समन्वित विमान: यह क्या है? मैं एक समन्वित विमान पर बिंदुओं को कैसे चिह्नित करूं और आकृतियाँ कैसे बनाऊं?

गणित एक जटिल विज्ञान है।इसका अध्ययन करते हुए, किसी को न केवल उदाहरणों और समस्याओं को हल करना है, बल्कि विभिन्न आकृतियों और यहां तक ​​​​कि विमानों के साथ भी काम करना है। गणित में सबसे अधिक उपयोग में से एक विमान समन्वय प्रणाली है। बच्चों को सिखाया गया है कि उसके साथ एक साल से अधिक समय तक कैसे काम करना है। इसलिए, यह जानना महत्वपूर्ण है कि यह क्या है और इसके साथ सही तरीके से कैसे काम करना है।

आइए जानें कि यह प्रणाली क्या है, इसकी मदद से क्या क्रियाएं की जा सकती हैं, और इसकी मुख्य विशेषताओं और विशेषताओं का भी पता लगाएं।

एक अवधारणा की परिभाषा

निर्देशांक तल पर समतल हैजिसे एक विशिष्ट समन्वय प्रणाली दी गई है। ऐसे समतल को दो सीधी रेखाओं द्वारा परिभाषित किया जाता है जो समकोण पर प्रतिच्छेद करती हैं। निर्देशांकों का उद्गम इन रेखाओं के प्रतिच्छेदन बिंदु पर होता है। निर्देशांक तल पर प्रत्येक बिंदु को निर्देशांक नामक संख्याओं की एक जोड़ी द्वारा निर्दिष्ट किया जाता है।

स्कूली गणित पाठ्यक्रम में स्कूली बच्चों के पास हैसमन्वय प्रणाली के साथ काफी निकटता से काम करने के लिए - उस पर आंकड़े और बिंदु बनाने के लिए, यह निर्धारित करें कि यह या वह समन्वय किस विमान से संबंधित है, और एक बिंदु के निर्देशांक भी निर्धारित करें और उन्हें लिखें या नाम दें। इसलिए, आइए निर्देशांक की सभी विशेषताओं के बारे में अधिक विस्तार से बात करें। लेकिन पहले, आइए सृष्टि के इतिहास को स्पर्श करें, और फिर हम इस बारे में बात करेंगे कि समन्वय के स्तर पर कैसे काम किया जाए।

ऐतिहासिक जानकारी

एक समन्वय प्रणाली बनाने के विचार अभी भी मौजूद थेटॉलेमी के समय। तब भी, खगोलविद और गणितज्ञ इस बारे में सोच रहे थे कि कैसे एक विमान पर एक बिंदु की स्थिति निर्धारित करना सीखें। दुर्भाग्य से, उस समय हमें अभी तक कोई समन्वय प्रणाली ज्ञात नहीं थी, और वैज्ञानिकों को अन्य प्रणालियों का उपयोग करना पड़ता था।

प्रारंभ में, वे निर्दिष्ट करके अंक निर्धारित करते हैंअक्षांश और देशांतर। लंबे समय तक, यह इस या उस जानकारी को मैप करने के सबसे अधिक उपयोग किए जाने वाले तरीकों में से एक था। लेकिन 1637 में रेने डेसकार्टेस ने अपनी खुद की समन्वय प्रणाली बनाई, जिसे बाद में महान गणितज्ञ "कार्टेशियन" के नाम पर रखा गया।

काम "ज्यामिति" के प्रकाशन के बाद, रेने डेसकार्टेस की समन्वय प्रणाली ने वैज्ञानिक हलकों में मान्यता प्राप्त की।

पहले से ही 17 वीं शताब्दी के अंत में।"समन्वय तल" की अवधारणा का गणित की दुनिया में व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है। इस तथ्य के बावजूद कि इस प्रणाली के निर्माण के बाद से कई शताब्दियां बीत चुकी हैं, यह अभी भी गणित और यहां तक ​​​​कि जीवन में भी व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है।

