Mielestäni meidän pitäisi aloittaa tarinalla, joka on niin upeamatemaattinen työkalu differentiaaliyhtälöinä. Kuten kaikki differentiaali- ja integraalilaskelmat, Newton keksi nämä yhtälöt 1700-luvun lopulla. Hän piti tätä löytöään niin tärkeänä, että hän jopa salasi viestin, jonka nykyään voidaan kääntää noin tältä: "Kaikkia luonnon lakeja kuvaavat differentiaaliyhtälöt." Tämä saattaa tuntua liioittelulta, mutta on. Mikä tahansa fysiikan, kemian, biologian laki voidaan kuvata näillä yhtälöillä.
Matemaatikot Euler ja Lagrange antoivat valtavan panoksen differentiaaliyhtälöiden teorian kehittämiseen ja luomiseen. Jo 1700-luvulla he löysivät ja kehittivät sen, mitä nyt tutkitaan yliopistojen vanhempina vuosina.
Uusi virstanpylväs differentiaaliyhtälöiden tutkimuksessaalkoi Henri Poincarén ansiosta. Hän loi "kvalitatiivisen differentiaaliyhtälöiden teorian", joka yhdessä monimutkaisen muuttujan funktioteorian kanssa antoi merkittävän panoksen topologian - avaruuden ja sen ominaisuuksien - tieteeseen.
Mitä ovat differentiaaliyhtälöt?
Monet pelkäävät yhtä lausetta"differentiaaliyhtälö". Tässä artikkelissa kuvataan kuitenkin tämän erittäin hyödyllisen matemaattisen laitteen koko olemus, joka ei todellakaan ole niin monimutkainen kuin nimestä voi päätellä. Aloittaaksesi puhua ensimmäisen kertaluvun differentiaaliyhtälöistä, sinun on ensin tutustuttava peruskäsitteisiin, jotka luonnostaan liittyvät tähän määritelmään. Ja aloitamme differentiaalista.
Ero
Monet ihmiset tietävät tämän käsitteen koulusta.Pysytään kuitenkin siinä tarkemmin. Kuvittele funktion kaavio. Voimme suurentaa sitä niin paljon, että mikä tahansa sen segmentti on suoran viivan muotoinen. Siinä otamme kaksi kohtaa, jotka ovat äärettömän lähellä toisiaan. Koordinaattien (x tai y) välinen ero on äärettömän pieni. Sitä kutsutaan differentiaaliksi ja merkitään merkkeillä dy (ero y: stä) ja dx (ero x: stä). On erittäin tärkeää ymmärtää, että ero ei ole rajallinen arvo, ja tämä on sen merkitys ja päätehtävä.
Ja nyt on tarpeen tarkastella seuraavaa elementtiä, josta on hyötyä selitettäessä differentiaaliyhtälön käsitettä. Tämä on johdannainen.
Johdannainen
Luultavasti olemme kaikki kuulleet tämän käsitteen koulussa.Johdannaisen sanotaan olevan nopeus, jolla funktio kasvaa tai pienenee. Tästä määritelmästä tulee kuitenkin paljon käsittämätöntä. Yritetään selittää derivaatti erojen avulla. Palataan funktion äärettömään segmenttiin, jossa on kaksi pistettä, jotka ovat vähintään etäisyydellä toisistaan. Mutta jopa tällä etäisyydellä toiminnolla on aikaa muuttaa jonkin verran. Ja kuvaamaan tätä muutosta ja keksi johdannainen, joka muuten voidaan kirjoittaa erojen suhteena: f (x) "= df / dx.
Nyt on syytä harkita johdannaisen perusominaisuuksia. Niitä on vain kolme:
- Summan tai eron johdannainen voidaan esittää johdannaisten summana tai erona: (a + b) "= a" + b "ja (a-b)" = a "-b".
