Мир устроен так, что решение большого количества tehtävät pelkistetään toissijaisen yhtälön juurten löytämiseksi. Yhtälöiden juuret ovat tärkeitä kuvioiden kuvaamisessa. Tämä oli muinaisen Babylonin tutkijoiden tiedossa. Tähtitieteilijät ja insinöörit myös pakotettiin ratkaisemaan tällaiset ongelmat. Intialainen tutkija Ariabhata kehitti jo 6. vuosisadalla jKr. Perustan toissijaisen yhtälön juurten löytämiseksi. Kaavat saivat lopullisen ilmeen 1800-luvulla.
Yleiset käsitteet
Ehdotamme, että tutustu kvadraattisten yhtälöiden peruslakeihin. Yleensä tasa-arvo voidaan kirjoittaa seuraavasti:
ah2 + bx + c = 0,
Neliöyhtälön juurien määrä voi olla yksi tai kaksi. Nopea analyysi voidaan tehdä käyttämällä syrjivien käsitteitä:
D = b2 - 4ac
Lasketusta arvosta riippuen saamme:
- D> 0: lla on kaksi erilaista juurta. Kaava neliöllisen yhtälön juurien määrittämiseksi näyttää muodossa (-b ± √D) / (2a).
- D = 0, tässä tapauksessa juuri on yksi ja vastaa arvoa x = -b / (2a)
- D <0, ei ole ratkaisua yhtälöön diskriminantin negatiiviselle arvolle.
Huomaa: jos erottelija on negatiivinen, yhtälöllä ei ole juuria vain reaalilukujen alueella. Jos algebra laajennetaan monimutkaisten juurien käsitteeseen, yhtälöllä on ratkaisu.
Tässä on toimintaketju, joka vahvistaa kaavan juurien löytämiseksi.
Yhtälön yleisestä muodosta seuraa:
ah2 + bx = -c
Kerro oikea ja vasen sivu 4a: lla ja lisää b2, saamme
4a2kanssa2 + 4abx + b2 = -4ac + b2
Muunna vasen puoli neliön muotoisena polynomina (2ax + b)2... Ota yhtälön 2ax + b = -b ± √ (-4ac + b2), siirrämme kertoimen b oikealle puolelle, saamme:
2ax = -b ± √ (-4ac + b2)
Tämä tarkoittaa:
x = (-b ± √ (b2 - 4ac))
Mitä vaadittiin näytettäväksi.
Erityistapaus
Joissakin tapauksissa ongelman ratkaisua voidaan yksinkertaistaa. Joten tasaiselle kertoimelle b saadaan yksinkertaisempi kaava.
Merkitään k = 1 / 2b, jolloin neliöyhtälön juurien yleisen muodon kaava on muoto:
x = (-k ± √ (k2 - ac)) / a
Jos D = 0, saamme x = -k / a
Toinen erityistapaus on yhtälön ratkaisu a = 1: lle.
Lomakkeelle x2 + bx + c = 0, juuret ovat x = -k ± √ (k2 - c) kun erotin on suurempi kuin 0. Jos D = 0, juuri määritetään yksinkertaisella kaavalla: x = -k.
Kaavioiden käyttö
Jokainen ihminen, edes tietämättä siitä, joutuu jatkuvasti kohtaamaan fyysisiä, kemiallisia, biologisia ja jopa sosiaalisia ilmiöitä, joita neliötoiminto kuvaa hyvin.
Huomaa: Neliöfunktioon perustuvaa käyrää kutsutaan parabolaksi.
Tässä on joitain esimerkkejä.
- Ammun liikeradan laskennassa käytetään liikkeen ominaisuutta horisonttiin nähden ammutun ruumiin parabolaa pitkin.
- Parabolan ominaisuutta jakaa kuormitus tasaisesti käytetään laajasti arkkitehtuurissa.
Ymmärtämällä parabolisen funktion merkitys, selvitetään, kuinka käyrän avulla voidaan tutkia sen ominaisuuksia käyttämällä "erottelevan" ja "neliöllisen yhtälön juuret" käsitteitä.
Kerrointen a ja b arvosta riippuen käyrän sijainnille on vain kuusi vaihtoehtoa:
- Erottelija on positiivinen, a: lla ja b: llä on erilaiset merkit. Parabolan haarat osoittavat ylöspäin, neliöyhtälöllä on kaksi ratkaisua.
- Diskriminantti ja kerroin b ovat nolla, kerroin a on suurempi kuin nolla. Kaavio on positiivisella vyöhykkeellä, yhtälöllä on 1 juuri.
- Erotteleva tekijä ja kaikki kertoimet ovat positiivisia. Neliöyhtälöllä ei ole ratkaisua.
- Diskriminantti ja kerroin a ovat negatiivisia, b on suurempi kuin nolla. Kaavion haarat on suunnattu alaspäin, yhtälöllä on kaksi juurta.
- Diskriminantti ja kerroin b ovat nolla, kerroin a on negatiivinen. Paraboli näyttää alaspäin, yhtälöllä on yksi juuri.
- Erotteleva tekijä ja kaikki kertoimet ovat negatiivisia. Ratkaisuja ei ole, funktion arvot ovat täysin negatiivisessa vyöhykkeessä.
Huomaa: Vaihtoehtoa a = 0 ei oteta huomioon, koska tässä tapauksessa paraboli rappeutuu suoraksi.
Kaikkia yllä olevia kuvaa hyvin alla oleva kuva.
Esimerkkejä ongelmien ratkaisemisesta
Ehto: tee yleisiä ominaisuuksia käyttäen neliöllinen yhtälö, jonka juuret ovat yhtä suuret keskenään.
ratkaisu:
tehtävän x ehdon mukaan1 = x2tai -b + √ (b2 - 4ac) / (2a) = -b + √ (b2 - 4ac) / (2a). Yksinkertaistetaan merkintää:
-b + √ (b2 - 4ac) / (2a) - (-b - √ (b2 - 4ac) / (2a)) = 0, avaa sulkeet ja anna samanlaiset ehdot. Yhtälö on muotoa 2√ (b2 - 4ac) = 0. Tämä väite on totta, kun b2 - 4ac = 0, joten b2 = 4ac, sitten arvo b = 2√ (ac) korvataan yhtälöön
ah2 + 2√ (ac) x + c = 0, pelkistetyssä muodossa saadaan x2 + 2√ (c / a) x + c = 0.
Vastaus on:
jos a ei ole yhtä suuri kuin 0 ja mikä tahansa c, on vain yksi ratkaisu, jos b = 2√ (c / a).
Neliölliset yhtälöt kaikesta yksinkertaisuudestaanovat erittäin tärkeitä suunnittelulaskelmissa. Lähes mitä tahansa fyysistä prosessia voidaan kuvata jonkin verran lähentämällä järjestysnopeuden n tehofunktioita. Neliöyhtälö on ensimmäinen tällainen likiarvo.