निर्देशांक समतल उदाहरण

सिद्धांत के बारे में बात करने से पहले, यहाँ कुछ हैंनिर्देशांक तल के स्पष्ट उदाहरण ताकि आप इसकी कल्पना कर सकें। निर्देशांक प्रणाली मुख्य रूप से शतरंज में प्रयोग की जाती है। बोर्ड पर, प्रत्येक वर्ग के अपने निर्देशांक होते हैं - एक अक्षर निर्देशांक, दूसरा डिजिटल वाला। इसकी सहायता से आप बोर्ड पर किसी विशेष टुकड़े की स्थिति निर्धारित कर सकते हैं।

दूसरा सबसे आकर्षक उदाहरण हैकई खेल "सी बैटल" द्वारा पसंदीदा। याद रखें कि कैसे खेलते समय, आप निर्देशांक को नाम देते हैं, उदाहरण के लिए, B3, इस प्रकार इंगित करता है कि वास्तव में कहाँ निशाना लगाना है। उसी समय, जहाजों को रखकर, आप समन्वय विमान पर अंक निर्धारित करते हैं।

यह समन्वय प्रणाली व्यापक रूप से न केवल गणित, तर्क खेलों में, बल्कि सैन्य मामलों, खगोल विज्ञान, भौतिकी और कई अन्य विज्ञानों में भी उपयोग की जाती है।

समायोजन ध्रुव

जैसा कि पहले ही उल्लेख किया गया है, समन्वय प्रणाली में दो अक्षों को प्रतिष्ठित किया जाता है। आइए उनके बारे में थोड़ी बात करते हैं, क्योंकि वे काफी महत्व रखते हैं।

पहली धुरी, भुज, क्षैतिज है। इसे के रूप में दर्शाया गया है (ऑक्स) दूसरी धुरी कोटि है, जो संदर्भ बिंदु के माध्यम से लंबवत चलती है और इसे इस प्रकार दर्शाया जाता है (ओए) यह दो अक्ष हैं जो विमान को चार तिमाहियों में विभाजित करते हुए समन्वय प्रणाली बनाते हैं। मूल बिंदु इन दो अक्षों के प्रतिच्छेद बिंदु पर है और मान लेता है 0... केवल यदि समतल दो अक्षों द्वारा लम्बवत प्रतिच्छेद करते हुए, एक संदर्भ बिंदु के साथ बनता है, तो क्या यह एक निर्देशांक तल है।

यह भी ध्यान दें कि प्रत्येक कुल्हाड़ी का अपना हैदिशा। आमतौर पर, एक समन्वय प्रणाली का निर्माण करते समय, यह एक तीर के रूप में अक्ष की दिशा को इंगित करने के लिए प्रथागत है। इसके अलावा, एक समन्वय विमान का निर्माण करते समय, प्रत्येक अक्ष को सब्सक्राइब किया जाता है।

क्वार्टरों

आइए अब इस तरह की अवधारणा के बारे में कुछ शब्द कहें:समन्वय विमान का एक चौथाई। विमान को दो अक्षों द्वारा चार तिमाहियों में विभाजित किया गया है। उनमें से प्रत्येक की अपनी संख्या होती है, जबकि विमानों की संख्या वामावर्त होती है।

प्रत्येक क्वार्टर की अपनी विशेषताएं हैं।तो, पहली तिमाही में एब्सिस्सा और कोर्डिनेट सकारात्मक हैं, दूसरी तिमाही में एब्सिस्सा नेगेटिव है, कोर्डिनेट पॉजिटिव है, तीसरे में एब्सिस्सा और ऑर्डिनेट दोनों नेगेटिव हैं, चौथे में एब्सिस्सा पॉजिटिव है, और कोर्डिनेट नकारात्मक है।

इन खूबियों को याद करके आप आसानी से कर सकते हैंनिर्धारित करें कि यह या वह बिंदु किस तिमाही का है। इसके अलावा, यह जानकारी उस स्थिति में आपके लिए उपयोगी हो सकती है जब आपको कार्टेशियन प्रणाली का उपयोग करके गणना करनी हो।

