Yksinkertainen iterointimenetelmä, jota kutsutaan myös menetelmäksiPeräkkäinen approksimaatio on matemaattinen algoritmi tuntemattoman suuren arvon löytämiseksi sitä asteittain tarkentamalla. Tämän menetelmän ydin on, että nimensä mukaisesti ilmaistamalla vähitellen seuraavat alkuperäisestä approksimaatiosta, saadaan yhä tarkempia tuloksia. Tätä menetelmää käytetään muuttujan arvon löytämiseen tietyssä funktiossa sekä yhtälöjärjestelmien ratkaisemisessa, sekä lineaarisissa että epälineaarisissa.
Tarkastellaanpa, kuinka tämä menetelmä toteutetaan SLAE:n ratkaisemisessa. Yksinkertaisella iteraatiomenetelmällä on seuraava algoritmi:
1.Alkuperäisen matriisin konvergenssiehdon täyttymisen tarkistaminen. Konvergenssilause: jos järjestelmän alkumatriisilla on diagonaalidominanssi (eli jokaisella rivillä päädiagonaalin alkioiden tulee olla moduluudeltaan suurempia kuin toissijaisten diagonaalien elementtien summa modulo), niin yksinkertainen menetelmä iteraatiot on konvergenttia.
2.Alkuperäisen järjestelmän matriisilla ei aina ole diagonaalista dominanssia. Tällaisissa tapauksissa järjestelmä voidaan muuntaa. Yhtälöt, jotka täyttävät konvergenssiehdon, jätetään ennalleen, ja niiden kanssa, jotka eivät täytä, ne muodostavat lineaarisia yhdistelmiä, ts. kerro, vähennä, lisää yhtälöt yhteen, kunnes saadaan haluttu tulos.
Jos tuloksena olevassa järjestelmässä päälävistäjällä on epämukavia kertoimia, niin muodon termitja*xminä, jonka merkkien on oltava samat diagonaalisten elementtien merkkien kanssa.
3. Muunnetaan tuloksena oleva järjestelmä sen normaalimuotoon:
kanssa-= β-+ α * x-
Tämä voidaan tehdä monella tavalla, esimerkiksi näin: ilmaise x ensimmäisestä yhtälöstä1 muiden tuntemattomien kautta, toisesta - x2, kolmannesta - x3 jne. Tässä tapauksessa käytämme kaavoja:
aij= - (aij /aii)
ja= bja/ aii
On tarkistettava uudelleen, että tuloksena oleva normaalimuotoinen järjestelmä täyttää konvergenssiehdon:
∑ (j = 1) | αij| ≤ 1, kun taas i = 1,2, ... n
4. Alamme soveltaa itse asiassa peräkkäisten approksimaatioiden menetelmää.
kanssa(0)on alkuperäinen approksimaatio, ilmaisemme sen kautta x(1), sitten x:n kautta(1) ilmaista x(2)... Yleinen kaava matriisimuodossa näyttää tältä:
kanssa(n)= β-+ α * x(n-1)
Laskemme, kunnes saavutamme vaaditun tarkkuuden:
max | xja(k) -xja(k + 1) ≤ ε
Laitetaan siis yksinkertainen iterointimenetelmä käytäntöön. Esimerkki:
Ratkaise SLAE:
4,5x1-1,7x2 + 3,5x3 = 2
3,1x1 + 2,3x2-1,1x3 = 1
1,8x1 + 2,5x2 + 4,7x3 = 4 tarkkuudella ε = 10-3
Katsotaan, vallitsevatko diagonaaliset alkiot moduulissa.
Näemme, että vain kolmas yhtälö täyttää konvergenssiehdon. Muunnamme ensimmäisen ja toisen, lisäämme toisen ensimmäiseen yhtälöön:
7,6 x 1 + 0,6 x 2 + 2,4 x 3 = 3
Vähennä ensimmäinen kolmannesta:
-2,7x1 + 4,2x2 + 1,2x3 = 2
Olemme muuntaneet alkuperäisen järjestelmän vastaavaksi:
7,6 x 1 + 0,6 x 2 + 2,4 x 3 = 3
-2,7x1 + 4,2x2 + 1,2x3 = 2
1,8 x 1 + 2,5 x 2 + 4,7 x 3 = 4
Palautetaan nyt järjestelmä normaaliksi:
x1 = 0,3947-0,0789x2-0,3158x3
x2 = 0,4762 + 0,6429x1-0,2857x3
x3 = 0,8511-0,383x1-0,5319x2
Iteratiivisen prosessin konvergenssin tarkistaminen:
0,0789 + 0,3158 = 0,3947 ≤ 1
0,6429 + 0,2857 = 0,9286 ≤ 1
0,383+ 0,5319 = 0,9149 ≤ 1, so. ehto täyttyy.
0,3947
Alkuperäinen likiarvo x(0) = 0,4762
0,8511
Korvaamalla nämä arvot normaalimuotoiseen yhtälöön, saamme seuraavat arvot:
0,08835
kanssa(1)= 0,486793
0,446639
Korvaamalla uusia arvoja saamme:
0,215243
kanssa(2)= 0,405396
0,558336
Jatkamme laskelmia, kunnes pääsemme lähelle arvoja, jotka täyttävät annetun ehdon.
0,18813
kanssa(7)= 0,441091
0,544319
0,188002
kanssa(kahdeksan) = 0,44164
0,544428
Tarkistamme saatujen tulosten oikeellisuuden:
4,5 * 0,1880 -1,7 * 0,441 + 3,5 * 0,544 = 2,0003
3,1 * 0,1880 + 2,3 * 0,441-1,1x * 0,544 = 0,9987
1,8 * 0,1880 + 2,5 * 0,441 + 4,7 * 0,544 = 3,9977
Tulokset, jotka saatiin korvaamalla löydetyt arvot alkuperäisiin yhtälöihin, täyttävät täysin yhtälön ehdot.
Kuten näemme, yksinkertainen iterointimenetelmä antaa melko tarkat tulokset, mutta tämän yhtälön ratkaisemiseen jouduimme viettämään paljon aikaa ja tekemään hankalia laskelmia.
