Yhdessä voit olla varma sata prosenttia.prosenttiosuus, että kysymys siitä, mikä on yhtä suuri kuin hypotenuusun neliö, mikä tahansa aikuinen ihminen vastaa rohkeasti: "Jalkojen neliöiden summa". Tämä lause on tiukasti kiinni jokaisen koulutetun ihmisen mielissä, mutta riittää, jos joku pyytää sitä todistamaan, ja sitten voi olla vaikeuksia. Siksi muistakaamme ja harkitsemme erilaisia tapoja todistaa Pythagorean lause.
Yleiskatsaus elämäkertaan
Pythagorean lause on lähes kaikille tuttu, muttajostain syystä sen tuottaneen henkilön elämäkerta ei ole niin suosittu. Se on korjattavissa. Siksi, ennen kuin tutkit Pythagorean lauseen osoittamisen eri menetelmiä, sinun täytyy tutustua lyhyesti hänen persoonallisuuteensa.
Pythagoras - filosofi, matemaatikko, ajattelijaMuinainen Kreikka. Tänään on hyvin vaikea erottaa hänen elämäkertaansa legendoista, jotka ovat muodostuneet tämän suuren miehen muistoksi. Mutta seuraajiensa töistä seuraa, että Samosin Pythagoras syntyi Samosin saarella. Hänen isänsä oli tavallinen kivenleikkuri, mutta hänen äitinsä oli peräisin jaloista perheestä.
Legendan mukaan Pythagoran syntymäennustaa naiselle nimeltä Pythia, jonka kunnia ja nimesi pojan. Hänen ennusteensa mukaan syntyneen pojan pitäisi tuoda paljon hyötyä ja hyvää ihmiskunnalle. Mitä hän todella teki.
Teoreeman syntymä
Hänen nuoruudessaan Pythagoras muutti SamosistaEgypti tapaa siellä kuuluisat Egyptin pojat. Kun he olivat tavanneet heidät, hän sai oppia, jossa hän oppi kaikki Egyptin filosofian, matematiikan ja lääketieteen suuret saavutukset.
Pythagoras inspiroi todennäköisesti Egyptissäpyramidien majesteettisuus ja kauneus ja loi hänen suuren teoriansa. Tämä saattaa järkyttää lukijoita, mutta nykyajan historioitsijat uskovat, että Pythagoras ei todistanut teoriaansa. Hän välitti tietonsa vain seuraajilleen, jotka myöhemmin suorittivat kaikki tarvittavat matemaattiset laskelmat.
Olkoon niin kuin on, nykyään ketään ei tunnetamenetelmä tämän lauseen todistamiseksi, mutta useita kerralla. Tänään voimme vain arvata, kuinka tarkalleen muinaiset kreikkalaiset tekivät laskelmansa, joten tässä tarkastellaan erilaisia tapoja todistaa Pythagoraan lause.
Pythagoraan lause
Ennen laskelmien aloittamista sinun on selvitettävä, mikä teoria on osoitettava. Pythagoraan lause on seuraava: ”Kolmiossa, jonka yksi kulmista on 90noin, jalkojen neliöiden summa on yhtä suuri kuin hypotenuusan neliö. "
Yhteensä on 15 erilaista tapaa todistaa Pythagoraan lause. Tämä on melko suuri luku, joten kiinnitämme huomiota suosituimpiin.
Menetelmä 1
Ensinnäkin, määritetään, mitä meille annetaan. Nämä tiedot koskevat muita pythagoraanalaisen lauseen todentamismenetelmiä, joten muista heti kaikki käytettävissä olevat merkinnät.
Oletetaan, että annetaan suorakulmainen kolmio, jonka jalat a, b ja hypotenuus ovat yhtä suuret kuin c. Ensimmäinen todentamismenetelmä perustuu siihen, että suorakulmaisesta kolmiosta on piirrettävä neliö.
Tätä varten tarvitset pituuden apiirrä segmentti, joka on yhtä suuri kuin jalka c, ja päinvastoin. Tämän pitäisi muodostaa neliön kaksi yhtä suurta sivua. On vain piirrettävä kaksi yhdensuuntaista viivaa, ja neliö on valmis.