एक समन्वय विमान के साथ काम करें

जब हमने एक विमान की अवधारणा का पता लगाया औरइसके क्वार्टर के बारे में बात करते हुए, आप इस प्रणाली के साथ काम करने जैसी समस्या पर आगे बढ़ सकते हैं, और यह भी बात कर सकते हैं कि इस पर अंक, निर्देशांक कैसे लगाए जाएं। समन्वय तल पर, यह उतना मुश्किल नहीं है जितना पहली नज़र में लग सकता है।

सबसे पहले, सिस्टम ही उस पर बनाया गया हैसभी महत्वपूर्ण प्रतीकों को लागू किया जाता है। फिर हम सीधे अंक या आकृतियों के साथ काम करते हैं। इस मामले में, आंकड़े बनाते समय भी, पहले विमान पर बिंदु खींचे जाते हैं, और फिर आंकड़े खींचे जाते हैं।

इसके बाद, हम सिस्टम के निर्माण और सीधे बिंदुओं और आकृतियों को बनाने के बारे में अधिक विस्तार से बात करेंगे।

विमान निर्माण नियम

यदि आप कागज पर आकृतियों को चिह्नित करना शुरू करने का निर्णय लेते हैं औरअंक, आपको एक समन्वय विमान की आवश्यकता होगी। बिंदुओं के निर्देशांक उस पर लागू होते हैं। एक समन्वय विमान बनाने के लिए, आपको केवल एक शासक और एक कलम या पेंसिल की आवश्यकता होती है। सबसे पहले, क्षैतिज भुज खींचा जाता है, फिर ऊर्ध्वाधर - कोटि। यह याद रखना महत्वपूर्ण है कि कुल्हाड़ियाँ समकोण पर प्रतिच्छेद करती हैं।

इसके अलावा, प्रत्येक अक्ष पर, दिशा का संकेत दिया जाता है और आम तौर पर स्वीकृत पदनामों का उपयोग करके उन पर हस्ताक्षर किए जाते हैं साथ और तथा... कुल्हाड़ियों के चौराहे के बिंदु को भी एक संख्या के साथ चिह्नित और हस्ताक्षरित किया जाता है। 0.

अगली आवश्यक वस्तु आवेदन करना हैमार्कअप दोनों दिशाओं में प्रत्येक अक्ष पर, इकाइयों-खंडों को चिह्नित और हस्ताक्षरित किया जाता है। ऐसा इसलिए किया जाता है ताकि आप विमान के साथ अधिकतम सुविधा के साथ काम कर सकें।

बिंदु को चिह्नित करें

अब बात करते हैं कि निर्देशांक तल पर बिंदुओं के निर्देशांकों को कैसे प्लॉट किया जाए। समतल पर विभिन्न आकृतियों को सफलतापूर्वक स्थापित करने और यहां तक ​​कि समीकरणों को चिह्नित करने के लिए आपको यह मूलभूत बातें जानने की आवश्यकता है।

अंक प्लॉट करते समय, याद रखें कि कैसेउनके निर्देशांक सही ढंग से दर्ज किए गए हैं। तो, आमतौर पर एक अवधि निर्दिष्ट करके, कोष्ठक में दो संख्याएं लिखी जाती हैं। पहली संख्या एब्सिस्सा अक्ष के साथ बिंदु के समन्वय को दर्शाती है, दूसरी - कोर्डिनेट अक्ष के साथ।

बिंदु इस तरह बनाया जाना चाहिए। अक्ष पर पहला निशान ऑक्स बिंदु सेट करें, फिर बिंदु को अक्ष पर चिह्नित करें ओए... इसके बाद, इन पदनामों से काल्पनिक रेखाएँ खींचिए और उनके प्रतिच्छेदन का स्थान ज्ञात कीजिए - यह दिया गया बिंदु होगा।

