Exemples de systèmes d'équations linéaires: méthode de la solution

Les systèmes d'équations sont largement utilisés dansindustrie économique dans la modélisation mathématique de divers processus. Par exemple, lors de la résolution de problèmes de gestion et de planification de la production, des itinéraires logistiques (problème de transport) ou du placement des équipements.

Les systèmes d'équations sont utilisés non seulement dans le domaine des mathématiques, mais également en physique, chimie et biologie, pour résoudre les problèmes de détermination de la taille de la population.

Un système d'équations linéaires est appelé deux ou pluséquations à plusieurs variables pour lesquelles il est nécessaire de trouver une solution générale. Une séquence de nombres pour laquelle toutes les équations deviennent de vraies égalités ou prouvent que la séquence n'existe pas.

Équation linéaire

Les équations de la forme ax + by = c sont appelées linéaires. La notation x, y est l'inconnue dont la valeur doit être trouvée, b, a sont les coefficients des variables, c est le terme libre de l'équation.
La solution de l'équation en traçant son graphique aura la forme d'une ligne droite, dont tous les points sont la solution du polynôme.

Types de systèmes d'équations linéaires

Les exemples les plus simples sont considérés comme des systèmes d'équations linéaires à deux variables X et Y.

F1 (x, y) = 0 et F2 (x, y) = 0, où F1,2 sont des fonctions et (x, y) sont des variables de fonction.

Résoudre un système d'équations - cela signifie trouver de telles valeurs (x, y) auxquelles le système se transforme en une véritable égalité ou établir qu'il n'y a pas de valeurs appropriées pour x et y.

Une paire de valeurs (x, y), écrites comme les coordonnées d'un point, est appelée une solution à un système d'équations linéaires.

Si les systèmes ont une solution commune ou si les solutions n'existent pas, ils sont appelés équivalents.

Les systèmes homogènes d'équations linéaires sont des systèmes dont le membre droit est égal à zéro. Si la partie droite après le signe "égal" a une valeur ou est exprimée en fonction, un tel système est hétérogène.

Le nombre de variables peut être beaucoup plus de deux, alors nous devrions parler d'un exemple de système d'équations linéaires avec trois variables ou plus.

Face aux systèmes, les écoliers assumentque le nombre d'équations doit nécessairement coïncider avec le nombre d'inconnues, mais ce n'est pas le cas. Le nombre d'équations dans le système ne dépend pas des variables, il peut y en avoir autant que vous le souhaitez.

Méthodes simples et complexes pour résoudre des systèmes d'équations

Il n'y a pas de méthode analytique généralesolutions de systèmes similaires, toutes les méthodes sont basées sur des solutions numériques. Le cours de mathématiques à l'école décrit en détail des méthodes telles que la permutation, l'addition algébrique, la substitution, ainsi que la méthode graphique et matricielle, la solution par la méthode de Gauss.

La tâche principale de l'enseignement des solutions estil s'agit d'enseigner comment analyser correctement le système et trouver l'algorithme de solution optimal pour chaque exemple. L'essentiel n'est pas de mémoriser le système de règles et d'actions pour chaque méthode, mais de comprendre les principes d'application de telle ou telle méthode

Résolution d'exemples de systèmes d'équations linéaires 7Le programme principal de l'école est assez simple et expliqué en détail. Dans tout manuel de mathématiques, cette section reçoit suffisamment d’attention. La solution d'exemples de systèmes d'équations linéaires par la méthode de Gauss et Cramer est étudiée plus en détail dans les premières années de l'enseignement supérieur.

Solution de systèmes par méthode de substitution

La méthode de substitution agit surexpression de la valeur d'une variable à la seconde. L'expression est substituée dans l'équation restante, puis elle est réduite à une forme avec une variable. L'action est répétée en fonction du nombre d'inconnues dans le système

Donnons la solution d'un exemple de système d'équations linéaires de 7e classe par la méthode de substitution:

Comme vous pouvez le voir dans l'exemple, la variable x a été expriméepar F (X) = 7 + Y. L'expression résultante, substituée dans la 2e équation du système à la place de X, a aidé à obtenir une variable Y dans la 2e équation. La solution de cet exemple ne pose aucune difficulté et permet d'obtenir la valeur Y. La dernière étape consiste à vérifier les valeurs obtenues.

Résoudre un exemple de système d'équations linéairesla substitution n'est pas toujours possible. Les équations peuvent être complexes et l'expression de la variable en fonction de la deuxième inconnue sera trop lourde pour des calculs ultérieurs. Lorsqu'il y a plus de 3 inconnues dans le système, la solution de substitution est également peu pratique.

