Je pense que nous devrions commencer par une histoire si glorieuseoutil mathématique sous forme d'équations différentielles. Comme tous les calculs différentiels et intégraux, ces équations ont été inventées par Newton à la fin du 17e siècle. Il considérait cette découverte si importante qu'il avait même chiffré un message qui aujourd'hui peut être traduit par quelque chose comme ceci: «Toutes les lois de la nature sont décrites par des équations différentielles». Cela peut sembler exagéré, mais c'est le cas. Toute loi de la physique, de la chimie, de la biologie peut être décrite par ces équations.
Les mathématiciens Euler et Lagrange ont apporté une énorme contribution au développement et à la création de la théorie des équations différentielles. Déjà au XVIIIe siècle, ils ont découvert et développé ce qui est actuellement étudié dans les dernières années des universités.
Une nouvelle étape dans l'étude des équations différentiellescommencé grâce à Henri Poincaré. Il a créé la «théorie qualitative des équations différentielles», qui, en combinaison avec la théorie des fonctions d'une variable complexe, a apporté une contribution significative à la fondation de la topologie - la science de l'espace et ses propriétés.
Que sont les équations différentielles?
Beaucoup ont peur d'une phrase"équation différentielle". Cependant, dans cet article, nous détaillerons toute l'essence de cet appareil mathématique très utile, qui n'est en fait pas aussi compliqué que son nom l'indique. Afin de commencer à parler d'équations différentielles du premier ordre, vous devez d'abord vous familiariser avec les concepts de base qui sont intrinsèquement associés à cette définition. Et nous allons commencer par le différentiel.
Différentiel
Beaucoup de gens connaissent ce concept depuis l'école.Cependant, insistons-y plus en détail. Imaginez un graphique d'une fonction. Nous pouvons l'agrandir à tel point que tout segment de celui-ci prend la forme d'une ligne droite. On y prend deux points infiniment proches l'un de l'autre. La différence entre leurs coordonnées (x ou y) sera infinitésimale. Il est appelé différentiel et désigné par les signes dy (différentiel de y) et dx (différentiel de x). Il est très important de comprendre que le différentiel n'est pas une valeur finie, c'est sa signification et sa fonction principale.
Et maintenant, il est nécessaire de considérer l'élément suivant, qui nous sera utile pour expliquer le concept d'une équation différentielle. Ceci est un dérivé.
Dérivé
Nous avons probablement tous entendu ce concept à l'école.On dit que la dérivée est la vitesse à laquelle une fonction croît ou diminue. Cependant, à partir de cette définition, beaucoup devient incompréhensible. Essayons d'expliquer la dérivée en termes de différentiels. Revenons au segment infinitésimal d'une fonction avec deux points à une distance minimale l'un de l'autre. Mais même pour cette distance, la fonction a le temps de changer d'un certain montant. Et pour décrire ce changement et est venu avec un dérivé, qui peut autrement être écrit comme le rapport des différentiels: f (x) "= df / dx.
Maintenant, il convient de considérer les propriétés de base du dérivé. Il n'y en a que trois:
- La dérivée de la somme ou de la différence peut être représentée comme la somme ou la différence des dérivées: (a + b) "= a" + b "et (a-b)" = a "-b".
- La deuxième propriété est liée à la multiplication. Le dérivé d'un produit est la somme des produits d'une fonction par le dérivé d'une autre: (a * b) "= a" * b + a * b ".
- La dérivée de la différence peut s'écrire comme l'égalité suivante: (a / b) "= (a" * b-a * b ") / b2.
Toutes ces propriétés sont utiles pour trouver des solutions aux équations différentielles du premier ordre.
Il existe également des dérivés partiels.Disons que nous avons une fonction z qui dépend des variables x et y. Pour calculer la dérivée partielle de cette fonction, disons par rapport à x, nous devons prendre la variable y comme constante et simplement différencier.
Intégral
L'intégrale est un autre concept important.En fait, c'est exactement le contraire d'un dérivé. Les intégrales se présentent sous plusieurs formes, mais pour résoudre les équations différentielles les plus simples, nous avons besoin des intégrales indéfinies les plus triviales.