- Toinen ominaisuus liittyy kertolaskuun. Tuotteen johdannainen on yhden funktion tulojen summa toisen johdannaisella: (a * b) "= a" * b + a * b ".
- Eron derivaatti voidaan kirjoittaa seuraavasti: (a / b) "= (a" * b-a * b ") / b2.
Kaikki nämä ominaisuudet ovat hyödyllisiä meille etsimällä ratkaisuja ensimmäisen kertaluvun differentiaaliyhtälöihin.
On myös osittaisia johdannaisia.Oletetaan, että meillä on funktio z, joka riippuu muuttujista x ja y. Tämän funktion osittaisen johdannaisen laskemiseksi, esimerkiksi x: n suhteen, meidän on otettava muuttuja y vakiona ja vain erotettava.
Integraali
Toinen tärkeä käsite on olennainen.Pohjimmiltaan tämä on täsmälleen päinvastainen johdannainen. Integraaleja on useita muotoja, mutta yksinkertaisimpien differentiaaliyhtälöiden ratkaisemiseksi tarvitsemme kaikkein vähäpätöisimmät määrittelemättömät integraalit.
Joten mikä on olennainen osa?Oletetaan, että meillä on jonkin verran f: n riippuvuutta x: stä. Otamme siitä integraalin ja saamme funktion F (x) (jota usein kutsutaan antiderivatiiviksi), jonka johdannainen on yhtä suuri kuin alkuperäinen funktio. Siten F (x) "= f (x). Tästä seuraa myös, että johdannaisen integraali on yhtä suuri kuin alkuperäinen funktio.
Eriyhtälöiden ratkaisemisessa on erittäin tärkeää ymmärtää integraalin merkitys ja toiminta, koska joudut usein ottamaan ne ratkaisun löytämiseksi.
Yhtälöt ovat erilaisia luonteestaan riippuen. Seuraavassa osassa tarkastelemme ensimmäisen asteen differentiaaliyhtälöiden tyyppejä ja sitten opimme ratkaisemaan ne.
Differentiaaliyhtälöiden luokat
"Hajotukset" jaetaan johdannaisten järjestykseen,osallistua niihin. Siten on ensimmäinen, toinen, kolmas ja useampi järjestys. Ne voidaan myös jakaa useisiin luokkiin: tavalliset ja osittaiset johdannaiset.
Tässä artikkelissa tarkastellaan yleistäensimmäisen asteen differentiaaliyhtälöt. Seuraavissa osioissa keskustellaan myös esimerkeistä ja niiden ratkaisemisesta. Otamme huomioon vain ODE: t, koska nämä ovat yleisimpiä yhtälötyyppejä. Tavalliset jaetaan alalajeihin: erotettavissa olevilla muuttujilla, homogeenisilla ja heterogeenisillä. Seuraavaksi opit, kuinka ne eroavat toisistaan, ja opit ratkaisemaan ne.
Lisäksi nämä yhtälöt voidaan yhdistää siten, että kun saamme ensimmäisen asteen differentiaaliyhtälöiden järjestelmän. Harkitsemme myös tällaisia järjestelmiä ja opimme ratkaisemaan.
Miksi harkitsemme vain ensimmäistä tilausta? Koska sinun on aloitettava yksinkertaisella tavalla, ja on yksinkertaisesti mahdotonta kuvata kaikkea, mikä liittyy differentiaaliyhtälöihin, yhdessä artikkelissa.
Erotettavat yhtälöt
Nämä ovat ehkä yksinkertaisin eroensimmäisen kertaluvun yhtälöt. Näihin sisältyy esimerkkejä, jotka voidaan kirjoittaa näin: y "= f (x) * f (y). Tämän yhtälön ratkaisemiseksi tarvitsemme kaavan, jolla johdannainen esitetään erojen suhteena: y" = dy / dx. Sen avulla saadaan seuraava yhtälö: dy / dx = f (x) * f (y). Nyt voimme kääntyä standardiesimerkkien ratkaisumenetelmän puoleen: jaamme muuttujat osiin, eli siirrämme kaiken y-muuttujasta osaan, jossa dy sijaitsee, ja teemme samoin x-muuttujan kanssa. Saamme muodon yhtälön: dy / f (y) = f (x) dx, joka ratkaistaan ottamalla integraalit molemmilta puolilta. Älä unohda vakiota, joka on asetettava integraalin ottamisen jälkeen.