Tuloksena olevan muodon sisällä sinun on piirrettävä toinenyksi neliö, jonka sivut ovat yhtä suuret kuin alkuperäisen kolmion hypotenuus. Tätä varten sinun on piirrettävä pisteistä ac ja sv kaksi rinnakkaista osaa, jotka ovat yhtä suuret kuin c. Siten saamme neliön kolme sivua, joista yksi on alkuperäisen suorakulmaisen kolmion hypotenuus. Jäljellä on vain neljännen segmentin viimeistely.
Tuloksena olevan kuvan perusteella voidaan päätellä, että ulomman neliön pinta-ala on (a + b)2... Jos katsot kuvan sisään, näet, että sisemmän neliön lisäksi siinä on neljä suorakulmaista kolmiota. Jokaisen pinta-ala on 0,5 av.
Siksi alue on: 4 * 0,5av + s2= 2av + s2
Siksi (a + b)2= 2av + s2
Ja siksi2= a2+ sisään2
Lause on todistettu.
Menetelmä kaksi: samanlaiset kolmiot
Tämä kaava Pythagoraan lauseen todistamiseenjohdettiin samanlaisten kolmioiden geometriaosasta annetun lausunnon perusteella. Siinä sanotaan, että suorakulmaisen kolmion jalka on sen hypotenuusin ja kulman 90 kärjestä tulevan hypotenuusasegmentin suhteellinen keskiarvo.noin.
Lähtötiedot pysyvät ennallaan, joten aloitetaan heti todisteilla. Piirretään SD: n segmentti kohtisuoraan sivuun AB. Edellä esitetyn perusteella kolmiot ovat:
AC = √AB * Helvetti, SV = √AB * DV.
Pythagoraan lauseen todistamiseen vastaamiseksi kysymys on täydennettävä neliöimällä molemmat eriarvoisuudet.
AS2= AB * Helvetti ja SV2= AB * DV
Nyt sinun on laskettava yhteen syntyvät eriarvoisuudet.
AS2+ CB2= AB * (Helvetti * DV), jossa Helvetti + DV = AB
Osoittautui, että:
AS2+ CB2= AB * AB
Ja siksi:
AS2+ CB2= AB2
Pythagoraan lauseen todistaminen ja erilaiset keinot sen ratkaisemiseksi edellyttävät monipuolista lähestymistapaa tähän ongelmaan. Tämä vaihtoehto on kuitenkin yksi yksinkertaisimmista.
Toinen laskentatekniikka
Lauseen eri todistamistapojen kuvausPythagoras ei saa sanoa mitään ennen kuin aloitat harjoittelun yksin. Moniin tekniikoihin sisältyy matemaattisten laskelmien lisäksi myös uusien muotojen rakentaminen alkuperäisestä kolmiosta.
Tässä tapauksessa on tarpeen suorittaa toinen VSD: n suorakulmainen kolmio BC: n jalasta. Siten nyt on kaksi kolmiota, joilla on yhteinen jalka BC.
Kun tiedetään, että tällaisten lukujen alueilla on suhde neliöinä vastaaviin lineaarisiin mittoihin, niin:
Cabc * kanssa2- Savd* sisään2 = Savd* a2- Svd* a2
Cabc* (alkaen2-sisään2) = a2* (Savd-Svd)
kanssa2-sisään2= a2
kanssa2= a2+ sisään2
Koska tämä vaihtoehto on tuskin sopiva eri tavoilla todistaa Pythagoraan lause 8. luokalle, voit käyttää seuraavaa tekniikkaa.
Helpoin tapa todistaa Pythagoraan lause. Arvostelut
Historioitsijat uskovat, että tämä menetelmä oli ensimmäinenkäytetään todistamaan lause muinaisessa Kreikassa. Se on yksinkertaisin, koska se ei vaadi mitään laskelmia. Jos piirustus on piirretty oikein, todiste lausunnosta, että a2+ sisään2= kanssa2 , ovat selvästi näkyvissä.
Tämän menetelmän ehdot eroavat hieman edellisestä. Oletetaan, että suorakulmainen kolmio ABC on tasa-arvoinen.
Hypotenuusa AC otetaan neliön sivuksi jame alistamme sen kolme puolta. Lisäksi sinun on piirrettävä kaksi diagonaalista viivaa tuloksena olevaan neliöön. Joten sen sisällä on neljä tasakylkistä kolmiota.