Alors, qu'est-ce qu'une intégrale?Disons que nous avons une certaine dépendance de f sur x. Nous en prenons l'intégrale et obtenons la fonction F (x) (souvent appelée la primitive), dont la dérivée est égale à la fonction d'origine. Ainsi, F (x) "= f (x). Il s'ensuit également que l'intégrale de la dérivée est égale à la fonction d'origine.
Lors de la résolution d'équations différentielles, il est très important de comprendre la signification et la fonction de l'intégrale, car vous devrez très souvent les utiliser pour trouver une solution.
Les équations sont différentes selon leur nature. Dans la section suivante, nous examinerons les types d'équations différentielles du premier ordre, puis nous apprendrons à les résoudre.
Classes d'équations différentielles
Les "diffures" sont divisées par ordre de dérivées,participer à eux. Ainsi, il y a le premier, le deuxième, le troisième et plus. Ils peuvent également être divisés en plusieurs classes: dérivés ordinaires et partiels.
Dans cet article, nous examinerons leséquations différentielles du premier ordre. Nous discuterons également des exemples et de la manière de les résoudre dans les sections suivantes. Nous ne considérerons que les ODE, car ce sont les types d'équations les plus courants. Les ordinaires sont divisés en sous-espèces: avec des variables séparables, homogènes et hétérogènes. Ensuite, vous apprendrez en quoi ils diffèrent les uns des autres et comment les résoudre.
De plus, ces équations peuvent être combinées pour former un système d'équations différentielles du premier ordre. Nous examinerons également ces systèmes et apprendrons à les résoudre.
Pourquoi ne considérons-nous que la première commande? Parce que vous devez commencer simple, et il est tout simplement impossible de décrire tout ce qui concerne les équations différentielles dans un seul article.
Equations séparables
Ce sont peut-être le différentiel le plus simpleéquations du premier ordre. Ceux-ci incluent des exemples qui peuvent être écrits comme ceci: y "= f (x) * f (y). Pour résoudre cette équation, nous avons besoin d'une formule pour représenter la dérivée sous forme de rapport de différentiels: y" = dy / dx. En l'utilisant, nous obtenons l'équation suivante: dy / dx = f (x) * f (y). Nous pouvons maintenant passer à la méthode de résolution des exemples standard: nous allons diviser les variables en parties, c'est-à-dire que nous allons tout transférer de la variable y à la partie où se trouve dy, et faire de même avec la variable x. Nous obtenons une équation de la forme: dy / f (y) = f (x) dx, qui est résolue en prenant des intégrales des deux parties. N'oubliez pas la constante, qui doit être définie après avoir pris l'intégrale.
La solution de toute "diffusion" est fonction de la dépendance de x sur y (dans notre cas) ou, s'il y a une condition numérique, alors la réponse est sous la forme d'un nombre. Analysons tout le déroulement de la solution à l'aide d'un exemple spécifique:
y "= 2y * sin (x)
Nous transférons les variables dans différentes directions:
dy / y = 2 * sin (x) dx
Maintenant, nous prenons les intégrales. Tous peuvent être trouvés dans un tableau spécial d'intégrales. Et nous obtenons:
ln (y) = -2 * cos (x) + C
Si nécessaire, nous pouvons exprimer «jeu» commefonction de "x". Maintenant, nous pouvons dire que notre équation différentielle est résolue si la condition n'est pas spécifiée. Une condition peut être spécifiée, par exemple, y (n / 2) = e. Ensuite, nous substituons simplement la valeur de ces variables dans la solution et trouvons la valeur de la constante. Dans notre exemple, il est égal à 1.
Equations différentielles homogènes du premier ordre
Passons maintenant à la partie la plus difficile.Les équations différentielles homogènes du premier ordre peuvent s'écrire sous la forme générale suivante: y "= z (x, y). Il faut noter que la bonne fonction de deux variables est homogène et ne peut pas être divisée en deux dépendances: z sur x et z sur y. Vérifier si l'équation est homogène ou non est assez simple: nous faisons la substitution x = k * x et y = k * y. Maintenant nous annulons tous les k. Si toutes ces lettres se sont annulées, alors le l'équation est homogène et nous pouvons procéder en toute sécurité à sa solution Disons: le principe de résolution de ces exemples est également très simple.
