Qu'est-ce qu'une tangente à un cercle? Propriétés d'une tangente à un cercle. Tangente commune à deux cercles

Sécantes, tangentes - tout cela pouvait être entendu des centaines de fois dans les cours de géométrie. Mais la remise des diplômes est terminée, les années passent et toutes ces connaissances sont oubliées. Que faut-il retenir ?

Essence

Le terme "tangente à un cercle" estprobablement à tout le monde. Mais il est peu probable que tout le monde puisse formuler rapidement sa définition. Pendant ce temps, une ligne tangente est appelée une ligne droite située dans le même plan avec un cercle, qui ne la coupe qu'en un seul point. Il peut y en avoir une grande variété, mais ils ont tous les mêmes propriétés, qui seront discutées ci-dessous. Comme vous pouvez le deviner, le point de tangence est l'endroit où le cercle et la ligne se coupent. Dans chaque cas précis, c'en est un, mais s'il y en a plus, alors ce sera déjà une sécante.

Histoire de la découverte et de l'étude

Le concept d'une ligne tangente remonte à l'Antiquité.La construction de ces lignes droites, d'abord à un cercle, puis à des ellipses, des paraboles et des hyperboles à l'aide d'une règle et d'un compas, a été réalisée aux premiers stades du développement de la géométrie. Bien sûr, l'histoire n'a pas conservé le nom du découvreur, mais il est évident que même à cette époque les gens étaient tout à fait conscients des propriétés de la tangente à un cercle.

Dans les temps modernes, l'intérêt pour ce phénomène a éclatéencore une fois - un nouveau cycle d'étude de ce concept a commencé en combinaison avec la découverte de nouvelles courbes. Ainsi, Galilée a introduit le concept de cycloïde, et Fermat et Descartes lui ont construit une tangente. Quant aux cercles, il semble qu'il n'y avait plus de secrets pour les anciens dans ce domaine.

Propriétés

Le rayon tracé à l'intersection sera perpendiculaire à la ligne. il

la propriété principale, mais pas la seule quia une tangente au cercle. Une autre caractéristique importante comprend déjà deux lignes droites. Ainsi, à travers un point situé à l'extérieur du cercle, vous pouvez tracer deux tangentes, tandis que leurs segments seront égaux. Il existe un autre théorème sur ce sujet, mais il est rarement passé dans le cadre d'un cours scolaire standard, bien qu'il soit extrêmement pratique pour résoudre certains problèmes. Cela ressemble à ceci. A partir d'un point situé à l'extérieur du cercle, une tangente et une sécante y sont tracées. Les segments AB, AC et AD sont formés. A est l'intersection des droites, B est le point de tangence, C et D sont des intersections. Dans ce cas, l'égalité suivante sera vraie : la longueur de la tangente au cercle, au carré, sera égale au produit des segments AC et AD.

Il y a une conséquence importante de ce qui précède.Pour chaque point du cercle, vous pouvez tracer une tangente, mais une seule. La preuve en est assez simple : théoriquement, en laissant tomber la perpendiculaire du rayon sur elle, nous découvrons que le triangle formé ne peut pas exister. Et cela signifie que la tangente est la seule.

Bâtiment

Parmi les autres problèmes de géométrie, il existe une catégorie spéciale, généralement pas

aimé des élèves et des étudiants. Pour résoudre les tâches de cette catégorie, vous n'avez besoin que d'une boussole et d'une règle. Ce sont des tâches de construction. Il y en a aussi pour la construction d'une ligne tangente.

Donc, étant donné un cercle et un point situé à l'extérieur de celui-cilimites. Et vous devez tracer une tangente à travers eux. Comment cela peut-il être fait? Tout d'abord, vous devez tracer un segment entre le centre du cercle O et un point donné. Ensuite, à l'aide d'une boussole, vous devez le diviser en deux. Pour ce faire, vous devez définir un rayon - un peu plus de la moitié de la distance entre le centre du cercle d'origine et ce point. Après cela, vous devez construire deux arcs qui se croisent. De plus, le rayon de la boussole n'a pas besoin d'être modifié et le centre de chaque partie du cercle sera respectivement le point initial et O. Les intersections des arcs doivent être connectées, ce qui divisera le segment en deux. Réglez le rayon sur la boussole égal à cette distance. Ensuite, avec le centre au point d'intersection, construisez un autre cercle. Le point initial et O se trouveront dessus. Dans ce cas, il y aura deux autres intersections avec le cercle donné dans le problème. Ils seront les points de tangence du point spécifié à l'origine.

Intéressant

C'est la construction de tangentes au cercle qui a conduit à la naissance

calculs différentiels.Le premier ouvrage sur ce sujet a été publié par le célèbre mathématicien allemand Leibniz. Il prévoyait la possibilité de trouver des maxima, des minima et des tangentes indépendamment des valeurs fractionnaires et irrationnelles. Eh bien, maintenant, il est également utilisé pour de nombreux autres calculs.