आपको बस इसे चिह्नित करना है और इस पर हस्ताक्षर करना है। जैसा कि आप देख सकते हैं, सब कुछ काफी सरल है और इसके लिए किसी विशेष कौशल की आवश्यकता नहीं है।

आकार रखें

अब चलिए बिल्डिंग जैसे प्रश्न पर चलते हैंसमन्वय विमान पर आंकड़े। निर्देशांक तल पर किसी भी आकृति का निर्माण करने के लिए, आपको यह जानना होगा कि उस पर बिंदुओं को कैसे रखा जाए। यदि आप जानते हैं कि यह कैसे करना है, तो किसी आकृति को समतल पर रखना इतना कठिन नहीं है।

सबसे पहले, आपको बिंदुओं के निर्देशांक चाहिएआंकड़े। यह उनके अनुसार है कि हम आपके द्वारा चुनी गई ज्यामितीय आकृतियों को हमारे समन्वय प्रणाली पर लागू करेंगे। एक आयत, त्रिभुज और वृत्त खींचने पर विचार करें।

आइए एक आयत से शुरू करते हैं। इसे अप्लाई करना काफी आसान है। सबसे पहले, समतल पर चार बिंदु खींचे जाते हैं, जो आयत के कोनों को दर्शाते हैं। फिर सभी बिंदु एक दूसरे के साथ श्रृंखला में जुड़े हुए हैं।

त्रिभुज बनाना अलग नहीं है। केवल एक चीज यह है कि इसके तीन कोने हैं, जिसका अर्थ है कि तीन बिंदु विमान पर लागू होते हैं, जो इसके शीर्षों को दर्शाते हैं।

आपको सर्कल के बारे में पता होना चाहिएदो बिंदुओं के निर्देशांक। पहला बिंदु वृत्त का केंद्र है, दूसरा वह बिंदु है जो इसकी त्रिज्या को इंगित करता है। इन दो बिंदुओं को विमान पर प्लॉट किया जाता है। फिर एक कंपास लिया जाता है, दो बिंदुओं के बीच की दूरी को मापा जाता है। कम्पास के बिंदु को केंद्र बिंदु पर रखा गया है और एक वृत्त का वर्णन किया गया है।

जैसा कि आप देख सकते हैं, यहां कुछ भी जटिल नहीं है, मुख्य बात यह है कि आपके पास हमेशा एक शासक और परकार होता है।

अब आप जानते हैं कि आकृतियों के निर्देशांक कैसे बनाए जाते हैं। समन्वय तल पर, यह इतना कठिन नहीं है जितना पहली नज़र में लग सकता है।

निष्कर्ष

इसलिए, हमने आपके साथ गणित के लिए सबसे दिलचस्प और बुनियादी अवधारणाओं में से एक पर विचार किया है जिससे प्रत्येक छात्र को निपटना होगा।

हमने पाया है कि निर्देशांक तल हैयह दो अक्षों के प्रतिच्छेदन द्वारा निर्मित तल है। इसकी सहायता से आप बिंदुओं के निर्देशांक सेट कर सकते हैं, उस पर आकृतियाँ लगा सकते हैं। विमान को क्वार्टरों में बांटा गया है, जिनमें से प्रत्येक की अपनी विशेषताएं हैं।

सीखने का मुख्य कौशल जबएक समन्वय विमान के साथ काम करें - उस पर निर्दिष्ट बिंदुओं को सही ढंग से लागू करने की क्षमता। ऐसा करने के लिए, आपको कुल्हाड़ियों के सही स्थान, क्वार्टर की विशेषताओं के साथ-साथ उन नियमों को जानना होगा जिनके द्वारा बिंदुओं के निर्देशांक निर्धारित किए जाते हैं।

हमें उम्मीद है कि हमारे द्वारा प्रस्तुत जानकारी सुलभ और समझने योग्य थी, साथ ही यह आपके लिए उपयोगी थी और इस विषय को बेहतर ढंग से समझने में आपकी मदद की।