Nous devons faire un remplacement:y = t (x) * x, où t est une fonction qui dépend également de x. Ensuite, nous pouvons exprimer la dérivée: y "= t" (x) * x + t. En remplaçant tout cela dans notre équation d'origine et en la simplifiant, nous obtenons un exemple avec des variables séparables t et x. Nous le résolvons et obtenons la dépendance t (x). Lorsque nous l'obtenons, nous substituons simplement y = t (x) * x dans notre remplacement précédent. Ensuite, nous obtenons la dépendance de y sur x.
Pour clarifier les choses, regardons un exemple: x * y "= y-x * ey / x.
Lors de la vérification et du remplacement, tout est réduit.Cela signifie que l'équation est vraiment homogène. Maintenant, nous faisons un autre remplacement, dont nous avons parlé: y = t (x) * x et y "= t" (x) * x + t (x). Après simplification, on obtient l'équation suivante: t "(x) * x = -et... Résolvez l'exemple résultant avec des variables séparées et obtenez: e-t= ln (C * x). Nous n'avons qu'à remplacer t par y / x (après tout, si y = t * x, alors t = y / x), et nous obtenons la réponse: e-y / x= ln (x * C).
Equations différentielles linéaires du premier ordre
Il est temps d'envisager un autre vaste sujet.Nous analyserons les équations différentielles non homogènes du premier ordre. En quoi sont-ils différents des deux précédents? Découvrons-le. Les équations différentielles linéaires du premier ordre sous forme générale peuvent s'écrire comme suit: y "+ g (x) * y = z (x). Il convient de préciser que z (x) et g (x) peuvent être constants.
Et maintenant un exemple: y "- y * x = x2.
Il y a deux façons de résoudre ce problème, et nous traiterons les deux dans l'ordre. La première est la méthode de variation des constantes arbitraires.
Afin de résoudre l'équation de cette manière, vous devez d'abord assimiler le côté droit à zéro et résoudre l'équation résultante, qui, après le transfert des pièces, prendra la forme:
y "= y * x;
dy / dx = y * x;
dy / y = xdx;
ln | y | = x2/ 2 + C;
y = ex2 / 2* yAvec= C1* ex2 / 2.
Maintenant, nous devons remplacer la constante C1 à la fonction v (x), que nous devons trouver.
y = v * ex2 / 2.
Remplaçons le dérivé:
y "= v" * ex2 / 2-x * v * ex2 / 2.
Et nous substituons ces expressions dans l'équation d'origine:
v "* ex2 / 2 - x * v * ex2 / 2 + x * v * ex2 / 2 = x2.
Vous pouvez voir que deux termes sont annulés sur la gauche. Si dans un exemple cela ne s'est pas produit, alors vous avez fait quelque chose de mal. Nous allons continuer:
v "* ex2 / 2 = x2.
Maintenant, nous résolvons l'équation habituelle dans laquelle nous devons séparer les variables:
dv / dx = x2/ ex2 / 2;
dv = x2* e-x2 / 2dx.
Pour extraire l'intégrale, il faut appliquerici intégration par pièces. Cependant, ce n'est pas le sujet de notre article. Si vous êtes intéressé, vous pouvez apprendre à faire ces choses vous-même. Ce n'est pas difficile, et avec suffisamment de compétence et d'attention, cela ne prend pas beaucoup de temps.
Passons à la deuxième méthode de résolution d'équations non homogènes: la méthode de Bernoulli. C'est à vous de décider quelle approche est la plus rapide et la plus simple.
Ainsi, lors de la résolution de l'équation par cette méthode, nousil faut faire un remplacement: y = k * n. Ici, k et n sont des fonctions dépendant de x. Alors la dérivée ressemblera à ceci: y "= k" * n + k * n "Remplacez les deux substitutions dans l'équation:
k "* n + k * n" + x * k * n = x2.
Nous regroupons:
k "* n + k * (n" + x * n) = x2.