Solution d'un exemple de système d'équations linéaires non homogènes:

Solution d'addition algébrique

Lors de la recherche d'une solution de systèmes par la méthode d'addition, une addition et une multiplication des équations terme par terme par différents nombres sont effectuées. Le but ultime des mathématiques est une équation à une variable.

La pratique est nécessaire pour appliquer cette méthode.et l'observation. Il n'est pas facile de résoudre un système d'équations linéaires par la méthode d'addition avec 3 variables ou plus. L'addition algébrique est pratique lorsqu'il y a des fractions et des nombres décimaux dans les équations.

Algorithme d'action de solution:

1. Multipliez les deux côtés de l'équation par un certain nombre. Suite à l'opération arithmétique, l'un des coefficients de la variable doit devenir égal à 1.
2. Ajoutez l'expression résultante terme par terme et recherchez l'une des inconnues.
3. Remplacez la valeur obtenue dans la 2ème équation du système pour trouver la variable restante.

Solution en introduisant une nouvelle variable

Une nouvelle variable peut être introduite si le système a besoin de trouver une solution pour pas plus de deux équations, le nombre d'inconnues ne doit pas non plus être supérieur à deux.

La méthode est utilisée pour simplifier l'un deséquations en introduisant une nouvelle variable. La nouvelle équation est résolue par rapport à l'inconnue saisie et la valeur résultante est utilisée pour déterminer la variable d'origine.

L'exemple montre qu'en introduisant une nouvelle variable t, il était possible de réduire la 1ère équation du système à un trinôme quadratique standard. Vous pouvez résoudre le polynôme en trouvant le discriminant.

Il faut trouver la valeur du discriminant parla formule bien connue: D = b2 - 4 * a * c, où D est le discriminant recherché, b, a, c sont les facteurs du polynôme. Dans l'exemple donné, a = 1, b = 16, c = 39, donc D = 100. Si le discriminant est supérieur à zéro, alors il y a deux solutions: t = -b ± √D / 2 * a, si le discriminant est inférieur à zéro, alors il y a une solution: x = -b / 2 * a.

La solution pour les systèmes résultants est trouvée par la méthode d'addition.

Méthode visuelle de résolution de systèmes

Convient aux systèmes à 3 équations. La méthode consiste à tracer sur l'axe des coordonnées des graphiques de chaque équation incluse dans le système. Les coordonnées des points d'intersection des courbes seront la solution générale du système.

La méthode graphique comporte un certain nombre de nuances. Considérons plusieurs exemples de résolution de systèmes d'équations linéaires de manière visuelle.

Comme vous pouvez le voir dans l'exemple, pour chaque ligne droite il y avaitdeux points ont été construits, les valeurs de la variable x ont été choisies arbitrairement: 0 et 3. Sur la base des valeurs de x, les valeurs de y ont été trouvées: 3 et 0. Les points de coordonnées (0, 3) et (3, 0) ont été marqués sur le graphique et reliés par une ligne ...

Les étapes doivent être répétées pour la deuxième équation. Le point d'intersection des lignes est la solution du système.

Dans l'exemple suivant, vous devez trouver une solution graphique à un système d'équations linéaires: 0,5x-y + 2 = 0 et 0,5x-y-1 = 0.

Comme vous pouvez le voir dans l'exemple, le système n'a pas de solution, car les graphiques sont parallèles et ne se coupent pas sur toute leur longueur.

Les systèmes des exemples 2 et 3 sont similaires, mais pourconstruction, il devient évident que leurs solutions sont différentes. Il faut se rappeler qu'il n'est pas toujours possible de dire si un système a une solution ou non, il est toujours nécessaire de construire un graphe.

La matrice et ses variétés

Les matrices sont utilisées pour écrire de manière concise un système d'équations linéaires. Une matrice est appelée une table d'un type spécial rempli de nombres. Une matrice n * m a n - lignes et m - colonnes.

La matrice est carrée lorsque la quantitéles colonnes et les lignes sont égales les unes aux autres. Une matrice vectorielle est une matrice à une colonne avec un nombre infini de lignes. Une matrice avec des uns le long d'une des diagonales et d'autres éléments nuls est appelée matrice d'identité.

Une matrice inverse est une telle matrice, lorsqu'elle est multipliée par laquelle l'original se transforme en matrice d'identité, une telle matrice n'existe que pour le carré d'origine.

Règles pour transformer un système d'équations en matrice

Appliqués aux systèmes d'équations, les coefficients et les termes libres des équations sont écrits sous forme de nombres de matrice, une équation est une ligne de la matrice.

Une ligne de matrice est appelée différente de zéro si au moinsun élément de la chaîne est différent de zéro. Par conséquent, si dans l'une des équations le nombre de variables diffère, il est nécessaire d'écrire zéro au lieu de l'inconnue manquante.