Ratkaisu mihin tahansa "diffuusioon" on funktio x: n riippuvuudesta y: stä (meidän tapauksessamme) tai, jos on numeerinen ehto, vastaus on luvun muodossa. Analysoidaan ratkaisun koko kulku tietyn esimerkin avulla:
y "= 2y * synti (x)
Siirrämme muuttujia eri suuntiin:
dy / y = 2 * sin (x) dx
Nyt otamme integraalit. Kaikki ne löytyvät erityisestä integraalitaulukosta. Ja saamme:
ln (y) = -2 * cos (x) + C
Tarvittaessa voimme ilmaista "pelin" muodossatoiminto "x": stä. Nyt voimme sanoa, että differentiaaliyhtälömme on ratkaistu, jos ehtoa ei ole määritelty. Ehto voidaan määrittää, esimerkiksi y (n / 2) = e. Sitten yksinkertaisesti korvataan näiden muuttujien arvo ratkaisuun ja löydetään vakion arvo. Esimerkissämme se on yhtä suuri kuin 1.
Ensimmäisen kertaluvun homogeeniset differentiaaliyhtälöt
Siirrytään nyt vaikeampaan osaan.Ensimmäisen kertaluvun homogeeniset differentiaaliyhtälöt voidaan kirjoittaa yleisessä muodossa seuraavasti: y "= z (x, y). On huomattava, että kahden muuttujan oikea funktio on homogeeninen, eikä sitä voida jakaa kahteen riippuvuuteen: z x: llä ja z y: llä. Tarkista, onko yhtälö homogeeninen vai ei, melko yksinkertainen: teemme korvauksen x = k * x ja y = k * y. Peruutamme nyt kaikki k. Jos kaikki nämä kirjaimet ovat peruneet, niin Yhtälö on homogeeninen ja voimme siirtyä turvallisesti sen ratkaisuun. Sanotaan: myös näiden esimerkkien ratkaisuperiaate on hyvin yksinkertainen.
Meidän on tehtävä korvaava:y = t (x) * x, missä t on jokin funktio, joka riippuu myös x: stä. Sitten voimme ilmaista johdannaisen: y "= t" (x) * x + t. Korvaamalla kaikki tämä alkuperäiseen yhtälöömme ja yksinkertaistamalla sitä, saadaan esimerkki erotettavissa olevilla muuttujilla t ja x. Ratkaisemme sen ja saamme riippuvuuden t (x). Kun saamme sen, korvataan yksinkertaisesti y = t (x) * x edellisessä korvauksessamme. Sitten saadaan y: n riippuvuus x: stä.
Selvyyden vuoksi tarkastellaan esimerkkiä: x * y "= y-x * ey / x.
Tarkistettaessa ja vaihdettaessa kaikki vähenee.Tämä tarkoittaa, että yhtälö on todella homogeeninen. Nyt teemme toisen korvauksen, josta puhuimme: y = t (x) * x ja y "= t" (x) * x + t (x). Yksinkertaistamisen jälkeen saadaan seuraava yhtälö: t "(x) * x = -eT... Ratkaise saatu esimerkki erotetuilla muuttujilla ja saa: e-t= ln (C * x). Meidän on vain korvattava t luvulla y / x (loppujen lopuksi, jos y = t * x, niin t = y / x), saamme vastauksen: e-y / x= ln (x * С).