De plus, la tangente au cercle est associée àla signification géométrique de la tangente. C'est de là que vient son nom. Traduit du latin tangens - "tangente". Ainsi, ce concept est associé non seulement à la géométrie et au calcul différentiel, mais aussi à la trigonométrie.

Deux cercles

La tangente n'affecte pas toujours une seule figure.Si un énorme ensemble de lignes droites peut être tracé sur un cercle, alors pourquoi pas l'inverse ? Pouvez. Mais le problème dans ce cas est sérieusement compliqué, car la tangente à deux cercles peut ne passer par aucun point, et la position relative de toutes ces figures peut être très

différent.

Types et variétés

Lorsqu'il s'agit de deux cercles et d'un ouplusieurs droites, alors même si l'on sait que ce sont des tangentes, on ne comprend pas tout de suite comment toutes ces figures se situent les unes par rapport aux autres. Sur cette base, plusieurs variétés sont distinguées. Ainsi, les cercles peuvent avoir un ou deux points communs ou ne pas en avoir du tout. Dans le premier cas, ils se croiseront, et dans le second, ils se toucheront. Et ici, il y a deux variétés. Si un cercle est pour ainsi dire imbriqué dans le second, alors le toucher est appelé interne, sinon externe. Il est possible de comprendre la position relative des figures non seulement à partir du dessin, mais aussi en ayant des informations sur la somme de leurs rayons et la distance entre leurs centres. Si ces deux valeurs sont égales, alors les cercles sont tangents. Si le premier est plus, ils se croisent, et s'il est moins, alors ils n'ont pas de points communs.

C'est la même chose avec les lignes droites. Pour deux cercles n'ayant pas de points communs, vous pouvez

construire quatre tangentes. Deux d'entre elles vont se croiser entre les formes, elles sont dites internes. Quelques autres sont externes.

Si nous parlons de cercles qui en ont unpoint commun, la tâche est grandement simplifiée. Le fait est que pour toute position relative, dans ce cas, ils n'auront qu'une seule tangente. Et il passera par le point de leur intersection. Ainsi, la construction ne causera pas de difficultés.

Si les figures ont deux points d'intersection, alorspour eux, une ligne droite peut être construite qui est tangente au cercle à la fois de l'un et du second, mais seulement à l'extérieur. La solution à ce problème est similaire à ce qui sera discuté ci-dessous.

Résolution de problèmes

Tant interne qu'externe tangente à deuxcercles, dans la construction ne sont pas si simples, bien que ce problème puisse être résolu. Le fait est qu'une figure auxiliaire est utilisée pour cela, alors pensez à cette méthode vous-même

assez problématique. Donc, étant donné deux cercles avec des rayons et des centres différents O1 et O2. Pour eux, vous devez construire deux paires de tangentes.

Tout d'abord, près du centre du grand cerclevous devez en construire un auxiliaire. Dans ce cas, la différence entre les rayons des deux chiffres originaux doit être établie sur la boussole. Les tangentes au cercle auxiliaire sont construites à partir du centre du plus petit cercle. Après cela, à partir de O1 et O2, des perpendiculaires sont dessinées sur ces lignes jusqu'à ce qu'elles se coupent avec les figures originales. Comme il ressort de la propriété principale de la ligne tangente, les points requis sur les deux cercles sont trouvés. Le problème est résolu, du moins sa première partie.

Afin de construire des tangentes internes, vous devrez résoudre pratiquement

une tâche similaire.Vous aurez à nouveau besoin d'une forme secondaire, mais cette fois son rayon sera égal à la somme des formes d'origine. Des tangentes y sont tracées à partir du centre de l'un de ces cercles. La suite de la solution peut être comprise à partir de l'exemple précédent.

Tangente à un cercle ou même à deux ou plus -pas une tâche si difficile. Bien sûr, les mathématiciens ont depuis longtemps cessé de résoudre ces problèmes manuellement et confient les calculs à des programmes spéciaux. Mais ne pensez pas que maintenant il n'est pas nécessaire de pouvoir le faire vous-même, car pour formuler correctement une tâche pour un ordinateur, vous devez faire et comprendre beaucoup de choses. Malheureusement, on craint qu'après la transition finale vers la forme de test de contrôle des connaissances, les tâches de construction causent de plus en plus de difficultés aux étudiants.

Quant à trouver des tangentes communes pour un grand nombre de cercles, ce n'est pas toujours possible, même s'ils se trouvent dans le même plan. Mais dans certains cas, vous pouvez trouver une telle ligne droite.

Exemples de la vie réelle

Une tangente commune à deux cercles est souventse produit dans la pratique, bien que cela ne soit pas toujours perceptible. Convoyeurs, systèmes de blocs, courroies de transfert de poulies, tension de fil dans une machine à coudre et même juste une chaîne de vélo - tous sont des exemples de la vie. Ne pensez donc pas que les problèmes géométriques restent uniquement théoriques : ils trouvent des applications pratiques dans l'ingénierie, la physique, la construction et bien d'autres domaines.