Les colonnes de la matrice doivent correspondre strictementvariables. Cela signifie que les coefficients de la variable x ne peuvent être écrits que dans une colonne, par exemple, la première, le coefficient de l'inconnu y - uniquement dans la seconde.

Lors de la multiplication d'une matrice, tous les éléments de la matrice sont multipliés séquentiellement par un nombre.

Variantes de recherche de la matrice inverse

La formule pour trouver la matrice inverse est assez simple: K^-1= 1 / | K |, où K^-1 est la matrice inverse, et | K | - déterminant de la matrice. | K | ne devrait pas être zéro, alors le système a une solution.

Le déterminant est facilement calculé pour une matrice deux par deux; il vous suffit de multiplier les éléments de la diagonale les uns par les autres. Pour l'option "trois par trois", il existe une formule | K | = a₁dans₂avec₃ + un₁dans₃avec₂ + un₃dans₁avec_{2 +} un₂dans₃avec₁ + un₂dans₁avec₃ + un₃dans₂avec₁... Vous pouvez utiliser la formule, ou vous pouvezrappelez-vous que vous devez prendre un élément de chaque ligne et de chaque colonne afin que les nombres de colonnes et de lignes d'éléments ne se répètent pas dans le travail.

Solution d'exemples de systèmes d'équations linéaires par la méthode matricielle

La méthode matricielle de recherche d'une solution permet de réduire les enregistrements encombrants lors de la résolution de systèmes avec un grand nombre de variables et d'équations.

Dans l'exemple un_nm sont les coefficients des équations, la matrice est le vecteur x_n - variables, et b_n - membres gratuits.

Ensuite, vous devez trouver la matrice inverse et multiplier l'original par elle. Trouver les valeurs des variables dans la matrice d'unité résultante est une tâche facile.

Solution gaussienne des systèmes

En mathématiques supérieures, la méthode Gauss est étudiéeavec la méthode de Cramer, et le processus de recherche d'une solution aux systèmes est appelé la méthode de solution de Gauss-Cramer. Ces méthodes sont utilisées pour trouver des systèmes variables avec un grand nombre d'équations linéaires.

La méthode gaussienne est très similaire aux solutions avecsubstitutions et addition algébrique, mais plus systématiques. Dans le cours scolaire, la solution gaussienne est utilisée pour les systèmes de 3 et 4 équations. Le but de la méthode est de faire ressembler le système à un trapèze inversé. Par transformations et substitutions algébriques, la valeur d'une variable se trouve dans l'une des équations du système. La deuxième équation est une expression avec 2 inconnues, mais 3 et 4 - respectivement avec 3 et 4 variables.

Après avoir amené le système à la forme décrite, la solution supplémentaire est réduite à la substitution séquentielle de variables connues dans les équations du système.

Dans les manuels scolaires de la 7e année, un exemple de solution par la méthode de Gauss est décrit comme suit:

Comme on peut le voir dans l'exemple, à l'étape (3) deux équations ont été obtenues 3x₃-2x₄= 11 et 3x₃+ 2x₄= 7. La solution de l'une des équations vous permettra de découvrir l'une des variables x_n.

Le théorème 5, qui est mentionné dans le texte, dit que si l'une des équations du système est remplacée par une équivalente, alors le système résultant sera également équivalent à l'original.

La méthode de Gauss est difficile à percevoir pour les élèveslycée, mais c'est l'un des moyens les plus amusants de développer l'intelligence des enfants dans les cours avancés de mathématiques et de physique.

Pour faciliter l'enregistrement des calculs, il est habituel de procéder comme suit:

Coefficients d'équations et termes libressont écrites sous la forme d'une matrice, où chaque ligne de la matrice est liée à l'une des équations du système. La barre verticale sépare le côté gauche de l'équation du côté droit. Les chiffres romains indiquent le nombre d'équations dans le système.

Tout d'abord, notez la matrice avec laquelletravail, puis toutes les actions effectuées avec l'une des lignes. La matrice résultante est écrite après le signe de la flèche et les actions algébriques nécessaires sont poursuivies jusqu'à ce que le résultat soit atteint.

En conséquence, une matrice doit être obtenue dans laquellel'une des diagonales est 1 et tous les autres coefficients sont égaux à zéro, c'est-à-dire que la matrice est amenée à une forme unique. N'oubliez pas de faire des calculs avec les nombres des deux côtés de l'équation.

Cette méthode d'enregistrement est moins encombrante et permet de ne pas être distrait en listant les nombreuses inconnues.

Application gratuite de toute solutionexigera des soins et une certaine expérience. Toutes les méthodes ne sont pas de nature appliquée. Certaines manières de trouver des solutions sont plus préférables dans cet autre domaine de l'activité humaine, tandis que d'autres existent à des fins de formation.