Ensimmäisen asteen lineaariset differentiaaliyhtälöt
On aika pohtia toista laajaa aihetta.Analysoimme ensimmäisen kertaluvun epähomogeeniset differentiaaliyhtälöt. Kuinka ne eroavat kahdesta edellisestä? Selvitetään se. Ensimmäisen kertaluvun lineaariset differentiaaliyhtälöt yleisessä muodossa voidaan kirjoittaa seuraavasti: y "+ g (x) * y = z (x). On syytä selvittää, että z (x) ja g (x) voivat olla vakioarvoja.
Ja nyt esimerkki: y "- y * x = x2.
On kaksi tapaa ratkaista tämä, ja käsittelemme molemmat järjestyksessä. Ensimmäinen on mielivaltaisten vakioiden variaatiomenetelmä.
Yhtälön ratkaisemiseksi tällä tavalla sinun on ensin tasattava oikea puoli nollaan ja ratkaistava tuloksena oleva yhtälö, joka osien siirtämisen jälkeen on muodossa:
y "= y * x;
dy / dx = y * x;
dy / y = xdx;
ln | y | = x2/ 2 + C;
y = ex2 / 2* yC= C1* ex2 / 2.
Nyt meidän on korvattava vakio C1 funktioon v (x), joka meidän on löydettävä.
y = v * ex2 / 2.
Korvataan johdannainen:
y "= v" * ex2 / 2-x * v * ex2 / 2.
Ja korvataan nämä lausekkeet alkuperäiseen yhtälöön:
v "* ex2 / 2 - x * v * ex2 / 2 + x * v * ex2 / 2 = x2.
Voit nähdä, että kaksi termiä peruutetaan vasemmalla. Jos jossakin esimerkissä näin ei tapahtunut, teit jotain väärin. Jatketaan:
v "* ex2 / 2 = x2.
Nyt ratkaistaan tavallinen yhtälö, jossa meidän on erotettava muuttujat:
dv / dx = x2/ ex2 / 2;
dv = x2* e-x2 / 2dx.
Integraalin purkamiseksi meidän on sovellettavatässä integrointi osittain. Tämä ei kuitenkaan ole artikkelin aihe. Jos olet kiinnostunut, voit oppia tekemään nämä asiat itse. Se ei ole vaikeaa, eikä se vie paljon aikaa riittävän ammattitaidolla ja huomiolla.
Kääntykäämme toiseen menetelmään epähomogeenisten yhtälöiden ratkaisemiseksi: Bernoullin menetelmä. Nopeampi ja helpompi lähestymistapa on sinun tehtäväsi.
Joten, kun ratkaistaan yhtälö tällä menetelmällä, meon tarpeen tehdä korvaava: y = k * n. Tässä k ja n ovat joitain x-riippuvaisia funktioita. Sitten johdannainen näyttää tältä: y "= k" * n + k * n "Korvaa molemmat substituutiot yhtälössä:
k "* n + k * n" + x * k * n = x2.
Ryhmittelemme:
k "* n + k * (n" + x * n) = x2.
Nyt meidän on rinnastettava sulkeisiin nolla. Jos nyt yhdistät kaksi tuloksena olevaa yhtälöä, saat ensimmäisen asteen differentiaaliyhtälöiden järjestelmän, joka on ratkaistava:
n "+ x * n = 0;
k "* n = x2.
Ratkaisemme ensimmäisen yhtälön tavallisena yhtälönä. Tätä varten sinun on erotettava muuttujat:
dn / dx = x * v;
dn / n = xdx.
Otetaan integraali ja saadaan: ln (n) = x2/ 2. Sitten, jos ilmaisemme n:
n = ex2 / 2.
Nyt korvataan tuloksena oleva tasa-arvo järjestelmän toiseen yhtälöön:
k "* ex2 / 2= x2.
Ja muuntaminen, saamme saman tasa-arvon kuin ensimmäisessä menetelmässä:
dk = x2/ ex2 / 2.
