहे के बिंदु पर केंद्र के साथ, एक और सर्कल बनाएं। प्रारंभिक बिंदु और O दोनों उस पर स्थित होंगे। इस स्थिति में, समस्या में दिए गए वृत्त के साथ दो और प्रतिच्छेदन होंगे। वे मूल रूप से निर्दिष्ट बिंदु के लिए स्पर्शरेखा के बिंदु होंगे।
दिलचस्प
यह वृत्त के स्पर्शरेखाओं का निर्माण था जो जन्म की ओर ले गया
इसके अलावा, वृत्त की स्पर्श रेखा से संबंधित हैस्पर्शरेखा का ज्यामितीय अर्थ। इसी से इसका नाम आया है। लैटिन स्पर्शरेखा से अनुवादित - "स्पर्शरेखा"। इस प्रकार, यह अवधारणा न केवल ज्यामिति और विभेदक कलन के साथ, बल्कि त्रिकोणमिति के साथ भी जुड़ी हुई है।
दो वृत्त
स्पर्शरेखा हमेशा केवल एक आकृति को प्रभावित नहीं करती है।यदि एक वृत्त पर बड़ी सीधी रेखाएँ खींची जा सकती हैं, तो दूसरी ओर क्यों नहीं? कर सकते हैं। लेकिन इस मामले में कार्य गंभीर रूप से जटिल है, क्योंकि दो वृत्तों की स्पर्शरेखा किसी भी बिंदु से नहीं गुजर सकती है, और इन सभी आंकड़ों की सापेक्ष स्थिति बहुत हो सकती है
प्रकार और किस्में
जब दो मंडलियों और एक या . की बात आती हैकई सीधी रेखाएँ हैं, तो यह ज्ञात होने पर भी कि ये स्पर्श रेखाएँ हैं, यह तुरंत स्पष्ट नहीं होता कि ये सभी आकृतियाँ एक दूसरे के संबंध में कैसे स्थित हैं। इसके आधार पर, कई किस्मों को प्रतिष्ठित किया जाता है। तो, वृत्तों में एक या दो उभयनिष्ठ बिंदु हो सकते हैं या बिल्कुल भी नहीं हो सकते हैं। पहले मामले में, वे प्रतिच्छेद करेंगे, और दूसरे में, वे स्पर्श करेंगे। और यहाँ दो किस्में हैं। यदि एक वृत्त, जैसा कि था, दूसरे में नेस्टेड है, तो स्पर्श को आंतरिक कहा जाता है, यदि नहीं, तो बाहरी। न केवल ड्राइंग के आधार पर, बल्कि उनकी त्रिज्याओं के योग और उनके केंद्रों के बीच की दूरी के बारे में जानकारी होने पर भी आंकड़ों की सापेक्ष स्थिति को समझना संभव है। यदि ये दोनों मान समान हैं, तो वृत्त स्पर्शरेखा हैं। यदि पहला अधिक है, तो वे प्रतिच्छेद करते हैं, और यदि यह कम है, तो उनके पास कोई उभयनिष्ठ बिंदु नहीं हैं।
सीधी रेखाओं के साथ भी ऐसा ही है। किन्हीं दो वृत्तों के लिए जिनके कोई उभयनिष्ठ बिंदु नहीं हैं, आप कर सकते हैं
अगर हम उन मंडलियों के बारे में बात कर रहे हैं जिनमें एक हैसामान्य बिंदु, कार्य बहुत सरल है। तथ्य यह है कि किसी भी सापेक्ष स्थिति के लिए, इस मामले में, उनके पास केवल एक स्पर्शरेखा होगी। और वह उनके चौराहे के स्थान से होकर गुजरेगी। इसलिए निर्माण में कठिनाई नहीं होगी।
यदि अंकों में दो प्रतिच्छेदन बिंदु हैं, तोउनके लिए, एक सीधी रेखा का निर्माण किया जा सकता है जो एक और दूसरे दोनों के वृत्त की स्पर्शरेखा हो, लेकिन केवल बाहरी। इस समस्या का समाधान उसी के समान है जिस पर नीचे चर्चा की जाएगी।
समस्या हल करना
आंतरिक और बाह्य दोनों स्पर्शरेखा दोहलकों, निर्माण में इतना आसान नहीं है, हालांकि इस समस्या को हल किया जा सकता है। तथ्य यह है कि इसके लिए एक सहायक आकृति का उपयोग किया जाता है, इसलिए इस विधि के बारे में स्वयं सोचें
सबसे पहले, बड़े वृत्त के केंद्र के पासआपको एक सहायक बनाने की जरूरत है। इस मामले में, दो मूल आकृतियों की त्रिज्या के बीच का अंतर कम्पास पर सेट किया जाना चाहिए। सहायक वृत्त की स्पर्श रेखाएँ छोटे वृत्त के केंद्र से निर्मित होती हैं। उसके बाद, O1 और O2 से, इन रेखाओं पर लंब तब तक खींचे जाते हैं जब तक कि वे मूल आकृतियों के साथ प्रतिच्छेद न कर दें। स्पर्शरेखा रेखा के मुख्य गुण से निम्नानुसार है, दोनों वृत्तों पर अभीष्ट बिन्दु पाए जाते हैं। समस्या हल हो गई है, कम से कम इसका पहला भाग।
आंतरिक स्पर्शरेखा बनाने के लिए, आपको व्यावहारिक रूप से हल करना होगा
एक वृत्त की स्पर्श रेखा या दो या अधिक -इतना मुश्किल काम नहीं। बेशक, गणितज्ञों ने ऐसी समस्याओं को मैन्युअल रूप से हल करना और विशेष कार्यक्रमों को गणना सौंपना बंद कर दिया है। लेकिन यह मत सोचो कि अब इसे अपने दम पर करने में सक्षम होना आवश्यक नहीं है, क्योंकि कंप्यूटर के लिए एक कार्य को सही ढंग से तैयार करने के लिए, आपको बहुत कुछ करने और समझने की आवश्यकता है। दुर्भाग्य से, ऐसी आशंकाएँ हैं कि ज्ञान नियंत्रण के परीक्षण रूप में अंतिम परिवर्तन के बाद, निर्माण कार्य छात्रों के लिए अधिक से अधिक कठिनाइयाँ पैदा करेंगे।
जहाँ तक बड़ी संख्या में वृत्तों की उभयनिष्ठ स्पर्श रेखाएँ ज्ञात करने का प्रश्न है, यह हमेशा संभव नहीं होता, भले ही वे एक ही तल में हों। लेकिन कुछ मामलों में आप ऐसी सीधी रेखा पा सकते हैं।
वास्तविक जीवन के उदाहरण
दो वृत्तों की उभयनिष्ठ स्पर्श रेखा प्रायः होती है isव्यवहार में होता है, हालांकि यह हमेशा ध्यान देने योग्य नहीं होता है। कन्वेयर, ब्लॉक सिस्टम, पुली ट्रांसफर बेल्ट, सिलाई मशीन में थ्रेड टेंशन और यहां तक कि सिर्फ एक साइकिल चेन - ये सभी जीवन के उदाहरण हैं। इसलिए आपको यह नहीं सोचना चाहिए कि ज्यामितीय समस्याएं केवल सिद्धांत में ही रहती हैं: वे इंजीनियरिंग, भौतिकी, निर्माण और कई अन्य क्षेत्रों में व्यावहारिक अनुप्रयोग पाते हैं।