Nous devons maintenant assimiler à zéro ce qui est entre parenthèses. Maintenant, si vous combinez les deux équations résultantes, vous obtenez un système d'équations différentielles du premier ordre qui doit être résolu:
n "+ x * n = 0;
k "* n = x2.
Nous résolvons la première égalité comme une équation ordinaire. Pour ce faire, vous devez séparer les variables:
dn / dx = x * v;
dn / n = xdx.
Nous prenons l'intégrale et obtenons: ln (n) = x2/ 2. Alors, si nous exprimons n:
n = ex2 / 2.
Maintenant, nous substituons l'égalité résultante dans la deuxième équation du système:
k "* ex2 / 2= x2.
Et en convertissant, nous obtenons la même égalité que dans la première méthode:
dk = x2/ ex2 / 2.
Nous n'analyserons pas non plus d'autres actions.Il faut dire qu'au début, la solution d'équations différentielles du premier ordre pose des difficultés importantes. Cependant, avec un approfondissement du sujet, il commence à s'améliorer.
Où sont utilisées les équations différentielles?
Equations différentielles très activesappliquée en physique, puisque presque toutes les lois de base sont écrites sous forme différentielle, et les formules que nous voyons sont la solution de ces équations. En chimie, ils sont utilisés pour la même raison: les lois de base sont déduites avec leur aide. En biologie, des équations différentielles sont utilisées pour modéliser le comportement de systèmes, comme un prédateur-proie. Ils peuvent également être utilisés pour créer des modèles de reproduction pour, par exemple, une colonie microbienne.
Comment les équations différentielles aident-elles dans la vie?
La réponse à cette question est simple: rien.Si vous n'êtes ni scientifique ni ingénieur, il est peu probable qu'ils vous soient utiles. Cependant, pour le développement général, il ne fait pas de mal de savoir ce qu'est une équation différentielle et comment elle est résolue. Et puis la question d'un fils ou d'une fille "qu'est-ce qu'une équation différentielle?" ne vous confondra pas. Eh bien, si vous êtes un scientifique ou un ingénieur, vous comprenez vous-même l'importance de ce sujet dans toute science. Mais le plus important est que maintenant la question "comment résoudre une équation différentielle du premier ordre?" vous pouvez toujours donner une réponse. D'accord, c'est toujours agréable de comprendre ce que les gens ont même peur de comprendre.
Les principaux problèmes de l'étude
Le principal problème pour comprendre ce sujet estfaible aptitude à intégrer et à différencier les fonctions. Si vous n'êtes pas doué pour prendre des dérivés et des intégrales, il vaut probablement la peine d'en apprendre davantage, de maîtriser différentes méthodes d'intégration et de différenciation, puis de commencer à étudier le matériel décrit dans l'article.
Certaines personnes sont surprises quand elles découvrent que dxpeut être transféré, car plus tôt (à l'école), il était indiqué que la fraction dy / dx est indivisible. Ici, vous devez lire la littérature sur la dérivée et comprendre que c'est le rapport des quantités infinitésimales qui peut être manipulé lors de la résolution d'équations.
Beaucoup ne se rendent pas immédiatement compte que la résolution d'équations différentielles du premier ordre est souvent une fonction ou une intégrale non triviale, et cette illusion leur pose beaucoup de problèmes.
Que pouvez-vous étudier d'autre pour une meilleure compréhension?
Il est préférable de commencer une immersion supplémentaire dans le mondecalcul différentiel à partir de manuels spécialisés, par exemple en analyse mathématique pour les étudiants de spécialités non mathématiques. Ensuite, vous pouvez passer à la littérature plus spécialisée.
Il vaut la peine de dire qu'en plus des équations différentielles, il existe également des équations intégrales, de sorte que vous aurez toujours quelque chose à rechercher et à étudier.
Conclusion
Nous espérons qu'après avoir lu cet article, vous aurez une idée de ce que sont les équations différentielles et comment les résoudre correctement.
Dans tous les cas, les mathématiques nous sont d'une certaine manière utiles dans la vie. Il développe la logique et l'attention, sans lesquelles chaque personne ne ressemble à aucune main.