Jaloille AB ja CB sinun on myös piirrettävä neliö ja piirrettävä yksi diagonaalinen viiva kumpaankin niistä. Ensimmäinen viiva vedetään kärjestä A, toinen C: stä.
Nyt sinun on tarkasteltava tarkasti tuloksena olevaa piirustusta. Koska AC-hypotenuusissa on neljä kolmiota, jotka ovat yhtä alkuperäisen kanssa ja kaksi jaloissa, tämä osoittaa tämän lauseen totuuden.
Muuten, tämän Pythagoraan lauseen todistamismenetelmän ansiosta syntyi kuuluisa lause: "Pythagorean housut ovat tasa-arvoisia kaikkiin suuntiin."
J.Garfieldin todiste
James Garfield on Yhdysvaltojen 20. presidentti. Sen lisäksi, että hän jätti jälkensä historiaan Yhdysvaltain hallitsijana, hän oli myös lahjakas itseoppinut.
Uransa alussa hän oli tavallinenopettajana kansakoulussa, mutta pian hänestä tuli yhden korkeakoulun johtaja. Itsekehityksen halu antoi hänelle ehdottaa uutta teoriaa Pythagoraan lauseen todistamiseksi. Lause ja esimerkki sen ratkaisusta ovat seuraavat.
Ensin sinun on piirrettävä kaksisuorakulmaiset kolmiot siten, että yhden niistä haara on toisen jatko. Näiden kolmioiden kärjet on yhdistettävä muodostamaan puolisuunnikkaan.
Kuten tiedät, trapetsin pinta-ala on yhtä suuri kuin sen pohjien puolisumman ja korkeuden tulo.
S = a + b / 2 * (a + b)
Jos katsomme tuloksena olevan puolisuunnikkaan kolmesta kolmiosta koostuvaksi kuvaksi, sen pinta-ala löytyy seuraavasti:
S = av / 2 * 2 + s2/ 2
Nyt sinun on tasattava kaksi alkuperäistä lauseketta
2av / 2 + s / 2 = (a + b)2/ 2
kanssa2= a2+ sisään2
Pythagoraan lauseesta ja sen todentamismenetelmistä voidaan kirjoittaa useampi kuin yksi osa oppikirjaa. Mutta onko järkevää, kun tätä tietoa ei voida soveltaa käytännössä?
Pythagoraan lauseen käytännön soveltaminen
Valitettavasti nykyaikaisissa kouluohjelmissatämän lauseen käyttö tarjotaan vain geometrisissa tehtävissä. Valmistuneet lähtevät pian koulun muureista tietämättä, miten he voivat soveltaa tietojaan ja taitojaan käytännössä.
Käytä itse asiassa Pythagoraan lauseajokainen voi tehdä jokapäiväisen elämänsä. Eikä vain ammatillisessa toiminnassa, vaan myös tavallisissa kotitöissä. Tarkastellaan useita tapauksia, joissa Pythagoraan lause ja sen todentamismenetelmät saattavat olla äärimmäisen välttämättömiä.
Lauseen ja tähtitieteen yhteys
Näyttää siltä, kuinka paperilla olevat tähdet ja kolmiot voidaan yhdistää. Itse asiassa tähtitiede on tieteellinen ala, jolla Pythagoraan teoreemaa käytetään laajalti.
Harkitse esimerkiksi valonsäteen liikettä avaruudessa. Tiedetään, että valo liikkuu molempiin suuntiin samalla nopeudella. Liikerata AB, jota valonsäde siirtää, kutsutaan l. Ja puolet ajasta kestää valoa päästäksesi pisteestä A pisteeseen B, soitamme T... Ja säteen nopeus - c. Osoittautui, että: c * t = l
Jos katsot tätä toista sädettäesimerkiksi avaruusalukselta, joka liikkuu nopeudella v, niin tällaisella kappaleiden havainnoinnilla niiden nopeus muuttuu. Tässä tapauksessa jopa paikallaan olevat elementit liikkuvat nopeudella v vastakkaiseen suuntaan.