Emme myöskään analysoi muita toimia.On sanottava, että ensiluokkaisten differentiaaliyhtälöiden ratkaisu aiheuttaa merkittäviä vaikeuksia. Kuitenkin, kun syvennät aiheeseen, se alkaa parantua entistä paremmin.
Missä käytetään differentiaaliyhtälöitä?
Erittäin aktiiviset differentiaaliyhtälötsovelletaan fysiikassa, koska melkein kaikki peruslaki on kirjoitettu differentiaalimuodossa, ja näkemämme kaavat ovat näiden yhtälöiden ratkaisu. Kemiassa niitä käytetään samasta syystä: niiden avulla johdetaan peruslakeja. Biologiassa differentiaaliyhtälöitä käytetään mallintamaan järjestelmien käyttäytymistä, kuten saalistaja-saalista. Niitä voidaan käyttää myös luomaan kasvatusmalleja esimerkiksi mikrobipesäkkeelle.
Kuinka differentiaaliyhtälöt auttavat elämässä?
Vastaus tähän kysymykseen on yksinkertainen: ei mitään.Jos et ole tiedemies tai insinööri, he eivät todennäköisesti ole hyödyllisiä sinulle. Yleisessä kehityksessä ei kuitenkaan haittaa tietää, mikä on differentiaaliyhtälö ja miten se ratkaistaan. Ja sitten kysymys pojasta tai tyttärestä "mikä on differentiaaliyhtälö?" ei sekoita sinua. No, jos olet tiedemies tai insinööri, ymmärrät itse tämän aiheen merkityksen missä tahansa tieteessä. Mutta tärkeintä on, että nyt kysymys "kuinka ratkaista ensimmäisen asteen differentiaaliyhtälö?" voit aina antaa vastauksen. Hyväksy, on aina mukavaa, kun ymmärrät mitä ihmiset pelkäävät jopa ymmärtää.
Tutkimuksen pääongelmat
Suurin ongelma tämän aiheen ymmärtämisessä onheikko taito integroida ja erottaa toimintoja. Jos et osaa ottaa johdannaisia ja integraaleja, kannattaa luultavasti oppia lisää, hallita erilaisia integraatio- ja erottelumenetelmiä ja aloittaa vasta sitten artikkelissa kuvatun materiaalin tutkiminen.
Jotkut ihmiset ovat yllättyneitä, kun he tietävät, että dxvoidaan siirtää, koska aiemmin (koulussa) todettiin, että jae dy / dx on jakamaton. Tässä sinun on luettava johdannaista koskeva kirjallisuus ja ymmärrettävä, että äärettömän pienien suureiden suhdetta voidaan manipuloida yhtälöitä ratkaistaessa.
Monet ihmiset eivät heti ymmärrä, että ensimmäisen asteen differentiaaliyhtälöiden ratkaiseminen on usein funktio tai ei-triviaalinen integraali, ja tämä harhaluulo aiheuttaa heille paljon vaivaa.
Mitä muuta voit opiskella ymmärtämisen parantamiseksi?
On parasta aloittaa syventyminen maailmaandifferentiaalilaskenta erikoistuneista oppikirjoista, esimerkiksi matemaattisessa analyysissä muiden kuin matemaattisten erikoisalojen opiskelijoille. Sitten voit siirtyä erikoistuneempaan kirjallisuuteen.
On syytä sanoa, että differentiaaliyhtälöiden lisäksi on myös integraaleja yhtälöitä, joten sinulla on aina jotain pyrittävää ja mitä tutkia.
johtopäätös
Toivomme, että kun olet lukenut tämän artikkelin, sinulla on käsitys siitä, mitä differentiaaliyhtälöt ovat ja kuinka ratkaista ne oikein.
Joka tapauksessa matematiikasta on jollakin tavalla hyötyä meille elämässä. Se kehittää logiikkaa ja huomiota, jota ilman jokainen ihminen on kuin ei käsiä.
