Méthode d'itération simple pour résoudre des systèmes d'équations linéaires (SLAE)

Méthode d'itération simple, également appelée méthodel'approximation successive est un algorithme mathématique permettant de trouver la valeur d'une quantité inconnue en l'affinant progressivement. L'essence de cette méthode est que, comme son nom l'indique, en exprimant progressivement les suivantes à partir de l'approximation initiale, des résultats de plus en plus raffinés sont obtenus. Cette méthode est utilisée pour trouver la valeur d'une variable dans une fonction donnée, ainsi que pour résoudre des systèmes d'équations, à la fois linéaires et non linéaires.

Voyons comment cette méthode est implémentée lors de la résolution d'un SLAE. La méthode d'itération simple a l'algorithme suivant:

1. Vérification du respect de la condition de convergence dans la matrice d'origine. Théorème de convergence: si la matrice initiale du système a une dominance diagonale (c'est-à-dire que dans chaque ligne, les éléments de la diagonale principale doivent être plus grands en module que la somme des éléments des diagonales secondaires modulo), alors la méthode des itérations simples est convergente.

2. La matrice du système d'origine n'a pas toujours une dominance diagonale. Dans de tels cas, le système peut être converti. Les équations qui satisfont la condition de convergence sont laissées intactes, et avec celles qui ne satisfont pas, elles forment des combinaisons linéaires, c'est-à-dire multipliez, soustrayez, additionnez les équations jusqu'à ce que le résultat souhaité soit obtenu.

Si des coefficients gênants sont trouvés sur la diagonale principale du système résultant, alors les termes de la forme avec_et* X_je, dont les signes doivent coïncider avec les signes des éléments diagonaux.

3. Conversion du système résultant dans sa forme normale:

avec le^-= β^-+ α * x^-

Cela peut être fait de plusieurs façons, par exemple, comme ceci: à partir de la première équation, exprimez x₁ à travers d'autres inconnues, à partir de la seconde - x₂, du troisième - x₃ etc. Dans ce cas, nous utilisons les formules:

α_ij= - (un_ij / une_ii)

_et= b_et/ une_ii
Il convient de vérifier à nouveau que le système résultant de forme normale satisfait à la condition de convergence:

∑ (j = 1) | α_ij| ≤ 1, tandis que i = 1,2, ... n

4. Nous commençons à appliquer, en fait, la méthode même des approximations successives.

avec le⁽⁰⁾- approximation initiale, on exprime à travers elle x⁽¹⁾, puis par x⁽¹⁾ exprimer x⁽²⁾... La formule générale sous forme de matrice ressemble à ceci:

avec le⁽ⁿ⁾= β^-+ α * x^(n-1)

Nous calculons jusqu'à atteindre la précision requise:

max | x_et(k) -x_et(k + 1) ≤ ε

Alors, mettons la méthode d'itération simple en pratique. Exemple:
Résoudre SLAE:

4,5x1-1,7x2 + 3,5x3 = 2
3,1x1 + 2,3x2-1,1x3 = 1
1,8x1 + 2,5x2 + 4,7x3 = 4 avec une précision ε = 10^-3

Voyons si les éléments diagonaux prévalent dans le module.

On voit que seule la troisi

7,6x1 + 0,6x2 + 2,4x3 = 3

Soustrayez le premier du troisième:

-2,7x1 + 4,2x2 + 1,2x3 = 2

Nous avons converti le système d'origine en un système équivalent:

7,6x1 + 0,6x2 + 2,4x3 = 3
-2,7x1 + 4,2x2 + 1,2x3 = 2
1,8x1 + 2,5x2 + 4,7x3 = 4

Maintenant, ramenons le système à la normale:

x1 = 0,3947-0,0789x2-0,3158x3
x2 = 0,4762 + 0,6429x1-0,2857x3
x3 = 0,8511-0,383x1-0,5319x2

Nous vérifions la convergence du processus itératif:

0,0789 + 0,3158 = 0,3947 ≤ 1
0,6429 + 0,2857 = 0,9286 ≤ 1
0,383+ 0,5319 = 0,9149 ≤ 1, soit la condition est remplie.

0,3947
Approximation initiale x⁽⁰⁾ = 0,4762
0,8511

En remplaçant ces valeurs dans l'équation de forme normale, nous obtenons les valeurs suivantes:

0,08835
avec le⁽¹⁾= 0,486793
0,446639

En substituant de nouvelles valeurs, nous obtenons:

0,215243
avec le⁽²⁾= 0,405396
0,558336

Nous continuons les calculs jusqu'à ce que nous nous rapprochions des valeurs qui satisfont la condition donnée.

0,18813

avec le⁽⁷⁾= 0,441091

0,544319

0,188002

avec le⁽⁸⁾ = 0,44164

0,544428

Vérifions l'exactitude des résultats obtenus:

4,5 * 0,1880 -1,7 * 0,441 + 3,5 * 0,544 = 2 0003
3,1 * 0,1880 + 2,3 * 0,441-1,1x * 0,544 = 0,9987
1,8 * 0,1880 + 2,5 * 0,441 + 4,7 * 0,544 = 3,9977

Les résultats obtenus en substituant les valeurs trouvées dans les équations d'origine satisfont pleinement aux conditions de l'équation.

Comme nous pouvons le voir, la méthode d'itération simple donne des résultats assez précis, cependant, pour résoudre cette équation, nous avons dû passer beaucoup de temps et faire des calculs fastidieux.