Oletetaan, että sarjakuva kulkee oikealle.Sitten pisteet A ja B, joiden väliin säde heitetään, siirtyvät vasemmalle. Lisäksi, kun säde siirtyy pisteestä A pisteeseen B, pisteellä A on aikaa liikkua ja vastaavasti valo saapuu jo uuteen pisteeseen C. Jos haluat löytää puolet etäisyydestä, jolla piste A on siirtynyt, sinun on kerrottava vuorausnopeus puolella säteen matka-ajasta (t ").
d = t "* v
Ja jotta voit selvittää, kuinka pitkälle valonsäde voisi kulkea tänä aikana, sinun on nimettävä puolet polusta uudella s-kirjaimella ja saat seuraavan lausekkeen:
s = c * t "
Jos kuvittelemme, että valopisteet C ja B sekäavaruuslinja on tasakylkisen kolmion kärki, sitten segmentti pisteestä A vuoraukseen jakaa sen kahteen suorakulmaiseen kolmioon. Siksi Pythagoraan lauseen ansiosta löydät etäisyyden, jonka valonsäde voisi kulkea.
alkaen2 = l2 + d2
Tämä esimerkki ei tietenkään ole menestynein esimerkki, koska vain harvat voivat olla onnekkaita kokeilemaan sitä käytännössä. Siksi tarkastelemme tämän lauseen tavallisempia sovelluksia.
Mobiilin signaalin siirtosäde
On jo mahdotonta kuvitella nykyaikaista elämää ilman älypuhelimia. Mutta olisiko niistä paljon hyötyä, jos he eivät pystyisi liittämään tilaajia matkaviestinnän kautta?
Matkaviestinnän laatu riippuu suoraankuinka korkea matkapuhelinoperaattorin antenni on. Voit laskea, kuinka pitkälle puhelin voi vastaanottaa signaalin matkapuhelintornista, soveltamalla Pythagoraan lauseen.
Oletetaan, että sinun on löydettävä kiinteän tornin likimääräinen korkeus, jotta se voi levittää signaalia 200 kilometrin säteellä.
AB (tornin korkeus) = x;
Ilma (signaalinsiirtosäde) = 200 km;
OS (maapallon säde) = 6380 km;
Täältä
OB = OA + ABOV = r + x
Pythagoraan lauseen perusteella havaitaan, että tornin vähimmäiskorkeuden tulisi olla 2,3 kilometriä.
Pythagoraan lause jokapäiväisessä elämässä
Kummallakin tavalla Pythagoraan lause voi osoittautuahyödyllinen jopa kotitöissä, kuten esimerkiksi vaatekaapin korkeuden määrittämisessä. Ensi silmäyksellä ei ole tarvetta käyttää niin monimutkaisia laskelmia, koska voit yksinkertaisesti tehdä mittauksia mittanauhalla. Mutta monet ihmettelevät, miksi tiettyjä ongelmia syntyy kokoonpanoprosessin aikana, jos kaikki mittaukset on tehty enemmän kuin tarkasti.
Tosiasia on, että vaatekaappi meneevaakasuorassa asennossa ja nousee vasta sitten seinää vasten. Siksi kaapin sivun on rakenteen nostamisen aikana kuljettava vapaasti sekä huoneen korkeudella että vinosti.
Oletetaan, että sinulla on vaatekaappi, jonka syvyys on 800 mm.Etäisyys lattiasta kattoon - 2600 mm. Kokenut huonekalut valmistaja kertoo sinulle, että kaapin korkeuden tulisi olla 126 mm pienempi kuin huoneen korkeus. Mutta miksi juuri 126 mm? Katsotaanpa esimerkkiä.
Ihanteellisilla kaapin mitoilla tarkistamme Pythagoraan lauseen toiminnan:
AC = √AB2+ √VS2
AC = √24742+8002= 2600 mm - kaikki yhtyy.
Oletetaan, että kaapin korkeus ei ole 2474 mm, vaan 2505 mm. Sitten:
AC = √25052+ √8002= 2629 mm.
Siksi tämä kaappi ei sovellu asennettavaksi tähän huoneeseen. Koska sen nostaminen pystyasentoon voi vahingoittaa sen runkoa.
Ehkä harkittuaan erilaisia todistustapojaEri tutkijoiden Pythagorasin lause, voimme päätellä, että se on enemmän kuin totta. Nyt voit käyttää saatuja tietoja jokapäiväisessä elämässäsi ja olla täysin varma, että kaikki laskelmat ovat paitsi hyödyllisiä myös oikeita.
